整理高数中需要掌握证明过程的定理二

1、在第一期的资料内我们总结了高数前半局部需要掌握证实过程的定理,由丁最近比拟忙,所以一直没来得及写.现将后半局部补上.希望对大家有所帮助.1)泰勒公式(皮业诺余项)f(x°)+o(xXo 门f (x) -lim R(x) n = limx 町 x -x° x %再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零, 那么.不难验证该过程可以一直进行下去,运用过n-1次洛必达法那么后我们可以得到并且也都是可导的,因此可以再次运用洛必达法设函数f (x)在点x0处存在n阶导数,那么在x0的某一邻域内成立2nx 均 x x°f(x) = f(xo)x-xo f (xo) f (xo) .

2、 三2!n!【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证实题中有很重要的应用.对于它们,我们首 要的任务是记住常见函数(sinx,cosx,ln(1 +x),ex,(1 +x)a)在x = 0处的泰勒公式,并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式,然后在解题过程中加以应用.在复习的前期,如果根底不是很好的话,两种不同形式的泰勒公式的证实可以先不看.但由于证实过程中所用到的方法还是很常用的.因此把它写在这里.证实：人一 .(xxof(xxoin n) 令 R(x) = f(x) f(xo) +(xxo )f (x°)+2 f (x°)+.+n f (xo)那么我们要证实R(x

3、) =o L(x-xo 门.由高阶无穷小量的定义可知,需要证实lim R(x)n=o.x泠x %这个极限式的分子分母都趋于零,并且都是可导的, 因此用洛必达法那么得f (x°) +(xx° )f (x°)+.+I(n1)!n-1n x x.lim R(x) = lim f(Z(x)-f(7(xo) - x-xo f(n)(xo) f (x -xofn!(x-xo )lim f")- "Ixo)f (n) (xo)n!x )xon! xxo由于f(x)在点xo处存在n阶导数,由导数的定义可知lim f("f(F= "(xo)

4、x*x - xo代入可得响4=0.x 声0 x _X0证毕注：这个定理很容易得到如下错误的证实：直接用n次洛必达法那么后得到lim R(x) n = lim f(n) (x)f(n) (x0) = 0x曲X _X.x错误的原因在于定理条件中仅告知了f (x)在点x0处存在n阶导数,并没有说明在其它点处的n阶导数是否存在.就算 其它点 处的n阶导数也存 在,f(n) (x)也不一定连续, lim f (n)(x) f (n)(x°) =0也不一定成立. jxo希望大家注意.2) 泰勒公式(拉格朗日余项)设函数f(x)含有点x°的某个开区间(a,b)内有直到n+1阶导数,那么对

5、(a,b)内任意一点2nf(n)(x°)Rn(x),'x _ x0,x _ x°f(x) = f (处)x -为 f (x°) - f (小)-. (2!n!n 1其中R(x)=心处)f(n*)(；),其中£介于x和x0之间.(n 1)!【点评】：同上.证实：令 R(x) = f(x) f(x.)+(xx.)"心0) + 以；：0)"我0)+. + 二：)f(n)(x°)'Fn*(x) =(xx /那么我们需要证实黑=只卜由于 R(x°) =Pn+(x°)=0 ,因此R(x)Pnl(x)R

6、(x)-R(x°)Pnl(x) -R 1(x0)易知,R(x), Pn + (x)满足柯西中值的条件.因此,由柯西中值定理可知,在 x和x0之间存在_点三使得R(x)-R(、)R,(i) R,(i)Ri(x)-Pn 仅)R,i( 1) n 1 R( 1)h ',',''(X-Xg),(n)'而 R(x) = f (x) f(X0) +(xX0 )f (x)+.十f (X0)-'(n-1)!j' 因此,此时仍然有 R(Xo) =Pn(X°) =0.那么 R(“_ 1 R(F-RM).、n 1 Pn( 1 广(n 1)Pn

7、( i)R(X0) °易知,R(X), Pn(X)仍满足柯西中值的条件.因此,由柯西中值定理可知,在乌和X.之间存-1 R ( J - R(x) 1 R (2) R (2)(2)n 1 Pn( 1)-R(X0) (n 1)Pn( 2) n 1 nR(2)由于-1在X和X0之间,因此&也在X和X0之间.容易检验,上述过程可以一直进行下去,使用过n+1次柯西公式后即可得到R(x)"*?)=O")(n 1)!证毕注：在计算极限或确定无穷小量的阶时,一般用到皮亚诺余项的泰勒公式；在做证实题时用拉格朗日余项比拟多. 两种泰勒公式的条件是不同的,其中拉格朗日余项的条件

8、更强,结论也更强.这两个定理的证实,如果根底不太好一时接受不了的话可以先跳过,到下一阶段再看.3) 定积分中值定理设函数f (x)在区间a,b上连续,那么在积分区间a,b上至少存在一点 己使得下式成立：ba f (x)dx = f (4(b a)【点评】：积分中值定理是定积分比拟定理和闭区间上连续函数的介值定理的推论,它在是 证实微积分根本定理的根底,在整个微积分中具有极大的理论意义.同时,证实题中对该定理的应用也比拟常见,通常会和微分中值定理结合使用,考生首先应该熟记该定理的条件和结论.另外,测试中还出现过与该定理证实方法类似的证实题.因此,该定理的证实过程也是需要掌握的.该定理的证实过程教

9、材上有,由于比拟重要,也为了方便大家,在这里写一下我的证实过程 证实：由于f (x)在区间a, b上连续,由闭区间上连续函数的最值定理可知：f (x)在区间a,b上可以取到最大与最小值.设最大值为M,最小值为m.那么有m壬f (x) < M ,x Ia,b】.bbbb那么有 f mdx?f f (x)dx 4 Mdx,也即 m(b - a) 4 f (x)dx < M (b - a)aaaabf (x) dx两边同时除以(ba)可得 m<< M .bf (x)dx可知 是介于函数b ab -af (x)在区间a,b上的最大值 M和最小值为m之间的一个数.由闭区间上连续函

10、数的介值定理可知,f (x)能取到m,M 上的一切数.bf(x)dx因此在积分区间a,b上存在一点匚使得：f(E)= .b -a也即 f (x)dx = f G)(ba).a证毕附：下面是02年数三的一道证实题,证实方法与本定理很类似,大家可以试一试.【02年数三6分】：设函数f(x),g(x)在la,b上连续,且g(x)?0.试利用闭区间上连续函数的性质,证实存在一点匕 £ la,b 1,使得 f f (x)g(x)dx = f (t) j g(x)dx. aa4) 积分上限函数的导数x如果函数f(x)在区间a,b上连续,那么变积分上限函数 小(x)= f(t)dt在a,b上可导,

11、 a并且它的导数是d x(x) f (t)dt = f (x),a ： x b dx a【点评】：这个定理的重要性不用强调了,测试中也直接考到过它的证实.由于是对定理的证实,因此要证实 中(x)的导数等于f(x)只能用定义,对于大家强化导数的定义是一个很 好的练习.证实：由导数的定义可知,本定理等价于证实lim°：(x . ：x) - ：,(x)-x=f (x).x i'xx古 ：(x：x)Z(x) af dtL f(t)dt而 lim =lim a少 0 lx0lxx - xf(t) dt x.x由于f (x)在区间a, b上连续,因此由定积分中值定理可知：存在介于x与x

12、+ Ax之间的匕,I X '心,、,、使碍 f f (t)dt = Axf (-),Lx那么 lim " " W.x 0=蚓(勺.f() = lm f() = f (x).由于&介于x与x+Ax之间,因此当 Axt 0时,匕tx.又由于f (x)在区间a,b上连续,可知lim.'x,0(x x) -lx) 也即 lim = f (x).d x由导数的正义可知" (x) f (t)dt = f(x),a ： x ： b.dx a证毕5) 牛顿一莱布尼兹公式如果函数F(x)是连续函数f (x)在区间a b K 的一个原函数,那么bf (x)dx

13、 =F(b) -F(a)a【点评】：牛顿-莱布尼兹公式又名微积分根本定理,是由于它用一个简单的公式就成功地联系起了微积分中最重要的两个概念：微分和积分,极大地简化了定积分的计算.它是微积分最核心的定理之一,其简洁明了的形式也使它被认为是微积分几百年研究历史中最漂亮的结 论之一！该定理和上一个定理实际上是等价的,只需要用到一个函数在同一区间上的不同原函数间仅相差一个常数.大家不妨自己推证.6) 柯西一施瓦兹不等式设函数f(x),g(x)都在区间Ia,b上可积且平方可积(注意：这里没有说连续)L - b1那么有 | f (x)g(x)dxP2 b 2 b 2< f2(x)dx g2(x)dx

14、a- a【点评】：这个公式是教材上的习题,在测试时可以直接用.该公式在 f (x), g(x) 连续时也成立,但证实方法有区别,通过这个例子可以说明应用牛顿 一莱布尼兹 公式时检验被积函数是否连续的重要性.证实：-x-j2x 2x 2法一：令 F(x) = U f(t)g(t)dt - f (t)dU g (t)dt,xWa,b】aaa那么 F(a) =0.而一x 一一2 x 22 xF (x) =2f (x)g(x) f(t)g(t)dt - f (x) g (t)dt -g (x) f (t)dta- a- axx222_ 2=a2f(x)g(x)f(t)g(t)-f (x)g (t) -

15、 g (x)f (t)dt=,a " (x)g(t) -g(x)f (t) 2dt E因此F (x)在区间la, b】上单调递减.那么有 F (b) < F (a) = 0.整理即得所需不等式.证毕注：就此题来说,这个证实过程是错的.由于此题没有说f(x),g(x)连续,因此不能用变上限积分求导公式,也就是说对F'(x)的计算是不合法的.把这个证实过程而且利用函数单调性的方法在放在这里是由于在考研范围内我们遇到的函数大多是连续的, 积分不等式的证实中也是很有代表性的.易知,Vt w R,有 f tf(xtg(x)f dx 芝0.ab2bbb将括号翻开可得f (x) tg

16、(x) f dx = t g (x)dx 2t f(x)g(x)dx,i f (x)dxaaaa将该式看作变量t的二次函数,h(t).可知,h(t)芝0对任意的实数t都成立.由二次函数的相关理论可知,该二次函数的判别式小于或等于零也即f(x)g(x)dxb 2b 2-4 g (x)dx f (x)dx £ 0aa整理即得所需不等式.证毕注：由于这种证实方法所用到的条件比f (x),g(x)连续弱,因此当f(x), g(x)连续时,该证实过程也成立.但这个证实过程所用到的方法不具有代表性,大家了解一下即可.7) 二元函数偏导数存在与可微的关系如果函数z= f ( x, y)在点(x,

17、y)可微,那么函数在该点连续且两个偏导数均存在,并且:z = x y 0 . ：.x2 ：y2:x；y【点评】：学到多元函数时第一个困扰我们的就是多元函数的可微与可导不再等价,它们与连续性的关系也变得更为复杂了. 下面希望能通过几个定理与反例来 将这个关系说活楚.证实： 由可微的定义可知存在只与(x, y)有关而与Ax, Ay实数A,B使得z = AAx + BAy +o(J+x2 +/y2 )在点(x, y)附近成立.现证实a =庄,由偏导数定义可知,这等价于证实A = lim f(x"x,y)f(x,y) :xx-Dx由于 Az = AAx+BAy+ o( J*2 + Ay2 )

18、成立,因it匕 f (x wx, y) f (x, y) = Ax o：wx那么 lim 5 5一5= lim A"0(S=a+ lim 冬.x Dxx 少 xx 少 x由高阶无穷小的定义可知lim 冬 =0.因此,有A= lim f (x " y) - f (x, y).J. =x-x0_ x也即A = o :x一 z同理,可证B = W.3证毕注1:关于二元函数可微,偏导数存在、连续和偏导数连续的关系可以用下列图来表示：也就是说：偏导数连续的函数必然可微, 可微的函数必然连续并且存在偏导数, 但连续和偏 导数存在这两个概念本身是互不包含的 (也就是说连续的函数不一定存在偏导数, 偏导数存 在的函数也不一定连续).注二：例如：xy 2222,x y=0 一'2,在(0, 0)处的偏导数是存在的.1)函数f(x, y) =|x + y ,在(0,0)连续,但偏导数不存在.2)又如函数 f (x,y) = < x +y_2