安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020届高三上学期入学考试数学(理)试题和答案

1、安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-1 - / 14颍上二中（合肥十中颍上实验中学）2020 届高三开学考测试卷高三数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。1 已知集合A珂-1,0,1,2, B =x|x2乞1，则A一B二（）A -1,0,1B.0,1C. -1,1D.0,1,21 i,2设z2i，则|z|=(1 +iC. 1D.3.演讲比赛共有 9 位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到

2、7 个有效评分。7 个有效评分与 9 个原始评分相比,不变的数字特征是（A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差解由于共 9 个评委，将评委所给分数从小到大排列，中位数是第5 个，假设为a，去掉一头一尾的最低和最高分后，中位数还是a，所以不变的是数字特征是中位数。其它的数字特征都会改变。4.（1 2x2）（V x）4的展开式中x3的系数为（）A.12B.16C.20D.24解由题意可知含x3的项为1 C31 x32x2C41312x3，所以系数为125我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了 381

3、盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A . 1 盏B. 3 盏C. 5 盏D. 9 盏6.若a b,则（)A.ln(a -b)0B.3a: 3bC.3, 3a-b 0D.|a| |b|解由函数y =x3在R上是增函数，且a b，可得a3b3，即a3-b3 0.安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-2 - / 14安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-3 - / 142 27.直线x + y+2 =0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)+y2=2上，则厶AB

4、P面积的取值范围是()A.2,6B.14,8C.阵，D .2yf2, 3 血8 若函数f (x) =x3 (a -3)x2- ax为奇函数，则f (x)的极大值点为( B )A. 3 B. -1 C. 1D. 29. 7 个身高均不相同的学生排成一排合影留念，最高个子站在中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有()10 函数卡2的图像大致为()11.关于函数f(x)=sinx+sinx有下述四个结论:其中所有正确结论的编号是A. 20 B. 40 C. 120D. 400f (x)是偶函数f (x)在区间(一，二)单调递增2f (x)在丨-二二 1 有 4 个零点f (x

5、)的最大值为2安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-4 - / 1412 设 A、B 是椭圆 C :3 mA. B. C.D.x2安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-5 - / 14则 m 的取值范围是（）A（0,1U【9,B.（0,、3U9,：）C（0,1U【4,：）D.（0,、3U4,二）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.曲线y =3（x2 x）ex在点（0,0）处的切线方程为.14._ 函数f（x）=sin2x +J3cosx-3（x 0,匹）的最大值是 _421

6、5. 甲乙两队进行篮球决赛， 采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是16.甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为E,贝UE （E）为三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。17.（12 分）ABC的内角 代B,C的对边分别为a,b,c.设sin B sin C2

7、= sin2A -sin Bsin C.（1）求A;（2）若，2a b =2c，求sinC.18. （12 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M是 CD上异于C,D的点.（1）证明：平面AMD丄平面BMC;（2） 当三棱锥M -ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-6 - / 14219.(12 分)设椭圆C :y2=1 的右焦点为F，过F的直线丨与C交于A,B两点，点M2的坐标为(2,0).(1 )当丨与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为

8、坐标原点，证明：.OMA二/OMB.20. 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.(1) 求P(X =2);(2) 求事件“X=4 且甲获胜”的概率.121.(12 分)已知函数f(x) x a lnx.x(1) 讨论f (x)的单调性；一、f (M )- f ( x2)(2 )若f (x)存在两个极值点X1,X2，证明：-一：a-2.22.

9、选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分)x = 2cos0 ,在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为(0为参数)，直线 l 的参数方y = 4sin0 x =1 t cosa,.、，/、“,，程为(t 为参数).安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-7 - / 14=2 十 tsina(1 )求 C 和 I 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 I 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 I 的斜率.23.选修 4 5：不等式选讲(10 分)设函数 f (x) = 5x a | |x2| .安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高

10、三上学期入学考试数学（理）试题和答案-8 - / 14(1 )当 a=1 时，求不等式 f(x)_0 的解集;(2) 若 f (x) 1，求a的取值范围.安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-9 - / 14颍上二中（合肥十中颍上实验中学）2020 届高三开学考测试卷高三数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。21 已知集合A珂-1,0,1,2, B =x|x 1=y/3fb即当焦点在y轴上，要使c上存在点M满足ZXA/B=20则VW13.曲线y =3(x2x)e

11、x在点(0,0)处的切线方程为y =3x- /-3(2x 1)ex3(x2x)ex=3(x23x 1)ex,结合导数的几何意义曲线在点(0,0)切线方程为y=3x.314.函数f(x)=sin2X + J3COSX-一(x0,二)的最大值是142【解析】试題分析：化简三角的數的解析式，则=1COS JC+ COSJC- = CO31X ICOS JC + = ( (CQ&JC -+1：由x&0,可得斗422coE0.1 ,当如*吋.函数/(Jt)取得最大值1,A. B. C. D.因为f(x) =sin x +|sin(x) =sin x + sinx = f(x)，所以f (

12、x)是偶函数，正确,5二2二二5二2二因为，(，二)，而f(厂：f()，所以错误，63263画出函数f (x)在丨-二，二I上的图像，很容易知道f (x)有3零点，所以错误，安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案2-12 - / 1415.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是_ 0.18.甲队要以4：1，则甲队在前 4 场比赛中输一场，第 5 场甲获

13、胜，由于在前 4 场比赛中甲有 2 个主场 2个客场，于是分两种情况：C20.6 0.4 0.520.6 +0.62C；0.5 0.5 0.6 = 0.18.17.甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为E,贝 U E（E）为 1.8ACAAB CABAD CA13.y =3x14. 115.0.1816. 1.8 _三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。18.（12 分）ABC的内角代B,C的对边分别为a,b,c.2 2设sin Bsi

14、nC sin A -sin BsinC.(3) 求A；(4) 若12a b = 2c，求sin C.解：(1)由si n Bsi nC二si n2As inBsinC得si n2B si n2Csi n2A = si nBsi nC2 2 22Ab c - a-a bc二cos A=2 b c又A (0,二),A二一.结合正弦定理得b2c2安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-13 - / 143由.2a b = 2c得、2 sin A sin B二2sin Csin A sin A C二2sin C安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三

15、上学期入学考试数学（理）试题和答案-14 - / 1418. (12 分)如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M是 CD上异于C,D的点.(1) 证明：平面AMD丄平面BMC;(2) 当三棱锥M -ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.解:(1)由题设知，平面 CMD 丄平面 ABCD,交线为 CD.因为 BC 丄 CD,BC -平面 ABCD ,所以 BC 丄平面 CMD,故 BC 丄 DM.因为 M 为CD上异于 C, D 的点，且 DC 为直径，所以 DM 丄 CM.又 BC| CM=C,所以 DM 丄平面 BMC.而 DM ：_

16、平面 AMD ,故平面 AMD 丄平面 BMC.(2)以 D 为坐标原点，DA的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 6sin( C) = 2sin C, 3sin C -1cosC = 23sin(Cw)吟又又sin(C )0 0 C6 6sin C =sin(c _ 一)=sin6 62222二JIC 3662兀、2cosi C - ?2162兀)JIf一兀、兀C -coscoslC-一sin V6 66 6安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期入学考试数学（理）试题和答案-15 - / 14T安徽省阜阳市颍上县第二中学等三校2020 届高三上学期

17、入学考试数学(理)试题和答案-16-/ 14当三棱锥 M-ABC 体积最大时，M 为CD的中点由题设得D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M(0,1,1)，AM十2,1,1),AB=(0,2,0),視=(2,0,0)设n = (x, y, z)是平面MAB的法向量，则n AM叽-2x y0,可取n= (1,0,2).sin：；n,DA =，所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是2 w19. (12 分)设椭圆C :y2=1的右焦点为F,过F的直线丨与C交于A, B两点，点M2的坐标为(2,0).(1 )当丨与x轴垂直时，求直线AM的方程；

18、(2)设O为坐标原点，证明：.OMA =/OMB.解：(1 )由已知得F(1,0), l 的方程为 x=1.所以 AM 的方程为y 1,2或y 2 X _22 2(2)当 I 与 x 轴重合时，.OMA = OMB =0.当 I 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMA = OMB.当 I 与 x 轴不重合也不垂直时，设 I 的方程为y =k(x-1)(k = 0),A(X1, %), B(X2, y2),则2,x2 2，直线 MA, MB 的斜率之和为kMAkMBi丄i_ 2kx1x3k(x1+x2pH4k由 =k, y2二kx2- k得kMAkMB=即彳-n AB =0.2y =0.DA是平面MCD的法向量，因此cos n,n些.5I n |DA|52.5由已知可得，点y1. y2xx2ta n,当cos-0时，I的直角坐标方程为x=1.(2)将I的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程2 2(1 3cos : )t 4(2cos .二 sin : )t _8 = 0.因为曲线C截直线I所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t,t2，则tit 0.又由得右t2- -4(2cOsfn ),故2cs :0 =,于是直线I的1+ 3cos a斜率k