2020-2020学年北京市西城区高一上期末数学试卷(含答案解析)

1、2020-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷A 卷 必修模块 4 本卷满分： 100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 .14 分）如果 是第三象限的角，那么（Asin >0 Bcos >0 Ctan >0 D以上都不对24 分）若向量 =（1， 2）， =（x，4）满足 ，则实数 x 等于（）A8 B8 C2 D 234 分）若角 的终边经过点（ 4， 3），则 tan （= ）A4ABCBCD4 分）函数 是（ ）上单调递减上单调递增上单调递减奇函数，且在区间奇函数，且在区间偶函

2、数，且在区间D偶函数，且在区间54 分）函数 f（ x）AC上单调递增=sinxcosx的图象（关于直线 对称 B关于直线对称对称 D关于直线对称关于直线6（4分）如图，在ABC中，点D在线段 BC上，且BD=2DC，若，D且最小正周期为 的函数是（ ）8（4分）设向量 ， 的模分别为 2和 3，且夹角为 60°，则| + |等于（）AB13 CD199（4 分）函数（其中 >0，0<<）的图象的一部分如图所示，则（ ）10（4分）如图，半径为 1的圆M，切直线 AB于点O， 绕 O点顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC交M 于射线 OC从 OA 出发， P，记

3、 PMO为 x，弓形 PNO的面积 S=f（x），那么 f （ x）的图象是（）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24 分.把答案填在题中横线上 . 11（4 分）若向量 =（ 1，2）与向量 =（x， 4）平行，则实数 x= 12（4 分）若 为第四象限的角， 且，则 cos=；sin2 =13（ 4 分）将函数 y=cos2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数表达式为 14（4 分）若 ， 均为单位向量，且 与 的夹角为 120°，则 与 的夹角等15（ 4 分）已知，则 cos（ xy）16（4 分）已知函数 （f x）=sin（x+）（>0，（0，

4、）满足，给出以下四个结论：=3； 6k，kN*； 可能等于；均为整数符合条件的 有无数个，且其中所有正确的结论序号是三、解答题：本大题共 3小题，共 36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.17（ 12 分）已知 （ 0，），且）求 tan2 的值；）求的值18（12 分）已知函数1）求函数 f（ x）的单调增区间；2）若直线 y=a与函数 f （x）的图象无公共点，求实数 a 的取值范围19（12 分）如图，在直角梯形 ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=aa>0），P 为线段 AD（含端点）上一个动点，设，则得到函数 y=f（ x）（ ）求 f（ 1）

5、的值；0，+），求函数 f （x）的最大值B卷学期综合 本卷满分： 50分一、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20 分 .把答案填在题中横线上20（4分）设全集 U=R，集合A= x| x< 0 ，B= x| x|>1，则 A214 分）已知函数若 f （a）=2，则实数 a=22数，4 分）定义在 R 上的函数 f （x）是奇函数，且 f（x）在（0， f（3）=0，则不等式 f（x）> 0 的解集为+）是增函234 分）函数 的值域为（其中 x 表示不大于 x的最大整数，例如 3.15 =3， 0.7 =0）24（4 分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积

6、不小于200m2 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x（单位： m）的取值范围是 二、解答题：本大题共 3小题，共 30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.25（ 10 分）已知函数（ ）若，求 a 的值；（）判断函数 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论26（10分）已知函数 f（x）=3x，g（x）=| x+a| 3，其中 aR （）若函数 h（x）=f g（x） 的图象关于直线 x=2对称，求 a 的值； （）给出函数 y=gf（x） 的零点个数，并说明理由27（10 分）设函数 f（x）的定义域为 R，如果存在函数 g（ x），使得 f（x） g （x）对于一切实数 x 都

7、成立，那么称 g（x）为函数 f（x）的一个承托函数已 知函数 f （x）=ax2+bx+c 的图象经过点（ 1，0）（ 1）若 a=1，b=2写出函数 f （x）的一个承托函数（结论不要求证明） ； （2）判断是否存在常数 a，b，c，使得 y=x 为函数 f（x）的一个承托函数，且 fx）为函数的一个承托函数？若存在， 求出 a，b，c 的值；若不存在，说明理由2020-2020 学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析A 卷 必修模块 4 本卷满分： 100 分一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

8、.1（4 分）如果 是第三象限的角，那么（）Asin >0 Bcos >0 Ctan >0 D以上都不对【解答】 解：如果 是第三象限的角，则 sin <0，cos<0，tan >0， 故选： C2（4分）若向量 =（1， 2）， =（x，4）满足 ，则实数 x 等于（ ） A8 B8 C2 D 2【解答】 解：根据题意，若向量 、 满足 ，必有 ? =0， 又由 =（1， 2）， =（x，4），则有 ? =1×x+（ 2）× 4=0，解可得 x=8； 故选： A3（4分）若角 的终边经过点（ 4，3），则 tan （=）ABCD解答】

9、解：由定义若角 的终边经过点（ 4， 3）， tan = ，C关于直线对称 D关于直线对称上单调解答】 解：函数 y=sinx cosx= sin（x）， x=k+，k Z，得到 x=k+，kZ，则函数的图象关于直线 x=对称故选： B6（4分）如图，在ABC中，点D在线段 BC上，且BD=2DC，若，则 =（）D解答】 解： BD=2DC，= + = + = + （ ）=+，=，=，=，=，故选： A 7（4 分）定义在 R上，且最小正周期为 的函数是（ ）Ay=sin| x| By=cos| x|Cy=| sinx| D y=| cos2x|【解答】 解：对于 A：y=sin| x| 不是

10、周期函数， 对于 B，y=cos| x| 的最小正周期为 2， 对于 C，y=| sinx| 最小正周期为 ， 对于 D，y=| cos2x| 最小正周期为 ，故选： C8（4分）设向量 ， 的模分别为 2和 3，且夹角为 60°，则| + |等于（ ） AB13 CD19【解答】解：向量 ， 的模分别为 2和 3，且夹角为 60°， =| | ?| | cos60°=2× 3× =3， | + | 2=| | 2+| | 2+2 =4+9+2×3=19，| + |= ，故选： C9（4 分）函数（其中 >0，0<<

11、）的图象的一部分如图所示，则（ ）解答】 解：如图根据函数的图象可得：函数的周期为62)×4=16，2× +=2kk又 >0，=当 x=2 时取最大值，即 2 sin（ 2× +）=2 ，可得： Z， 0< < ，=故选： B10（4分）如图，半径为 1的圆M，切直线 AB于点O，射线OC从OA出发， 绕O点顺时针方向旋转到 OB，旋转过程中 OC交M于 P，记 PMO为x，弓形 PNO的面积 S=f（x），那么 f （ x）的图象是（）S=f （ xf （ x）解答】 解：由题意得） = x ）= x当 x=0和 x=2时，f （x）=0，取得

12、极值则函数 S=f （ x ）在 0，2上为增函数，当 x=0和 x=2时，取得极值结合选项， A 正确 故选 A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 4分，共 24 分.把答案填在题中横线上 11（4 分）若向量 =（ 1，2）与向量 =（x， 4）平行，则实数 x= 2 【解答】 解：因为向量 =（ 1，2）与向量 =（x，4）平行， 所以 ，所以 1=，x2=4，解得： =， x=2 故答案为 212（4 分）若 为第四象限的角，且，则 cos =；sin2 =【解答】 解： 为第四象限的角，且 ， cos= ，13（ 4 分）将函数 y=cos2x的图象向左平移 个单位，所得图象对应

13、的函数表 达式为 y=sin2x 【解答】 解：将函数 y=cos2x的图象向左平移 个单位， 所得图象对应的解析式为 y=cos2（x+ ）=cos（2x+ ）= 故答案为： y=sin2xsin2x14（4 分）若均为单位向量，且 与 的夹角为 120°，则 与 的夹角等于 150° 【解答】 解： ， 均为单位向量，且 与 的夹角为 120° （ ）? = | | 2=1×1×（ ）1= ，| | 2=| | 22+| | 2=12×1×1×（ ）+1=3， | | = ，设 与 的夹角为，则 cos = =

14、0°180°， =150，° 故答案为： 150°=15（4 分）已知，则 cos（ x【解答】 解： sinx+siny= ，cosx+cosy= ， 2+2 得： 2+2sinxsiny+2cosxcosy= ， cos（ x y）=sinxsiny+cosxcosy=故答案为：16（4 分）已知函数 （f x）=sin（x+）（>0，（0，）满足，给出以下四个结论： =3； 6k，kN*； 可能等于； 符合条件的 有无数个，且均为整数其中所有正确的结论序号是 解答】解：函数 f（ x）=sin（x+）（>0，（0，）满足) =n， nZ

15、）， =3正确； 6k，kN*，不正确； 可能等于，正确； 符合 条件的 有无数个，且均为整数，不正确故答案为三、解答题：本大题共 3小题，共 36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算 步骤.17（12 分）已知 （0，），且（）求 tan2 的值；（）求 的值【解答】 解：（）（0，），且=，可得： tan = tan2 2，=）18（ 12 分）已知函数1）求函数 f（ x）的单调增区间；2）若直线 y=a与函数 f （x）的图象无公共点，求实数 a 的取值范围=+=+由 2k 2xsinx)解得 k xk+ ，k Z，即 f（x）的增区间为 k ，k+ ，kZ；（ 2）由（ 1）可得当

16、 2x =2k，即 x=k+ ，kZ 时，f（x）取得最大值 ；当 2x =2k+，即 x=k+ ，kZ 时， f（x）取得最小值 由直线 y=a 与函数 f（ x）的图象无公共点，可得 a 的范围是 a> 或 a< 19（12 分）如图，在直角梯形 ABCD中，ABCD，ABBC，AB=2，CD=1，BC=a （a>0），P 为线段 AD（含端点）上一个动点，设， ，则得到函数 y=f（ x）（ ）求 f（ 1）的值；（）对于任意 a（ 0，+），求函数 f（x）的最大值【解答】 解：（1）如图所示，建立直角坐标系在直角梯形 ABCD中， ABCD，ABBC，AB=2，CD

17、=1，BC=a（a>0）， B（0，0），A（2，0），D（1，a），C（0，a） =x ，（ 0 x 1） = +x =（ 2，0）+x（ 1， a） =（ x2， xa）， = =（0，a）（ x2，xa）=（2x，axa）=（2x）2ax（axa）=（a2+1）x2（ 4+a2）x+4f（1）=a2+1（ 4+a2） +4=1（）由 y=f（x）=（a2+1）x2（ 4+a2） x+4可知：对称轴 x0=当 0<a 时， 1<x0，函数 f（x）在 0，1单调递减，因此当 x=0时，函数 f（x）取得最大值 4当 a> 时， 0< x0< 1，函数 f

18、（x）在0，x0）单调递减，在（ x0，1 上单调递 又 f（ 0） =4，f（1）=1， f（x）max=f（ 0）=4综上所述函数 f （x）的最大值为 4B卷学期综合 本卷满分： 50分一、填空题：本大题共 5小题，每小题 4分， 共 20 分 .把答案填在题中横线上 .20（4分）设全集 U=R，集合 A= x| x< 0 ，B= x| x| >1 ，则 A（?UB）= x| 1 x<0 【解答】 解：全集 U=R，集合 A=x| x<0，B= x| x| >1 = x| x< 1或 x>1， 则?UB= x| 1x1，A（ ?UB）= x|

19、1x<0 故答案为： x| 1x<021（4 分）已知函数若 f （a）=2，则实数 a= e2【解答】 解：函数，f （a）=2，当 a<0 时， f（a）=a 2=2，解得 a= ，不成立；当 a>0 时， f （a）=lna=2，解得 a=e2 实数 a=e2故答案为： e222（4 分）定义在 R上的函数 f （x）是奇函数，且 f（x）在（0，+）是增函 数，f（3）=0，则不等式 f（x）> 0 的解集为 （ 3，0）（ 3，+） 【解答】解： f（x）在 R上是奇函数，且 f（x）在（0，+）上是增函数， f（x）在（， 0）上也是增函数，由f（3）

20、=0，得 f（3）=0，即f（3）=0，由f（0）=f（0），得 f（0）=0， 作出 f （x）的草图，如图所示： f（x）> 0 的解集为：（ 3，0）（ 3， +），故答案为：（ 3，0）（ 3，+）23（4 分）函数的值域为 0，1 （其中 x 表示不大于 x的最大整数，例如 3.15 =3， 0.7 =0）【解答】 解：设 m 表示整数当 x=2m时， = m+0.5 =m， = m =m此时恒有 y=0 当 x=2m+1 时， = m+1 =m+1， = m+0.5 =m此时恒有 y=1 当 2m <x<2m+1 时， 2m+1< x+1< 2m+2

21、m< <m+0.5m+0.5<<m+1 =m， =m此时恒有 y=0 当 2m +1< x< 2m+2 时， 2m+2<x+1<2m+3 m+0.5< < m+1m+1< <m+1.5此时 =m，=m+1此时恒有 y=1 综上可知， y 0，1 故答案为 0，1 24（4 分）在如图所示的三角形空地中，欲建一个面积不小于200m2 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长 x（单位： m）的取值范围是 10，20 解答】 解：设矩形的另一边长为 ym，由相似三角形的性质可得：=解得 y=30x，（0<x< 30）矩

22、形的面积 S=x（ 30x），矩形花园的面积不小于 200m2， x（30x）200，化为（ x10）（x20）0，解得 10x20 满足 0<x<30故其边长 x（单位 m）的取值范围是 10，20 故答案为： 10，20 、解答题：本大题共 3小题，共 30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.25（10 分）已知函数）若 ，求 a 的值；解答】 解：（）函数）判断函数 f（ x）的奇偶性，并证明你的结论 ， = ， =2，解得： a= 3；）函数 f （x）为奇函数，理由如下：函数 f（x）的定义域（， 1）（ 1，+）关于原点对称，且 f（ x）+f（x）=+=0，即

23、 f（ x）=f（x），故函数 f（x）为奇函数26（10分）已知函数 f（x）=3x，g（x）=| x+a| 3，其中 aR （）若函数 h（x）=f g（x） 的图象关于直线 x=2对称，求 a 的值； （）给出函数 y=gf（x） 的零点个数，并说明理由【解答】解：（ ）函数 h（x）=f g（x） =3| x+a| 3 的图象关于直线 x=2对称，则 h（4x）=h（x）? | x+a| =| 4x+a| 恒成立? a=2；（）函数 y=gf（x）=|3x+a|3的零点个数，就是函数 G（x）=|3x+a|与 y=3 的交点，当 0a<3时，G（x）=| 3x+a| =3x+a与 y=3的交点只有一个， 即函数 y=g f（x） 的零点个数为 1 个（如图 1）；当 a3时， G（x）=| 3x+a| =3x+