向量空间及线性空间课件

1、向量空间及线性空间向量空间向量空间一个数域上的所有n维向量，在向量的加法和数乘之下构成一个向量空间。实数域上实数域上的称为欧式空间，复数域上的称为酉空间。的称为欧式空间，复数域上的称为酉空间。在向量空间中我们可以用新的视野来看待线性方程组。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111可以理解为方程的常数向量12mbbbb是否可以表示为系数矩阵列向量的线性组合111211121212+=,nnmmmnmnaaabxxxaaabba aa即是否存在非零系数使得向量 可以用向量线性表示线性方程组解的研究可以转换为向量的线性关系研究线性方程组解

2、的研究可以转换为向量的线性关系研究向量空间及线性空间向量空间（线性空间）的抽象定义向量空间（线性空间）的抽象定义1、线性空间的公理化定义应注意以下要素：非空集合、加法和数乘运、线性空间的公理化定义应注意以下要素：非空集合、加法和数乘运算、运算规则、特殊元算、运算规则、特殊元向量空间及线性空间另一个定义另一个定义向量空间及线性空间常见的线性空间举例常见的线性空间举例1、常见的Rn，能够直接感受到的R2，R3空间2、R3空间中所有有向线段的集合，在平行四边形加法和数乘运算下3、数的双向无穷序列，在无穷序列的加法和数乘运算下4、所有次数不超过指定数字n的实数多项式5、所有指定阶数的实数矩阵6、0,1

3、上所有的实数函数7、二阶齐次线性微分方程023 yyy的所有解向量空间及线性空间线性空间中的特殊元线性空间中的特殊元线性空间的元素线性空间的元素0和和-u是唯一的是唯一的向量空间及线性空间向量空间的结构向量空间的结构主要讨论向量空间中向量之间的关系和表示1 1、向量的线性相关和线性无关、向量的线性相关和线性无关非零向量、两个向量之间的倍数关系、线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组、维数和有限维向量空间2 2、向量空间的基、坐标、向量空间的基、坐标基：以上所有的讨论都基于有限维线性空间。极大线性无关组称为基（不止一个，所含向量个数相等） 一组向量作为基具有的条件：相互线性无关；空间中的任

4、何向量都可以由其线性表示。坐标：一个向量u用一个基线性表示时所用的系数与基中向量次序对应所构成的标量组，坐标与基和讨论的元素有关。向量空间及线性空间3 3、基变换、过渡矩阵、基变换、过渡矩阵1212112212121122nnnnnnnnxxxxxxxxyyxyyyy基1坐标向量基2坐标 11221112121222121212iiininnnnnnnnncccccccccccc研究线性空间中向量在不同基下的坐标之间的关系，在图像图形处理中经常用的基本前提如果可得111112111111211221222222122221212nnnnnnnnnnnnnnnnxcccyycccxxcccyyc

5、ccxxcccyycccx向量空间及线性空间子空间的定义四个基本子空间子空间的定义四个基本子空间1、子空间的定义，一个线性空间的非空子集如果对加法和数乘运算是封闭的。注意R2不是R3的子空间。2、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间、生成子空间、矩阵的列空间、行空间、零空间向量空间及线性空间 零空间零空间 列空间列空间向量空间及线性空间 左零空间零空间一个mn矩阵A的左零空间是矩阵AT的零空间，是Rm的子空间T(A)=Col(A )Row 行空间行空间T(A )=y:=0=0TTNulAyyA一个mn矩阵A的行空间是矩阵AT的列空间，是Rn的子空间向量空间及线性空间向量空间及线性空间基本子

6、空间的维数和基基本子空间的基和维数都与矩阵的等价阶梯型有关，阶梯型矩阵中的主基本子空间的基和维数都与矩阵的等价阶梯型有关，阶梯型矩阵中的主元个数等于元个数等于Col (A)和和Raw（A）的维数，也等于矩阵）的维数，也等于矩阵A的秩，記作的秩，記作r；Rul (A)的维数等于的维数等于n-r;Rul (AT)的维数等于的维数等于m-r。Col (A)的基是阶梯型矩阵中主元列在的基是阶梯型矩阵中主元列在A中对应列；中对应列；Raw（A）的基是阶梯型中主元所在行）的基是阶梯型中主元所在行；Rul (A)的基是阶梯型中非主元列依据自由变量的改进，即非主元列本身的基是阶梯型中非主元列依据自由变量的改进

7、，即非主元列本身加上加上ei i位自由变量的序号；位自由变量的序号；Rul (AT)的基是的基是EA=R中，中，E的对应的对应R中中0行向量的行行向量的行；向量空间及线性空间内积和正交内积和正交内积的定义：从线性空间到正实数集上的特殊函数，向量空间及线性空间向量空间及线性空间与矩阵有关的几个子空间与矩阵有关的几个子空间nmTTRANulARowANulARowRANulAColANulAColAnm)()()()()()()()(矩阵对于任意的以上的结论可以由齐次线性方程组以上的结论可以由齐次线性方程组AX=0AX=0得到解释得到解释向量空间及线性空间几个相关的基本概念线性变换线性变换函数、映

8、射、变换是同一个对象在不同领域的名称，函数定义在传统数集之上、映射定义在离散对象之上、变换常出现在线性空间的讨论中。用变换的概念理解线性方程组向量空间及线性空间矩阵变换矩阵变换p64向量空间及线性空间下例给出了如何例如矩阵变换描述并解决实际的人口下例给出了如何例如矩阵变换描述并解决实际的人口迁移变化问题迁移变化问题向量空间及线性空间向量空间及线性空间线性变换线性变换线性变换反映线性空间中向量之间的线性映射关系（保持线性关系的映射），由于线性空间中的向量都可以表示为基的线性组合，因此，线性变化与指定基下的矩阵一一对应，线性变换可以用矩阵来表示。1212111212122212121212,(),

9、 ()()()T= () , () ()=()=(,)nnnnnnnnnniiinniTTTTTTaaaaaaTTTaaaaaTa 设 =()为n维向量空间中的一个基， 是空间上的一个线性变换，在给定基下的坐标为列所构成的矩阵称为 的矩阵，向量空间及线性空间向量空间及线性空间线性变换在不同基下的矩阵之间的关系线性变换在不同基下的矩阵之间的关系过渡矩阵、矩阵的相似关系 1111111111nnnnnnnnnnCTTTTATTTTB一个向量在同一个线性变换之下，不同基下的坐标之间一个向量在同一个线性变换之下，不同基下的坐标之间有什么关系？有什么关系？关于线性变换矩阵的基本前提11111nnnnnTBCBTCTTCAC由此得：AC=CBT(X)在基下的坐标为AX,在基下的坐标为BY111111nnnnnnxyxyxyCxyX=向量空间及线性空间线性变换及矩阵的值域和核线性变换及矩阵的值