二次根式的乘除法-知识讲解

1、二次根式的乘除法一知识讲解(提升)责编：康红梅【学习目标】1、 掌握二次根式的乘除法那么和化简二次根式的常用方法,熟练进行二次根式的乘除运算2、 了解最简二次根式的概念,能运用二次根式的有关性质进行化简【要点梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法那么：由,明二、底 (a > 0, b > 0),即两个二次根式相乘,根指数不变,只把被开方数相乘.要点诠释：(1) 在运用二次根式的乘法法那么进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示非负数).(2) 该法那么可以推广到多个二次根式相乘的运算：/" J：广；

2、- 一 g厂q (, a°, "a a°, .；(! > °):(3) 假设二次根式相乘的结果能写成 /的形式,贝U应化简,如 面=4.2积的算术平方根,底二扁 JT(a >0, b >0),即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积要点诠释：(1) 在这个性质中,a、b可以是数,也可以是代数式,无论是数,还是代数式,都必须满足a >0, b> 0,才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义,等式也就不能成立了；(2) 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数,把含有 白形式的a移到根号外面.知识点二

3、、二次根式的除法及商的算术平方根1. 除法法那么：- 但(a > 0, b>0),即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.4b V要点诠释：(1) 在进行二次根式的除法运算时,对于公式中被开方数 a、b的取值范围应特别注意,a > 0, b >0,由于b在分母上,故b不能为0.(2) 运用二次根式的除法法那么,可将分母中的根号去掉,二次根式的运算结果要尽量化简,最后结 果中分母不能带根号.2.商的算术平方根的性质(a >0, b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方铲除以除式的算术平方根要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简,运用时仍要注

4、意符号问题 知识点三、最简二次根式(1) 被开方数不含有分母；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释:二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况:(1) 被开方数是分数或分式；(2) 含有能开方的因数或因式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除【高清课堂：一次根式及其乘除法(下)例9 (2), (3)】i.计算：(1)俱三乂(-屯(2)r 212aa .8a a ., 2a a【答案与解析】2 .2a2 a2 空箜2a a2、晶之率玉 a a4.2.【总结升华】根据二次根式的乘除法那么灵活运算,注意最终结果要化简举一反三：【高清课堂：二次根

5、式及其乘除法(下)例 9(4)】【变式】2a2 b2x26x23a 3b4 a b5' b【答案】原式=2 1 54a b x a b6x23a 3b b5 ：(a b)(a b) _26x22x3(a b) a b2 .18J 瓦(m> 0,n>0);(2)-3(a > 0).x3 (2【思路点拨】复杂的二次根式计算,要注意在化简过程中运用藉的乘除运算和因式分解运算【答案与解析】原式=-2工=-2住=志a.I 2ej2 m m-n M 2【总结升华】熟练乘除运算,更要增强运算准确的练习.举一反三：【变式】1=25!,且x为偶数,求(i+x)公j的值.V 次-6 Jk

6、 - 6V -19-0 fz <9【答案】由题意得,即x-6 >0_x > 6- 6 v x< 9, x 为偶数,- x=8原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)七=j 1.当x=8时,原式的值=山x9 =6.类型二、最简二次根式Ch.0<a<b,化简立 也2ab_a2. a b a3b2 a2b3【答案与解析】原式1 (a b)a b y a b (a b) a b ab v (a b)(a b)= a bab【总结升华】 JO2 a成立的条件是a>0;假设a<0,那么J2a.(2021?黄石)观察以下等式:第1个等式:第2个等式:第3个等式

7、:第4个等式:a1= I= 1W2a =a2=V2+V3a3=r2s a4=_15- 2, 2+V5答复以下问题：a3=瑚T,按上述规律,(1) 请写出第n个等式：an=(2) a+a2+a3+, +an=【思路点拨】(1)根据题意可知,a1=_!_HV212 - 1, a2=1=Jn+ 4ri ；=匚-2,由此得出第 n个等式：an=VnW n+1(2)将每一个等式化简即可求得答案.解：(1) .第第2个等式:第3个等式:第4个等式:1个等式：a = 十- 1,a2=V2+V3a3='=2 -二,V3+2a4= I2+V5=Jn+.l Vn;Vn+Vn+1(2) a+a2+a3+an=(V2- 1) + (泻-扼)+ (2-媚)+ (遍-2) + (|Vn+i Vn) =dn+1 - 1.第n个等式：an=故答案为【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化,要求学生首先分析题意,找到规律,并进行推导得出答案.【变式】Jl的整数局部是a,小数局部是b ,求a2 ab b2的值.2 、3Q原式=(2回(2而)=2 +而2 =7+4衣XX=