7.2.1三角函数的定义2019(秋)数学必修第三册人教B版(新教材)改题型

1、7.2 任意角的三角函数721 三角函数的定义直径为2R,逆时针方向匀速运动，转动一周需要 360秒.课标要求素养要求1借助单位圆理解任意角的三角函数定通过对正弦函数、余弦函数、正切函数义.定义的理解，重点提升学生的数学抽象2能利用定义解决相关问题.和直观想象素养.问题1.若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发，过了 30秒后，你离地面的 高度h为多少？过了 45秒呢？过了 t秒呢？2建立如图所示直角坐标系，射线 OP与单位圆交于点P,设点P(xp, yp),你 能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角a的正弦函数吗？能否也定义其他函数(余弦、正切)？改变终边上的点的位置，这三个比值会改

2、变吗?提示h= ho+ Rsin 45，° 秒时,h = ho+ Rsin t .2能，sin a= yp, cos a= xp, tan a=箱，改变终边上点的位置，比值不会改变.匕新知梳理1. 任意角的三角函数的定义在直角坐标系中角a终边上的任意一点(异于原点)都可以确定角a的三角函数值对于任意角a来说，设P(x, y)是a终边上异于原点的任意一点，r = .'x2 + y2, 则由三角形相似的知识可知y与X跟P在a终边上的位置无关，只与角a终边的位 r r置有关.一般地，称y为角a的正弦，记作sin a；称X为角a的余弦，记作COS a,因此yXsin a= r，cos

3、 a= r -当角a的终边不在y轴上时，同样可知丫与点P在a终边上的位置无关，此时称yXX为角a的正切，记作tan a,即tan a ',角a的正弦，余弦与正切都称为 a的三X角函数.2. 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域定义域是指三角函数的定义中使此值有意义的角的范围(1) 正弦函数y= sin x的定义域为R;(2) 余弦函数y= cos X的定义域为R;(3) 正切函数y=tan X的定义域为x* R且xmkn+才，k Z.3. 正弦、余弦与正切在各象限的符号记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.教材拓展补遗微判断1 .角的三角函数值随终边上点的位置变化而变化.(X

4、 )提示 角的三角函数值与点在终边上的位置无关.2. 若角a终边过点(1，3)，则sin a 3彳00.(")3. 终边在x轴上的角的正切值不存在.(x) 提示 终边在y轴上的角的正切值不存在.4 .若角a的终边在第三象限，则 cos a 0，tan a 0.(V)微训练1. 已知角a的终边经过点(3， 4),则Sin a+ cos a的值为.1答案-1532. 若点P(3, y)是角a终边上的一点，且满足y<0, cos a5则tan a.解析35,16, tan a= 4答案-4微思考 1 三角函数值的大小与点P在角a终边上的位置是否有关？提示 三角函数值是比值，是一个实数

5、，没有单位，这个实数大小和点 P(x, y) 在终边上的位置无关，而仅由角 a的终边位置所决定对于确定的角 a其终边 的位置也唯一确定了，就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.2. 若两个角a, B的正弦值相等，那么a= B吗？提示 不一定相等，a B可能相等，也可能为终边相同的角，还可能终边关于 y轴对称.琛皇且砌 爲注胃:忻mu 111IIKImu mu11:111题型一三角函数定义的应用【例1】(1)已知角a的终边在直线y=X上，贝U sin a.角的终边是射线，所以角的终边落在直线上有两种情况3(2)在平面直角坐标系中，角a的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为5,求tan

6、 a(1)解析 易知角a的终边在第一象限或第三象限,P的坐标为当角a的终边在第一象限时，角a的终边与单位圆的交点 则sin当角a的终边在第三象限时，角 a的终边与单位圆的交点P'的坐标为综上可知,答案-2，则 sinsin a=a=彳或sin_2J2o=3解由题意，设点A的坐标为x, 5 ,、232所以x + 5 = 1,44解得x=5或5. ?3- 4-5- 4- 54当X = 5时，角a在第一象限,3453当x= 5时，角a在第二象限，tan a= = 4.5规律方法(1)已知角a终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在a的终边上任选一点P(x, y),设P到原点的距离为r(r&g

7、t;0)，则sin a= *, cos ax二x当已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便.(2)在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线还是应分两种情况处理.【训练1】(1)已知角a的终边经过点,tan a=.2冗利用定义求§的正弦、余弦和正切值.2+(1)解析因为32，1-1在单位圆上，由三角函数的定义知1 sin a= 2,1 答案1cos a= 2 , tan a 3 .2解如图所示,3的终边与单位圆的交点为P，过点P作PB丄x轴于点B,在 RtAOPB 中，|0P匸 1,1|OB|=刃则 P 2,2 J3所以sin 3 =-2n 2 tan 3

8、 =2题型二分类讨论法求三角函数值12 .2nCOS "3 =.'3.12,【例2】 已知角a的终边过点P( 3a，4a)(aM0)，求2sin a+ cos a的值.在求r时应注意r = |OP|>0.解 r(-3a) 2+(4a) 2= 5|a|, 若a>0,则r = 5a,角a在第二象限.sin a=y=r 4a5a45,COS a 3a 35a 5,所以2sin a+ COS1. 若a<0,则r - 5a,角a在第四象限,4a4sin a 5a53a 3COS a 匸,5a 5所以2sin a+ COs8 3a 5+51.规律方法(1)已知角a终边上

9、任意一点的坐标求三角函数值的方法在a的终边上任选一点P(x, y)，设P到原点的距离为r(r>0),贝U sin a十,cos axr.当已知a的终边上一点求a的三角函数值时，用该方法更方便.(2)当角a的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.5【训练2】已知角a的终边经过点P(5m, 12), 且 cos a厉，则m.解析 r (5m) 2+ 122 * 25m2 + 144 , cos a 琴寻 <0 ,m<0,m17 25m2 + 14413'解得m 1.答案 1题型三三角函数值符号的判断判断符号一般按如下步骤进行：判断角所在象

10、限；判断三角函数值的符号； 判断代数式的符号I例3】判断下列各式的符号:(1)sin 145 cos( 210°) ； (2)sin 3 cos4tan 5.解 t 145°是第二象限角，二sin 145 )0. 210° = 360° + 150°,二210°是第二象限角， cos(- 210°)< 0, sin 145 cos( 210°< 0.n3 n(2) t 2< 3< n< 4<2< 5< 2 n sin 3>0, cos 4<0, tan 5

11、<0, sin 3 cos 4tan 5> 0.解题的关键是准确号，记忆口诀：规律方法角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符 一全正，二正弦，三正切，四余弦.【训练3】已知cos 0tan «0，那角B是()A第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C 第三或第四象限角D 第一或第四象限角解析 t cos Otan «0，cos «0，cos 00,或tan 0>0tan «0.cos O<0,由得角O为第三象限角.tan O0,cos 0>0,由得角O为第四象限角

12、.tan «0,角O为第三或第四象限角.答案 C1 通过本节课的学习，重点提升数学抽象、直观想象素养.2三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x, y)在终边上的位置无关，只由角a的终边位置确定即三角函数值的大小只与角有关.3 要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题，并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.二、素养训练1 若角a的终边上有一点P(0，3)，则下列式子无意义的是()A. tan a B. sin aC. cos aD .都有意义解析 由三角函数的定义sin ay，cos a= X，tan ay 可知tan a无意义.答案 A2

13、. 若角a的终边上一点的坐标为(1, 1)，贝U cos a ()A. 1B. 1C.2D "2解析 角a的终边上一点的坐标为(1， 1)，它与原点的距离r =则 x2 + y2= 1,又 y= ；3x(x>0).1x= 2, 解得 3、选择题于是 sin a= y= 3, cos a= x=1, tan a= £= ' 31.已知角a的终边与单位圆交于点,A21B.- 2C3.2解析由定义知r = 1, sin a12故选答案B2.已知角a的终边经过点P（3,-4),则A1c 37B.37C375.20解析-P(3, 4),r 5,B.sin1，则sin a

14、的值为（1D.2a+ 1 =()cos a小13D不sin45,cos sin1a+ =cos a55 1 3一 154+=1323故选D.答案3 已知角a的终边经过点P(m, 3),cos a=11BEC. 4解析 cos a=,解得m= 4（m= 4不合题意，舍去）.答案 C4若B是第二象限角，贝U下列选项中一定为正值的是()999A. sin 2B. cos 2 C. tan 2 D. cos 2999解析 因为9是第二象限角，所以2为第一或第三象限角，所以tan 2>0.答案 C5. 若角a的终边与直线y= 3x重合，且sin a<0,又P(m, n)是角a终边上一点, 且

15、 m2 + n2= 10,贝U m n=(C. 4n = 3m,解析由题意知m2+10,m2= 1,m<0,n<0二 m= 1, n= 3. m n= 2,故选 A.答案 A二、填空题6. 已知tan x>0,且sin x+ cos x>0,那么角x是第 限角.解析/ tan x>0, x是第一或第三象限角.又/ sin x+ cos x>0, x是第一象限角.答案一V27. 已知点M是单位圆上的点，以射线 0M为终边的角a的正弦值为一专，则tan a=.J21 1.2解析 设 M(x, y), T r= 1, sin a= y= "2, -x2=

16、 1 y2= 1 22， x= ±2 ,y tan a' ±.x答案 ±48 .已知角a的终边经过点(4, m),且cos (a= 5, 贝U sin a=.解析 t r =：16+ m2,44 cos a匕,©6+m25 m ±3. sin a答案辛三、解答题9 .在平面直角坐标系中，角a的终边在直线3x+4y 0上，求sin a 3cos a+ tan a的值.3解 当角a的终边在射线y qx(x>0)上时，取终边上一点P(4, 3),所以点 P到坐标原点的距离r |OP| 5,所以sinayr 35,X 4 cos a r5

17、,y tan ax34.12 315 544.所以 sin a 3cos a+ tan a 3当角a的终边在射线y 4x(x<0)上时，取终边上一点P'V4, 3),所以点P到坐标原点的距离r |OP' 5,所以sinay-3,x 4 cos ar5-49- 4-3- 4-12一5+3- 5-3- 4所以 sin a 3cos a+ tan a5 3X10判断下列各式的符号：23(1)sin 340 co°265 :; (2)sin 4tan n ；sin （cos 0）宀十宀cos （sin 0 （B为第二象限角）解（1）t 340°是第四象限角，2

18、65°是第三象限角,sin 340 <0, cos 265 <0, sin 340 cos 265 >0.3 n(2) / n <4<", 4是第三象限角,23 nn23 n sin 4<0, tan >0,23 n sin 4tan <0.(3)v 0为第二象限角，n n 0<sin 0<1<2, 2< 1<cos «0, sin(cos 0<0, cos(sin 0)>0,sin (cos 0 <0.cos (sin 011 .若 tan a>0,则()A s

19、in 2 a>0C. sin o>0能力提升B. cos o>0D. cos 2o>0n解析 t tan a>0, a (kn, kn+ 0(k Z),a是第、三象限角. sin a, cos a都可正、可负，排除 B , C.而 2 a (2k n, 2k n+ n k( Z), sin 2a>0.A 正确.n,取 a= 4，则 tan a 1>0,而 cos 2a= 0,故 D 不正确.答案 A12. 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角a的始边与x轴的正半轴重合且与 单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动，终边 在运动.4若点B的横坐标为一5,求tan a的值；若厶AOB为等边三角形，写出与角 a终边相同的角B的集合;若a 0，£ n,请写出弓形AB的面积S与a的函数关系式.43解由题意可得b 5，5，根据三角函数的定义得tan a y= 3.n（2）