整理33解对初值的连续性和可微性定理

1、 3.3解对初值的连续性和可微性定理 也=f (x,y),在初值I可题dx中我们都是把初值(x0,y0)看成是固定的数值,然后再去讨论方程Vo = y(xo)dy一 =f (x, y)经过点(x0, y0)的解.但是假设(x0, y0)变动,那么相应初值I可题的解也随之变动,也就是 dx说初值问题的解不仅依赖于自变量x ,还依赖于初值(x0, y0).例如：f(x, y) = y时,方程y = y的解是y=cex,将初始条件y(x0)=y0带入,可得y = y0ex .很显然它是自变量 x和初始条件(,y.)的dy = f(x, y)/、函数.因此将对初值I可题j dx的解记为y =中伙x0,

2、 y0),它满足y0 =%x0,x0, y0).当初值发生变化时,对应的解是如何变化的？当初始值微小变动时,方程解的变化是否也很小呢？为此就要讨论解对初值的一些性质.1、解关于初值的对称性设方程(3.1)满足初始条件y(x0) = y0的解是唯一的,记为y =(x, x0, y0),那么在此关系式中, (x, y)与(x0, y0)可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式y0 =9(x0, x, y)证实 在方程(3.1)满足初始条件y(x0) = y0的解的存在区间内任取一点为,显然yi =卬(xi,x0,y0,)那么由解的唯一性知,过点(xi,yi)的解与过点(x0,yo)的解是同

3、一条积分曲线,即此解也可写为y =q：x,xi, yi)并且,有yP(x0,xi, yi).又由(xi, yi)是积分曲线上的任一点,因此关系式y0=9(x0,x, y)对该积分 曲线上的任意点均成立.2 、解对初值的连续依赖性由于实际问题中初始条件一般是由实验测量得到的,肯定存在误差.有的时候误差比拟大,有的时候误差比拟小,在实际应用中我们当然希望误差较小,也就是说当(x0,y0)变动很小的时候,相应的方程的解也只有微小的变动,这就是解对初值的连续依赖性所要研究的问题：在讨论这个问题之前,我们先来看一个引理：引理：如果函数f(x, y)于某域D内连续,且关于 y满足Lipschtiz条件(L

4、ipschtiz常数为L ),那么对方程(3.i )的任意两个解(x)及甲(x),在它们公共存在的区间内成立着不等式| %x)平(x)国X0)甲(X0)| eL|xM(3.17)其中x0为所考虑区域内的某一值.证实 设中(x),平(x)于区间axb上均有定义,令 2V(x) = (x) -(x)2,a x *那么V (x) =2 (x)- (x) f(x, ：)一 f(x,)于是 V (x) |V (x)|=2| ：(x)(x) | f (x, ) - f(x- )|2LV(x)V (x)eLx 2LV(x)e2Lx 壬 0从而(V(x)eLxVi0dx所以,对寸x在a,b,有V(x) V(x

5、0)e2L(x*),x0 u x b对于区间axx.,令xt,并记x0苴t0,那么方程(3.1)变为nf(-t,y) dx而且它有解 y =(t)和y =平(t).类似可得V(x)三V(x0)e2L(x顼),a三x x因此,V (x) _V(x0)e2L|xf|,a _ x _ b,a _ x0 _ b两边开平方即得(3.17).利用此引理我们可以证实解对初值的连续依赖性：解对初值的连续依赖定理假设f (x, y)在区域G内连续,且关于 y满足局部李普希兹条件,如果(x0,y0)WG ,初值问题虬 f(x,y)*./、.cdx有解y =中(乂,冷次0),它于区间axb上有定义(aMx0 ,.y

6、 =y(x)芙=&(8,a,b)0 ,使得当(又一 x)2 + (M - yof与2时,方程(3.1)满足条件尸(文0)=亍0的解 y=?(x,x0,y0)在区间axb上也有定义,并且有(x,%, - (x,x0,y0)| ；： ,a & x b.证实 记积分曲线段S: y = %x,x0, y0)三x),ax壬b是xy平面上一个有界闭集.第一步：找区域D,使S u D ,而且f(x,y)在D上关于y满足Lipschitz条件.由条件,对7(x, y)在S,存在以它为中央的开圆C,CuG,使f(x,y)在其内关于 y满足Lipschitz条件.因此,根据有限覆盖定理,可以找到有限个具有这种性质

7、的圆G(i =1,2j|, N)(不同的Ci,其半径ri和Lipschitz常数L的大小可能不同),它们的全体覆盖了整个积分曲线段S,令 G=Ug,那么 S uG UG ,对* 0,记 P = d&G,S),n =min(8, P/2),L = max(L,HLN),那么以 S上的点为中 心,以n为半径的圆的全体及其边界构成包含S的有界闭域 D u G u G ,且f (x, y)在D上关于y满足 Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为 L .第二步：证实游=6(& ab,)80P ,使得当(又0 -x02+飞y0 -y0)如2时,解y =V(x) =%x,xo,祢)在区间axb

8、上也有定义.由于D是一个有界闭域,且f (x, y)在其内关于y满足Lipschitz条件,由解的延拓定理可知,解 y =W(x) =%x,x0,y.)必能延拓到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c,平c )期 (d ,W(d), c d ,这时必有c a,d 0存在,使当| x-x |便2时有|平(x)-平(x) |5, 2取& =min(,&2),那么当庆 一x.)2 +(揭y.)2 M&2 时就有|,(x) *(x)|%| 侦)-,(文0)|%2*飞112乂 侦M)l T(x0)*(x0)|)2e2L|f实(| %文)-中(x) |2 +|平以0)-胡(文) |2)e2LQ|(3.

9、18)22、 2L(b-a)；：2(i|y0 y0)e ( )叫可/)/2(cx 壬d)于是对一切xwc,d,| %x)平(x)|/ 成立,特别地有| (c)(c)| ： , | (d)(d)卜:： 即点(c,W(c)和(d,平(d)均落在域D的内部,这与假设矛盾,故解y=W(x)在区间a,b上有定义.第三步 证实| 8(x)平(x) | & a玄x qb .在不等式(3.18 )中将区间c,d换成a,b,可知当,、2、22.(x0 冷)+(y0yo) 占时,就有(x,x,yo) (x,xo, y)| ； ,a %x ub.根据方程解对初值的连续依赖定理及解对自变量的连续性有3、解对初值的连续

10、性定理假设函数f (x, y)在区域G内连续,且关于y满足局部李普希兹条件,那么方程(3.1) 的解y =P(x,x, yo)作为x, xo, yo的函数在它的存在范围内是连续的证实 对V(xo,yo)G ,方程(3.1)过(x,yo)的饱 和 解y =中(x, x, y)定义于 Ct(x.,yo 宰 x 0 (x,业,冷V =(x,x,yo) V (xo,yo) ux ：(x,yo),(xo,yo) G)下证y =o o,使得当(xxo) +(y yo)A 时,中(x, x,Vo)%x, x,y)iaxb又y =*(x, xo, yo)在x a,b上对x连续,故o ,使得当|又- x|&2时

11、有甲(x,x,yo) -中(x,x,yo) 2,x,xWa,b取 5 =min(5i,&2),那么只要(又 一x)2 +(文.一x.)2 +(Vo -y.)2 戋2就有(x,xo,yo (x,xo,yo)-| (x,xo,yo (x,xo,yo) | | (x,xo,yo) - (x,xo,yo) |z z十一=z2 2从而得知y =*(x,冷,yo)在V上连续.4、解对初值和参数的连续依赖定理讨论含有参数赤的微分方程f (x, y, )G , : (x, y) G,:-(3.19)dx如果对v(x , y兀曰G,都存在以(x ,y兀 为中央的球Cu G),使得对任何 (x, yi,赤),(x

12、, %*c ,成立不等式| f (x, y ) - f (x, y2 ) M L | yi - y2 |其中L是与君无关的正数,称函数f(x,y,兀)在G；内关于y一致地满足局部的李普希兹条件.由J U解的唯一性,对每一 扁w (ot, E),方程(3.19 )通过点(x0, y0) w G的解是唯一确定的,记这个解为y =9(x,x0, yo, 0).设f (x,y,A)在 G 内连续,且在 G 内关于y 一致地满足局部的李普希兹条件, (x, yo, h)- G y =%x, x, y, %)是方程(3.19)通过(x, y)的解,在区间a壬x?b上有定义,其中 a 0 =6(&,a, b

13、)?0 ,使得当(又.-x.)2 (y -y.)2 (,-,.)2 匚 2时,方程(3.19)通过点(x0,y0)的解y =%x,x0,y0,7,一)在区间b也有定义,并且(x,x0,y0, ) - (x,x0, y,亳)：,x a,b5、解对初值和参数的连续性定理设函数f(x,y,对在区域G内连续,且在G)关于y 一致地满足局部李普希兹条件,那么方程(3.19)的解y =卬(乂,冷,y,幻作为x,x,y0,九的函数在它的存在范围内是连续的斜3的解 赤=y(x)6、解对初值的可微性定理如果函数f (x,y)以及(x, y)都在区域G内连续,那么对初值问题：yy =中(乂法010)作为x,x,y

14、0的函数,在它有定义的范围内有连续可微的证实 由*(x, y)在区域G内连续,可知f (x, y)在G内关于y满足局部Lipschitz条件,根据解 y对初值的连续性定理,y =9(x, x0, y0)在它的存在范围内关于x,x0, y0是连续的. 小甜糖 3 甲下面证实函数y=*(x,x0,y0)在它的存在范围内的任一点偏导数丁,存在且连缤.:x ：x0 cy0一 =f (x,平),显然存在且连续:X先证存在且连续.;X0由初值(X0, y)和(X0十Z%, y)所确定的解分别为y =P(x, Xo, y.)三门,y =q：、(x,xo fx.,y.)三一,xx,:?三 yof (x, )d

15、x,-三 y. f (x*)dx,2 ,*xf(x)dx- f (x, )dx为xx平三r君.国xo %xof()dxxf(x f f()dx冷-:y其中061,注意到f及甲V的连续性,有f (x!*!T户)；:f (x,)=+1:y这里当30t 0时,r1T 0,且Ax.=0时,1=0.类似有1_%x.二 x.冷f(x- )dx =f (x.,y.) 2其中1与&具有相同性质,因此对Ax.#0有平_中或.= -f(x,y.)2:史区冷:y10dx即z =是初值I可题*.虫=必己iz dxdyz(x.)= -f(x0,y)+2 三z.根据解对初值和参数的连续性定理的 解,显然当Ax.=0时,上

16、述初值问题仍然有解平一中一知z=是x 0x, 0Z,的连续函数 从而存在决.lim 7-落 30 以.:x0而q是初值问题:x0dz :f (x,)一 =zdx；:yz(0 - - f(Sy.)的解,容易得到=-f(X0,y)exp( Xfdx).xo为 ；y显然它是x, x0 ,y0的连续函数.同样可证业存在且连续.*设由初值(xo,y.)和(xo,yo +Ay.)所确定的解分别为y =q：(x,x0,yo) = , y =W(x,xo, y.：y.)= !, W_ cp 类似上述方法可证z =是初值问题3】z、z(x.)=1的解.因而x :f (x )=exp( J,亦x)其中3具有性质：当AyT.时,RT 0,且Ay.=0时,3=0.所以有二 5=exp(4dx) .y0