洗涤铅华关注本质

1、洗涤铅华 关注本质关注数学本质，提高中考总复习效率遂川县教体局教研室 梁 靖随着初中数学全部教学内容的结束,中考数学总复习如期而至.无论是“杜郞口浪潮”，还是“扬思风暴”，对于总复习来说，似乎要就此告别了。我们普遍认同的中考数学复习方式大同小异，很难越出知识梳理，示例和同步训练等一般方式，如此完成第一轮后，然后就是专题复习，反复的模拟考试.但从历年中考的结果来看，复习的效果多是并不理想，考后再看看当年的中考题，似乎中考复习根本用不了那么长的时间，一些内容的复习似乎白累了。从理论上说，中考总复习可较大幅度提高成绩，但往往事与愿违.问题出在哪儿呢？是没有领会命题的意图而使复习方向错了，还有复习方法

2、不当?是否存在一种事半功倍，让学生减负，又可稳步提高成绩的方式？在此，我想从如何关注数学本质，突出中考数学核心知识内容复习的角度出发，谈点提高复习效率的建议。一、数学本质任何事物都是现象和本质的统一体，事物的本质和规律存在于大量现象之中，只有通过现象认识本质才是解决问题的最佳方法。数学问题呈现的符号、文字和图表语言好比现象，如果没有认识到它们之间的内在本质联系，就很难找到解决问题的方法。数学教学也是如此，当我们老师对数学的本质认识不足，那么在教学中必然导致学生对数学的理解停留在表面，教师无论怎么讲解，让学生反反复复做大量的题目，都是收效甚微。因此，在中考总复习中，认识数学本质内容对中考复习十分

3、重要是毋庸置言的。数学本质是一个哲学问题,到目前为止还没有一个统一的认识,对其认识应用变化的、发展的观点来看待.就中学数学教育而言,数学本质的内涵包括:数学知识的内在联系;数学规律的形成过程;数学思想方法的提炼;数学理性精神的体验等方面. 王尚志教授做的关于整体把握数学课程的报告中提出“数学教师、数学课要有数学味，我们在教学中要抓住数学的本质”。其要义在于我们要整体把握数学课程，要为学生的后续发展服务。在数学教学的内容中涵蕴着丰富的思想，如因数与积的关系蕴含着函数思想,简单的加法是从数数开始的，数数就蕴含了一一对应思想，将二元一次方程组通过消元转化为一元一次方程是一种转化化归的思想，一个分式等

4、于零要考虑分式为零，分母不为零度，这是一种分类讨论的思想，函数的性质通常通过描述其图像来直观地进行研究，体现数形结合思想。我们日日耕耘的数学教学内容中充满并闪烁着思想的精华，关注了这些精华才能使我们的数学课真正有“数学味”，而且使我们教学的对象学生更深刻地把握数学学习内容，获得终生学习、生活、发展所倚重的思想方法。数学本质是数学的灵魂,是数学教育追求的核心目标,是课程标准所倡导的“课程基本理念”中的重要内容,自然也是中考所重点考查的主要目标.传统数学考试注重对知识的单纯形式化记忆的考查,过分地着眼于形式和机械化的操作,使得我们的教学行为与思想观念上沉积了太多的铅华，这些偏离新程理念的教学方式很

5、大程度上弱化了学生对数学本质的理解，且长期左右着学生数学学习的兴趣和潜能的发挥. 新课程以来的中考则更强调体现数学本质的考查,使学生既能熟练、准确地用形式化语言来表述数学内容并解决数学问题,又能做到对数学过程与本质的理解,已成为中考命题的重要课题.在中考总复习中，关注数学本质是极为重要的问题，只是总复习的教学内容和采取的方法策略与平常的教学略有不同而已.总复习课同样需要有“数学味”，既使课堂深入数学本质，又精练高效。从这个角度提高数学中考复习课的效率不仅是个十分值得探讨的问题，而且显得更为重要而迫切。二、中考数学考查的本质内容 中考作为初中义务教育阶段的终结性考试,其本质上是“全面、准确地反映

6、初中毕业生在学科学习方面所达到的水平；旨在全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学。”因此，中考首先突出的是基础性，即重点考查初中数学教学内容中的基础与本质内容。初中数学主要由数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四大板块内容组成（来自数学课程标准（修改稿），某种程度上，对于这些内容的本质认识左右着我们在中考复习中，能否正确把握中考命题方向，决定我们了应当选取哪些复习内容、精选讲解与训练哪些试题，甚至采取怎样的复习方法等。就中考试题而言，数学的本质首先体现在所考查的数学的核心概念和思想方法。新课下的历年中考试题大都围绕数与式的运算和化简、解方程与不等式、概率初步等内容展

7、开，同时将归纳、演绎以及观察、试验、特殊化等数学思维方法，以及等价转化的思想、函数与方程思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等作为数学本质的内容蕴含在试题中。以近三年江西省中考试题为例，可感受到对初中数学教学内容中数学本质的考查的重要性。2009年至2011年江西省中考数学考查项目统计表考查内容2009年2010年2011年课程标准目标编号课程标准内容名称一1（1）（2）有理数、实数1、11,12（）1、71、2、9一1（3）（4）代数式2、18、2、9、254、10、11、17、25一2（1）方程（组）4、10、21、2513、17、18、216、12、20一2（2）不等式（组）145、23

8、11、25一3（1）（2）规律探索、一般函数22、25258、11、15、20、25一3（3）一次函数21175、14、一3（4）反比例函数16619一3（5）二次函数2423、2424二1（1）（2）（3）点、线、面、角、平行线3、221225二1（4）三角形及其全等3、7、24、254、8、16、23、24、257、13、15、16、25二1（5）四边形、多边形15、24、258、22、23、2514、19、二2（4）相似比例、三角函数2311、16、2316、21、22、25二1（6）圆及其性质13、2314、15、2213、20、21二1（8）空间图形、视图与投影93、163二2（1）

9、（2）（3）图形与变换5、2216、24、2515、二3图形与坐标16、21、2415、2415、19二4证明与推理（能力）7、22、24、2516、22、24、257、16、21、22三1统计意识6、202023三2随机观念191918数学思想与能力函数与方程10、21、2516、21、23、248、14、20、24转化与化归23、2514、1613、15、21、24、25分类讨论5、8、9、254、6、247、24数形结合8、16、216、14、158、14、24动手操作能力23、24、258、10、16、23、24、2515、24、25探究创造能力22、23、2516、21、22、242

10、4、25运算能力2、12（）、17、18、20、23、241、2、7、10、114、9、17应用意识10、15、21、2312、13、20、21、238、20、22 从上表的对比分析可看出，我省近三年对中考本质内容进行了突出的考查。1.对课标规定的二级指标达到了全面覆盖，即突出对初中数学主干内容的全面考查。如数的基本概念,式的基本运算,解方程(组)与解不等式(组),直线型的基本性质,视图与投影,统计与概率等题型与教材中的例习题相似,且多是容易或中档的常规题. 2.对数学中的最为本质的内容数学思想方法进行有针对性的重点考查.从表中反映出对数学思想方法的考查不仅渗透在客观题中的代数与几何的主干知识

11、考查中，而且在作为体现中考选拔性质的大题压轴题中，进行穿插、综合考查，利于展示学生在初中数学学业的成果和区分较高的思维能力水平。 3.重视通知题型的运用与创新,以能力立意,引导教学努力向突出课程本质、数学本质，以及为学生发展的教学本质转变。主要体现在对动手操作能力、数学在不同情景中应用意识、探究创造能力等考查的题型进行了重点考查和适度的创新。如在三年中的大题中都以动手操作为问题形成的基础，2009年的23题的操作测量，24、25题的点的运动；2010的24、25题平移与旋转、2011年的24题抛物线翻折、平移与25题摆放小棒；再如三年中的情景应用题均以现实生活中鲜活的、学生熟识的情境为背景，构

12、建应用方程、函数或三角形、四边形等主干知识的灵活应用的问题。这些试题意在引导初中数学教学重视知识的形成过程的教学，让初中数学探究活动的教学从形式走向本质，使数学探究活动更加科学有效,教师应在材料选择、情境创设、问题(活动)设计、组织形式、过程展开等方面,更多关注探究活动的本质意义,让学生在理解和掌握数学知识和技能、数学思想方法的同时,其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力得到必要的发展，为学生的未来的发展与终身学习能力的培养相关联的，这些也恰是我们数学教学的本质意义所在。三、对本质内容考查的中考试题例析 怎样的试题能突出了对数学本质内容的考查？以下从考查“双基”的试题、考查数学思想方法

13、、考查核心知识与能力，及探索型等综合型试题三大类题型进行简要分析。同时从2012年样卷中抽取部分试题，以体现近年我省中考命题在体现新课程思想理念的大方向的一贯做法与导向。 1.对 “双基”内容的考查例析例1 题1（2009 第1题）的绝对值是（ ）A B CD 题2 （2011 第2题）根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报，江西省常住人口约为4456万人这个数据可以用科学记数法表示为（）A.4.456×107人B.4.456×106人 C.4456×104人D.4.456×103人 题3 (2011 第4题)下列运算正确的是（ ）.A.a+b=a

14、b B. a2·a3=a5 C.a2+2abb2=(ab)2 D.3a2a=1题4 (2010 第9题)因式分解：2a28 题5 (2011 第17题)先化简，再求值，其中. 简析:以上各题考查是数与式中的核心概念和基本运算,都属卷中的容易题, 且与教材中的试题形式无异,三年的考查方式也基本相似.中考的这一命题导向一方面体现了中考试题的水平性考试的性质,另一方面旨在引导教学重视基础知识和基本技能的教学,不必人为地给学生加码,增加负担,只要在双基训练上适当抓好落实即可. 教学建议：从以上示例可看出，中考对“双基”的考查方式是基础与核心并重，其题型一般是客观题，及放在较前位置的解答题，形

15、式与教材上的例习题一致。因此，我们提倡在“双基”复习时，要做到如下几点：（1）回归课本，加强“双基”教学，全面系统复习基础知识。这是对复习基本方式的一个基本定位，提倡的是关注中考试题60%左右的基础、常规题，以及中一些中档题、综合性试题的第一问，大约近20分的分值。要力求避免的是，丢开教材，依赖于一本资料。一般多数资料条理性强，突出中考考点，且能精选近年中考试题，用起来的确方便，但为减少篇幅，一般起点较高，所选试题多数偏重综合性，知识点的归纳极其精要，不可能再现基础知识的形成过程，面向的是城区的中等以上学生，不适应基础较弱、理解力较差、思维常跟不上，容易“断电”和有知识缺陷的学生。（2）精选精

16、编试题，巧妙编排，以点带面，讲练结合。提倡按每节课内容知识形成的顺序，从最基本的小题出发，逐步变式，按知识网络一一牵出知识，融知识点的复习归纳与应用于一身。题量依学生基础的不同而略有增减，步步为营,层层递进，讲练结合,既再现知识的形成过程，又逐步加深对知识的理解，且形成知识网络，一举数得。如反比例函数一节课可设计如下梯次的试题：1.已知反比例函数y=，则下列点中在这个反比例函数图象的上的是（ ）意在揭示反比例函数的两变量之积为非零的常数.A（2，1） B.（1，-2） C.（-2，-2） D.（1，2）2.已知函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是（ ）yoABxA2BCD（或，=

17、 ）意在引出复习反比例函数的概念.3.已知如图,A是反比例函数的图像上的一点,ABx轴于点B,且ABO的面积是3,则k的值是( )A.3 B.-3 C.6 D.-6 意在揭示反比例函数与图像上的点有关的三角形面积的联系.4.函数 , 的图象如图所示，则结论： 两函数图象的交点A的坐标为（3 ,3 ) 当时，当 时，BC = 8 当逐渐增大时，随着的增大而增大，随着 的增大而减小其中正确结论的序号是 . 意在引出反比例函数的性质的复习.5.如图,反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B两点，则下列一次函数中，能使线段AB最长的是（ ）A. B. C. D.意在复习反比例函数的对称性与一次函数的

18、关系.6.如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）.求点D的坐标；求经过点C的反比例函数解析式. 意在复习图形(四边形)与坐标及反比例函数的综合运用. 这些试题在课堂上应预先考虑呈现方式和顺序,在板书的位置出要安排好,因为每一题牵涉到的知识点都要集中书写在醒目位置,最一题可在启发思考确定解题方法后,老师示范或学生独立完成,教师个别点拔,或采取板演,学生集体评价解题过程.解答题的规范书写要尽可能在每节课中进行训练,学生书写不规范或过程凌乱在中考网上阅卷评分时很易丢分. 在完成这些试题后,一定要安排3-5分钟的小结,可学老师引学生小结，关键的是要揭示各题之间知识与解题方法的内在

19、本质的联系。实际上这些试题无论结合的是什么知识,以什么形式呈现，都与第一题“两变量之积为非零的常数”这个重要结论密切相关。三角形的面积是两变量之积的一半（k值），双曲线的对称性及其它一些性质都可此结论产生的，从这个角度小结解题方法起到画龙点睛的作用。这种小结比忙于多做一两道题作用和效果好得多。 2.对数学思想方法的考查例析 （1）数学思想方法考查举例例2 题1（2010 第14题）如图所示，半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为_ 题2 （2011 第14题）将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 题3

20、 （2011 第24）将抛物线c1：y=沿x轴翻折，得抛物线c2，如图所示.（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E；当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值；在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由.yxOc1c2yxO备用图 简析:本例题1意在考查转化化归思想,题2重在考查函数思想,题4意在考查在规律探索中考查分类讨论

21、与方程思想.这些试题构建问题简明、自然，涉及的知识都是主干核心知识，运算解决问题过程并不复杂，重在分析能力与数学思想方法的灵活应用。题3更是由已知简单的抛物线分别进行轴对称变换得到两个抛物线、再将两个抛物线分别向左右平移变换，入手易，层次分明，问题的形成自然。从新的角度考查了方程思想、分类讨论思想。在平移的动态变化中，通过设置问题：“当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值”，产生出问题的多样性，有效地考查了分别讨论思想，学生在此处只有具备较好的数学素养，通过画图数形结合地分析，较全面、严密的思维能力才能发现问题要从两种情况进行讨论求解。在求解的过程中，又要建立方程模型，这样同时考查了数形结合

22、、分类讨论和方程思想，而且对于特殊四边形、勾股定理等空间与图形核心内容进行了有效考查。（2）初中数学思想方法的要点数学思想方法是数学本质内容之一。初中数学中蕴含的数学思想方法很多,最基本最主要的有:转化的思想方法,数形结合的思想方法,分类讨论的思想方法,函数与方程的思想方法等。转化的思想方法：就是人们将需要解决的问题,通过某种转化手段,归结为另一种相对容易解决的或已经有解决方法的问题,从而使原来的问题得到解决。初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易,化未知为已知等,它是解决问题的一种最基本的思想方法。数形结合的思想方法：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学,因而研究总是

23、围绕着数与形进行的。“数”就是代数式、函数、不等式等表达式,“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系,以形直观地表达数,以数精确地研究形。函数与方程的思想方法：是客观世界中事物运动变化,相互联系,相互制约的普遍规律在数学中的反映,它的本质是变量之间的对应。用变化的观点,把所研究的数量关系,用函数的形式表示出来,然后用函数的性质进行研究,使问题获解。如果函数的形式是用解析式的方法表示出来的,那么就可以把函数解析式看作方程,通过解方程和对方程的研究,使问题得到解决,这就是方程的思想。在初中数学教材中,其它的思想方法都是隐藏在数学知识里,没有单独提出来,而函数与方程的思

24、想方法,其内容和名称形式一致,单独作为章节系统学习。 分类讨论的思想方法：就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点,将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类是以比较为基础的,它能揭示数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识,解决数学问题。初中数学从整体上看分为代数、几何两大类,采用不同方法进行研究,就是分类思想的体现。具体来说,实数的分类,方程的分类、三角形的分类,函数的分类等,都是分类思想的具体体现。（3）复习建议全面把握整个中考命题范围内的有关数学思想方法的知识内容。如转化思想方法涉及的主要内容：代数式中加法与减法的转化,乘法与除法的转化,换元法解方程,解二元一次方程组时，经消元

25、后转化为解一元一次方程，几何中添加辅助线等等,都体现出转化的思想方法。初中数学中涉及分类讨论的主要内容：代数中的含字母的式子的绝对值、方程的概念、分式方程的根、一元二次方程的根的情况、函数的定义、坐标系中点的位置的讨论等；几何中的图形之间位置的讨论（如点与圆，直线与圆，圆与圆的位置关系）、未明确对应关系或不提供图形的图形求解问题等。以及还有一些创新发生性的其他问题都有可能涉及分类讨论思想。在相关内容复习时，选取典型例题穿插进行训练。如分类讨论思想方法的训练,在数与式的内容中可选取如下试题:若分式的值为零，则x等于（ ）A.2 B.-2 C. D.0在数轴上,若点M表示的数是1,点N表示的数是x

26、,两点之间的距离是5,则x的值为 .（2010 云南红河）如果 与是同类项,则m与n的值为( )A.3和-2 B.-3和2 C.3和2 D.-3和-2（2010江苏淮安）下面四个数中与最接近的数是( ) A2 B3 C4 D5实际上,在初中数学的各板块内容中,蕴含着丰富的数学思想方法问题,在一些知识的交汇处,也可创新设计出不少有关数学思想方法的应用的试题.对于这些试题,在复习中要分类穿插渗透在训练题中. 3.探索题等综合型试题例析（1）探索性等综合试题考查举例 例3 题1 （2009 第23题） 问题背景 在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面

27、是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm.任务要求（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线与0相切于点.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图3，景灯的影长等于线段的影长；需要时可采用等式）.DDFE900cm图2BCA60cm80cm图1GHNE156cmMEOE200cm图3KE（例3题1）题2 （2010 第23题）图

28、1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达B时，伞张得最开已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN=CM=CN=60分米，CE=CF=18.0分米，BC=20分米设AP=x分米（1）求x的取值范围；（2）若CPN=60°，求x的值；（3）设阳光直射时，伞下的阴影（假定为圆面）面积为y，求y关于x的关系式（结果保留） 题3 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设BAC=（0°90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.活动一： 如图甲所示，从点A1开始

29、，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A1A2为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)（2）设AA1=A1A2=A2A3=1.=_度；A1A2ABCA3A4A5A6a1a2a3图甲若记小棒A2n-1A2n的长度为an（n为正整数，如A1A2=a1，A3A4=a2，）， 求出此时a2，a3的值，并直接写出an（用含n的式子表示）. 活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1.数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则1 =_，2=_， 3=_；（用含 的式子表示）（4）若只能摆放4

30、根小棒，求的范围.简析：本例题1既是课题学习题，又是操作型试题，以三种有内在联系的测量问题为背景，有效地考查了投影、三角形相似和圆的性质，以及数据处理能力、动手操作能力和分析解决实际问题的能力，从题中似乎可感受到学校学习研究之风的浓厚和校园文化之美；题2直接取材于街头常见的遮阳伞，将其数学化，试题配以文字，同时展示原景与抽象后的几何图形，图文并茂，考查了心智操作中综合利用菱形、相似形，方程解决问题的能力，更为重要的是考查学生数学的应用意识，体会生活中的数学无所不在；情景题3的摆小棒中学生基本经历过中的游戏中，探索规律，体会数学知识的形成过程，在层层深入的活动中不断深化数学思考，培养学生良好的数

31、学应用意识和在玩中用数学，发展思维、体验数学有用、有趣、有意义。 (2)复习建议 在复习中，如果只停留在知识形成网络，还远远不够，要想挑战优异的成绩，还在于提高综合利用知识分析解决问题的能力。因此，我们要做到选题抓住核心内容，从训练思维的有序性切入，逐步提升学生的思维水平，这是复习课的难点也是关键点。 由于初中生年龄特点及认知水平的限制，多数学生表现出思维的无序性，停留在就题论题的阶段，缺乏深入思考。因此，在选取综合性试题时，既有考虑试题突出核心内容与重要思想方法的考查，又要在讲解中把自己猜测、推理的心理活动揭示给学生，又要给学生思考的空间和机会，以暴露学生的思维过程，这样才能逐步使学生的思考

32、问题的方式变无序为有序，变偶然为必然，达到提高学生的逻辑思维水平和认知能力的目的，实现对知识的掌握深入本质，数学思想方法的运用的有质的飞跃。如探索性试题的复习中，以考查二次函数为主的探索性试题是必选的。二次函数是整个初中教学内容的核心，命题创新空间大，如果将代数与几何分别比作“长江”与黄河，那么二次函数就是它们奔腾交汇一起注入的大海，二次函数的特点使得初中学生的所有重要内容很容易联系在一起，成为学生能力水平得以展示的广阔天空与海洋。因各省市中考命题皆比较青睐，二次函数的探索性试题常用为压轴题。例4 （2011北京）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A的坐标；（2）当ABC=45°时，求m的值；（3）已知一次函数y=kx+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx2+（m3）x3（m0）的图象于N若只有当2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式本题将二次函数与含