相似对角化的典型例题

1、学习必备欢迎下载ML36008题目：设A是n阶幕等阵(A2 = A), r( A) = r, 0 < r E n ,证明A可相似对角化，并求A 一2E .涉及的知识点知识点一：特征值和特征向量的定义(M2711)知识点二：矩阵可对角化的条件(M2731)知识点三：求相似对角矩阵的方法(M2732)解题方法需要配首或重点提小的文子：无内容：本题至少后两种解法.1 .利用特征值和特征向量的定义求出A特征值的取值范围.2 .看A是否有n个线，住无关的特征向量,从而判断A是否 可以相似对角化.3 .利用求相似对角矩阵的方法求行列式的值.解题过程(详细过程)第T:设A有特征值九，于是存在X于0使得

2、AX =九 X对上式两端左乘A,得2. 2，一A X =八AX =九 X(1)又2八，一、A X = AX = >uX(2)由()与(2)得九2X =X再由X #0,有建=九.所以A特征值的取值范围为0和1.需要配首或重点提小的文子：无学习必备欢迎下载第二步：由 A2 =A,得 A(E A)=0,故有r(A) +r( E - A) < n又r(A) +r(E - A) > r(A + E - A) = r(E) = n从而有r( A ) + r( EA) = n由已知 r(A) = r ,故(E A)= nr .需要配首或重点提小的文子：无第三步：当九=0时，由AX =0,因

3、(A) = r ,故有n-r个线性无关 的特征向量.当九二1 时，由(E -A)X =0,因 r(E A)=n r ,故有 r 个线性无关的特征向量.从而共有r+(n-r) = nj线性无关的特征向量.因此A可相似对角化.需要配首或重点提小的文子：无第四步：由A可相似对角彳P/A从而|A-2 E = PJ=1P= (-1)n七，故存在可逆阵 P,使得D ；Er 0P =1。01三 r 01 UrP -2E0 0 一|"H /n -r2学习必备欢迎下载第二种解法第一由r(A)=r,知A有r个列向量线性无关，不失一性，设之为二冬，二，根据A2 = A,我们有AA=A(匕占，匕，&

4、)=( W，"二)即得A1, i = 12|11, r故A有特征值人=1 (至少r重根),其对应的线性无关的 特征向量共有r个。,£.第二步：由r( A) = r，故AX =0有n-r个线性无关的解，设之为，书产fJHA,即A% =0 ,i =r +1,十2#| ,n故A有特征值九=0,其对应的线，性无关的特征向量为 ，书，史,，.第三步：由于属于不同特征值的特征向量线性无关，所以 "br'r,"T 产 T ,111,，线行关.令P=g上,£,，书,“Tn)则P/AP = ,E r 01。从而A-2E = P |Er 0、'2E

5、I-E r 0 1=P I-2E P：0 0 一= (-1)n2n-r学生常犯的错误需要配首或重点提小的文子：无内容：计算错误.相关例题题目一：设A是n阶方阵且满足A2 -3A + 2E =0,证明A 可相似对角化.学习必备欢迎下载解题思路：1 .利用特征值和特征向量的定义求出A特征值的取值范围.2 .看A是否有n个线性无关的特征向量，从而判断A是否 可以相似对角化.解答：由A2 -3A + 2E = 0可知 A的特征值九满足记-3Z +2=0,于是A特征值的取值范围为1和2.又由 A2 -3A 2E = (2E - A)(E 一 A) -0知r(2 E - A) r( E - A) <

6、 n而又 r(2E - A) r (E - A) = r(2E - A) r(A - E)_ r(2E - A A - E) =r(E) =n于是r(2 E - A) r( E - A) = n设 r(2 E-A)=r,则( E-A) = n-r当九=2 时，解(2E - A)X =0,因 r(2E A) = r ,故有n-r个线性无关的特征向量.当九=1 时，由(E - A)X =0,因 r(E A)=nr ,故有r个线性无关的特征向量.从而共有r +(n -r) = n个线性无关的特征向量因此A可相似对角化.题目二：设A是n阶方阵(n>1), r( A) = 1,证明：A可相似对角化=tr( A) :二 0 .解题思路：由r( A)=1知A有特征值0,再由tr( A)# 0知A还有特征值tr( A),分别讨论属于它们的线性无关的特征向量.学习必备欢迎下载解答：因为r( A )=1, |A = 0,故A有特征值为0.并且由r(A) =1知(0E -A)X =0有n1个线性无关的解向量，即0的重根数至少为n-1.由特征值之和为矩阵的迹,所以A的特征值除了 n1个0 以外，还启特征值tr( A).当tr( A)#0时,A有n个线，住无关的特征向量.所以A可相似对角化u tr(A)#0.方法总结需要配首或重点提