学生版第七讲因数与倍数(公因数和公倍数(二)

1、同步精练第七讲因数与倍数（公因数和公倍数（二）【知识概述】这一讲我们主要介绍最小公倍数与最大公约数之间的关系。定理一：两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质，即： 如果（a, b） =d,那么（a+d,bd）=1o定理二：两个数的最小公倍数与最大公因数之积等于这两个数的乘 积。即a, bX （a, b） =aXbo定理三：两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。例题精学例1两个数的最大公因数是4.最小公倍数是252,其中一个数是28,另一个数是多少一.4A【思路点拨】设一个数为A,得短除式如下：显然，7和a互质，否则4就不是最大公因数，那么252=4X7Xa,a=9, A=4

2、X9=36O另夕卜，我们可以根据定理：a, b X （a, b） =a X b。求得4 X 252+28=36。1 .某数与24的最大公因数是4,最小公倍数是168,这个数是多少2 .甲数和乙数的最大公因数是6,最小公倍数是90,且小数不能整除 大数，求这两个数。3 .四个连续奇数的最小公倍数为6435,这四个奇数中最大的一个为 多少例2两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个数的 差。【思路点拨】若(A, B) =d,可以假设A=ad, B=bd,那么a和b互质， 即(a,b)=1。在本题中，由于已知两数的最大公因数为5,故可设一 个数为5a,另一个数为5b, (a, b)=1o

3、又因为这两个数的和为50, 这样可以得到5a+5b=50, 5 (a+b)=50, a+b=10o根据a与b互质， 我们不难得到a=1,b=9或a=3,b=7。这样可以求出这两个数是5X3=15 和5X7=35或5X1=5或5X9=45。它们的差也就好求了。1 .两个自然数的和是56,它们的最大公因数是7,求这两个数。2 .已知两个自然数的积是5766,它们的最大公因数是31,求这两个 数。3 .两个数的和是70,它们的最大公因数是7,求这两个数的差是多少。例3两个数的最大公因数为21,最小公倍数为126,求这两个数的 和。【思路点拨】已知两个数的最大公因数是21,最小公倍数是126,要 求这

4、两个数，可以根据“两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等 于这两个数的乘积”先求出这两个数的乘积，再把这个积分解成两个 数。再求两个数的和。设这两个数为A和B,根据题意：21 I-T-B-（a与b互质） aXb=12621=6=1 X 6=2X3a=2A=21X2 明=2.26=147b=3B=21 X S a+B=42+63=1 05b=6B=21X6=izo同步精练1 .两个自然数的最大公因数是7,最小公倍数是210,这两个数的和 是77。求这两个数。2 .两个数的最大公因数是12,最小公倍数是72,这两个数的和是多 少3 .两个数的最大公因数是18,最小公倍数是180,两个数的差是54,

5、如果 m=2 ,那么 a+b=27 , a X b=58。58=1 X 58=2 X 29 ,且求这两个数的和。例4两个自然数的和是54,它们的最小公倍数与最大公因数的差是 114,求这两个自然数。【思路点拨】设两个自然数为A, B,且人8。mB m是两个数的最大公因数,a与b互质。根据条件可得:aXbXm-m=114,a X m+b X m=54o 化简后 得(ab-1) Xm=4m是14和54的公因数。(a+b) Xm=54(114,54) =6o因为6的因数有1, 2, 3, 6,所以m可能是1, 2,3,6o 如果 m=1,那么 a+b=54, aXb=115o115=1X115=5X

6、23,且 1+115=11654, 5+23=2854,所以 m 不可能是1o1+58=59/27, 2+29=31/27,所以加不可能是 2。如果 m=3,那么 a+b=18, aXb=390 39=1 X39=3X13, JL 1+39=40/18, 3+13=16-18,所以m不可能是3。如果 m=6,那么 a+b=9, aXb=20o 20=4X5,且4+5=9,所以 m=6。那么 A=6X4=24, B=6X5=30o同步精练1 .两个数的差是4,最大公因数与最小公倍数的积是252,求这两个 数。2 .两个数的差是30,它们最小公倍数与最大公因数的差是450,求这 两个数。3 .两个

7、自然数的差是2,它们的最大公因数与最小公倍数之和是86, 求这两个数。练习卷1 .两个数的最大公因数是60,最小公倍数是720,其中一个数是180, 另一个数是多少2 .两个自然数的最大公因数是15,最小公倍数是180,其中一个数是 45,求这两个自然数的差。3 .已知两个自然数的和为165,它们的最大公因数是15,求这两个数。4 .已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。5 .两个数的最大公因数是6,最小公倍数是144,求这两个数。6 .两个不同自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和 也是60,满足条件的自然数共有多少组7 .两个自然数的和是60,它们的最大公因数与最小公倍数的和是84, 求这两个数。8 .已知a与b, a与c的最大公因数分别是12和15, a, b, c的最小 公倍数是1