概率论与数理统计B考试大纲(带公式)

1、概率论与数理统计B考试大纲第2章描述统计学 1. 样本均值、样本方差、样本标准差的计算；2. 样本中位数、分位数；先对数据按从小到大排序。如果np不是整数，则第np+1个数据是100p%分位数。如果np是一个整数，那么100p%分位数取第np和第np+1个值的平均值。特别地，中位数是50%分位数。3. 样本相关系数。，第3章概率论基础 1. 样本空间，事件的并、交、补，文图和德摩根律；，2. 概率的定义、补事件计算公式、并事件计算公式；对于任何的互不相交事件序列，3. 等可能概型的计算，排列和组合；4. 条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；，4. 事件独立性及其概率的计算。第4章 随机

2、变量与数学期望 1. 随机变量的分布函数及其性质；2. 离散型随机变量的概率质量函数及其性质，有关概率的计算；离散型随机变量：取值集合有限或者是一个数列xi, i=1,2, 。概率质量函数：， 3. 连续型随机变量的概率密度函数及其性质，有关概率的计算；连续型随机变量：随机变量的可能的取值是一个区间。概率密度函数f(x)：对任意一个实数集B有 , , 4 二维随机变量的联合分布函数、联合质量函数、联合密度函数，有关概率的计算；, , 5. 随机变量的独立性，有关概率的计算；随机变量X与Y独立: ;分布函数 离散型 连续型 6. 怎样求连续型随机变量函数的密度函数（先求分布函数，再求导）；Y=g

3、(X)7. 数学期望（离散型，连续型），函数的数学期望（离散型，连续性）；离散型 连续型 8. 数学期望的性质，当X与Y独立时，EXY=EX EY9. 方差和它的性质；当X与Y独立， ，10 协方差、相关系数，有关性质；Corr(X,Y)=1或-1，当且仅当X和Y线性相关，即P(Y=a+bX)=1 (当b>0, 相关系数为1; 当b<0, 相关系数为-1)当X与Y独立时，X与Y不相关，即 .11. 切比雪夫不等式，弱大数定律，概率的频率意义。切比雪夫不等式弱大数定律：样本均值趋向于总体均值频率趋向于概率第五章 特殊随机变量1 伯努利实验和伯努利分布，数学期望和方差；伯努利(Bern

4、oulli)试验：在一次试验中，其结果可以归为成功和失败两类。xi01EX=pVar(X)=p(1-p)pi1-pp2. 二项分布：应用背景，概率质量函数，单调性，伯努利分解，可加性，数学期望和方差；应用背景：伯努利试验“成功”的概率每次都为p, 这样独立进行n次，那么“成功”的总次数X服从参数为(n, p)二项分布 ，记为XB(n,p)。单调性：P(X=i)当i<(n+1)p递增，当i>(n+1)p递减。二项分布的伯努利分解：设XB(n, p)，那么 , 其中Xi相互独立，且为相同的伯努利分布.可加性: 如果X与Y独立, 且XB(n, p)，YB(m,p)，那么X+YB(n+m,

5、 p) 。3. 泊松分布：应用背景，概率质量函数，单调性，数学期望和方差，可加性，二项分布的泊松近似；应用背景: 根据二项分布的泊松近似，一段时间内某种随机事件发生的次数。单调性： i < l时递增， i > l时递减。泊松分布的可加性: 设X1和X2为相互独立的泊松随机变量，它们的均值分别为l1和l2, 那么X1+X2为均值是l1+l2的泊松随机变量。二项分布的泊松近似：设XB(n, p) 。当n很大p很小时，其分布近似于参数为l =np的泊松分布4. 均匀分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，二维均匀分布，有关概率的计算；应用背景：随机变量X在区间a, b上等可能取值概

6、率密度函数：，二维均匀分布：5. 正态分布：应用背景，概率密度函数及其对称性，数学期望和方差，标准正态分布N(0,1)，正态分布的标准化和概率计算，线性性质，独立和的性质，分位数及其对称性；应用背景：根据中心极限定理，大量独立随机变量的和近似服从正态分布。密度函数：X N(m, s2), EX=m, Var(X)=s2标准正态分布N(0,1)：线性性质：正态随机变量的线性函数仍是正态分布。设X N(m, s2), 那么对任意a, b¹0, Y=a+bXN (a+bm, b2s2). 特别地，。假设 相互独立，且 ，则。标准正态分布Z的100(1- a)%(下)百分位数Za：。对称性：

7、 z1-a= - za6. 指数分布：应用背景，概率密度函数，数学期望和方差，无记忆性，有关概率的计算；应用背景：如果单位时间内“事件发生”数是参数l泊松分布（称为泊松过程），那么两次“发生”之间的间隔时间长度就是参数l的指数分布。概率密度函数：无记忆性7. 卡方分布：定义，可加性，分位数；定义：若Z1, Z2, , Zn相互独立, 且都服从N(0,1) ，则称其平方和服从自由度n的 c2（卡方）分布。可加性：当X1和X2分别为自由度为n1 和n2的 c2随机变量且相互独立时，则X1+X2服从自由度为n1+n2的 c2分布.100(1- a)%百分位数 c2a,n：8. t-分布：定义，对称性

8、，与N(0,1)的关系，分位数；设ZN(0,1), Xc2n ，Z和X独立，则称随机变量服从自由度n的t-分布。当n ®¥，Tn®N(0,1)，9. F分布：定义，分位数, 倒数性质。设X和Y分别服从自由度为n和m的c2分布，且相互独立，称服从自由度为n和m的F-分布。， 第六章 统计抽样的分布 1. 总体、样本及其观测值、统计量；样本：若X1, X2, , Xn是独立随机变量, 且具有相同的分布F, 则称它们构成来自分布F的一个样本. n称为样本容量。样本的观测数据称为样本观测值x1, x2, , xn。统计量：不含未知参数的样本函数。2. 样本均值：定义，数学

9、期望和方差；设总体X(不一定是正态分布), EX=m, Var(X)=s2。样本X1, X2, , Xn。样本均值 ，3. 中心极限定理：基本定理，二项分布的正态近似，样本均值的近似分布；基本定理： 设X1, X2, , Xn为独立同分布的随机变量序列, 并均具有均值m和方差s2(无论分布类型是什么), 则对充分大的n （30以上），X1+X2+ + Xn 近似服从正态分布N(nm,ns2)。二项分布的正态近似：设XB(n,p), 对充分大的n（30以上）, X近似服从正态分布N(np, np(1-p)样本均值的近似分布: 设总体X(不一定是正态分布), EX=m, Var(X)=s2。样本X

10、1, X2, , Xn。当n充分大（30以上），近似有 4. 样本方差：定义，数学期望；样本方差 , 样本标准差 5. 正态总体：样本均值按N(0,1)（方差已知时）或t-分布（方差未知时），样本方差按卡方分布，样本均值与样本方差独立.定理: 设总体XN(m,s2)。样本X1, X2, , Xn。则(1) , (2) , (3)与S2独立，(4) 。第七章 参数估计 1. 估计量与估计值参数估计：设总体分布为Fq，其中q为未知参数。样本X1, X2, , Xn ，独立且与总体同分布。需要估计q。估计量：用来估计未知参数q的统计量，记为估计值：估计量的观察值 无偏估计量：2. 极大似然估计：定义

11、，似然函数，对数似然方程；似然函数：若总体的密度函数（或质量函数)为f(x|q), 其联合概率函数(称为似然函数)极大似然估计: 求使得 对数似然方程 3. 伯努利分布、泊松分布、正态分布的极大似然估计；贝努里分布：p的极大似然估计是观测数中成功的比例。泊松分布极大似然估计 。正态分布N(m,s2)的极大似然估计：正态分布方差s2的无偏估计 4. 置信区间的定义；参数q的100(1-a)%置信区间满足5. 正态总体均值的双侧置信区间（方差已知）；6. 正态总体方差的双侧置信区间.第八章 假设检验 1. 假设检验的基本概念：原假设与备择假设，拒绝域构造原理，显著性水平，两类错误；原假设H0, 备择假设H1；显著性检验：H1是否显著，以至于可以拒绝H0；第一类错误拒绝了正确的假设，第二类错误接受了错误的假设；显著性水平a=P(样本观测值落入拒绝域|H0真)=犯第一类错误的概率。2. 方差已知时正态总体均值的Z检验(双侧，右侧，左侧);双侧检验(临界值法或p值法) 左侧检验(临界值法或p值法) 右侧检验(临界值法或p值法)3. 置信区间与拒绝域的关系；若原假设落在未知参数的100(