高中数学题型归纳大全函数与导数题型归纳四、恒成立问题

1、高中数学题型归纳大全函数与导数4题型归纳四、恒成立问题考点1.恒成立之参变分离1 .已知函数f(x) = e“-% ax-l,其中a为实数.(1)当° = 一号时，求曲线v=/(x)在点(1，f(D)处的切线方程：(2)当xN：时，若关于x的不等式f(x)20恒成立，试求a的取值范用2 .已知函数f(x) = Mnx + kaA0).(I )求函数/ (x)的单调区间和极值：(II )已知对任意的x>0, ax (2-/nx)恒成立，求实数a的取值范闱：(III)是否存在实数。使得函数f (x)在1, e上最小值为0?若存在，试求出a的值; 若不存在，请说明理由.考点2.恒成立

2、之分类讨论3 .已知函数/ (x) =" (y- a) - a2x.(1)讨论f (x)的单调性：(2)若/(x) 20,求。的取值范围.4 .己知函数/ (x)满足/ (x) =f e* 1-/(0) x+32：(1)求/(X)的解析式及单调区间：(2) !?/(%) >x2+ax + b,求(0+1) b 的最大值.考点3.恒成立之端点验证法+洛必达法则5 .设函数/ (x) = (l-x2)*e(1)讨论f (x)的单调性：(2)当x>0时，/ (x)QX+1,求实数。的取值范围.6 .设函数 /(X)n/-l-X-QX2.(1)若Q = 0,求/(X)的单调区间；

3、(2)若当*20时/(x) >0,求a的取值范围.考点4.必要性探路7 .已知函数f(%) = e底/ a。，e为自然对数的底数)，f (x)是/(x)的导函数.4I(I )当 a=2 时，求证/ (x) >1；(II)是否存在正整数。，使得/(X)>x2/x对一切x>0恒成立？若存在，求出。的最题型归纳四、恒成立问题考点1.恒成立之参变分离1.已知函数f(x) =/)以一1,其中。为实数.(1)当a = T时，求曲线y=/(x)在点(1, /)处的切线方程：(2)当X、称时，若关于x的不等式f(x) >0恒成立，试求a的取值范围.【分析】(1)把a=2代入函数解

4、析式，求出/(I),求出函数的导函数，得到/' (1),由点斜式写出切线方程；丫_12(2)把不等式/(X)>0恒成立转化为a恒成立.利用导数求函数以%)=一 J的最小值，则。小于等于函数g(X)的最小值，答案可求.【解答】解：(1)当 a=6时，/(x) = e*- + 1x-l, / (1) =e-l,f(x) = e*-x + i, Al) = e-i故曲线y=f (x)在点(1, / (D)处的切线方程为：y - e+l= (e - i) (x-1),即(e - i-)% -y-= 0：(2)由 f (x) >0,得 axWe"-'一 1,令g(&

5、#39;)=*l，则 g，= 士毕1.令 h(X)=ex(%-l)-y+l,则/ (x) =x (ex- 1).Vx> 1, ：.hf (x) >0,即/? (x)在停，+oo)上单调递增.：.h (x) Nh (i)=(一苧.>0.：.gf (x) >0.故g (x)在匕 +oo)上单调递增.2则 g(X)> g&) = -y = 2&_，a的取值范围是(一 8, 2逐一2 .已知函数f(x) = Mnx + L(a>0).(I)求函数/(X)的单调区间和极值；(II)已知对任意的x>0, ax (2-/nx) W1恒成立，求实数。的

6、取值范围：(III)是否存在实数。使得函数/ (x)在1, e上最小值为0?若存在，试求出a的值; 若不存在，请说明理由.【分析】(I)函数的定义域为(0, +8),求导函数，由f (x) >0,可得函数/ (x) 的单调增区间；由/' (x) <0,可得函数的单调减区间，从而可求函数的极值；(II )已知对任意的x>0, ax( 2 - Inx恒成立,分类讨论2 - lnx>0时，a Vr恒成立：2-/x<0时，a2y力儿八恒成立，研究右边函数的最值，即可求得实数。 的取值范围；(III)不存在a，使得函数/ (x)在1, e上最小值为0,利用函数f (

7、x)的单调增区间 为弓，+00),单调减区间为(0, 1),结合函数的定义域1, 2进行分类讨论，从而可得 结论.【解答】解：(I )函数的定义域为(0, +8)求导函数可得了'7一盘二%1由广(X)>0,可得由f (x) V0,可得 函数/(x)的单调增区间为。，+00),单调减区间为(0,3当x =时，函数取得极小值为f(3=-alna + a：(II )已知对任意的x>0, ax (2-/ex) 恒成立，则2-/cx>0 时，a 曷丽恒成立令 9(幻=x(2-lnxy./ /、 lnx-1 g (%) =7x(2-lnx)2当 府<1 时，gf (x) V

8、O,当 1V/dx<2 时，g' (x) >0,/.Inx=l时，即x=e时，函数取得最小值为g(e) = /a < -e2 - lnx<0时，a之寻网恒成立令g(“)=鬲菽？ / /、 lnx-1 g (%) =2卬2Tn%)当 2-/axV0 时，g' (x) >0,，函数在(后，+8)上单调增，函数无最大值，故此时q2彳占亦不恒成立： 实数a的取值范围是(0，自：(III)不存在a,使得函数/(x)在1,旬上最小值为0由(I)知函数/(X)的单调增区间为(，+8),单调减区间为(0, 1)着1 4 K e,即亍< a < 1

9、87;则函数/ (x)在1, e上最小值为=-alna + a =0, .a=e，不满足题意若OV：V1,即a>l,则函数/(x)在1,旬上最小值为/(I) =1,不满足题意；若一>e, 0VaZ时，函数/' (x)在1, e上最小值为f (e) a+ - =0» .*.a=-不 a8ee满足题意.综上知，不存在a,使得函数/(x)在1,旬上最小值为0.考点2.恒成立之分类讨论3 .已知函数/(x)(/-a) -a2x.(1)讨论f (x)的单调性：(2)若/(x) >0,求a的取值范围.【分析】(1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，(2

10、)根据(1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围.【解答】解：(1)f (x)- a2x=e2x - exa - a2x,*.f (x) =2elx - ae - a2= (2/+。)(e*-a),当a=0时，f (x) >0恒成立，.V <x)在R上单调递增，当 a>0 时，2ex+a>0,令 f (x) =0,解得 x=/a,当xV/na时，f (x) <0,函数/ (x)单调递减，当x>/na时，f (x) >0,函数/(x)单调递增，当 aVO 时，/-Q>0,令，(X)=0,解得 x=/n (一当x<ln (-1)时，f

11、 (x) <0,函数/(X)单调递减，当x>ln (一制 时，ff (X)>0,函数/(X)单调递增，综上所述，当。=0时，/ (x)在R上单调递增，当a>0时，f (x)在(-8,小。)上单调递减，在(Jna, +8)上单调递增，当aVO时，/(x)在(-8, in (-H)上单调递减，在Un (-), +°°)上单调递增， (2)当。=0时，/(X)=e">0恒成立，当。>0 时，由(1)可得/(X)min=f (Ina) = " a2lnaO.当。<0时，由(1)可得：f (x) min=f (In (-1

12、) =-a2ln (一Q 20,：.ln (一少 <1,3- 2e? <a<0.综上所述a的取值范围为-2看，14.已知函数f (x)满足，(x) =f (1) ex x-f (0) x+1x2：(1)求/(x)的解析式及单调区间：(2)若/'(x)N,/+ ax + b,求(a+1) b 的最大值.【分析】(1)对函数/ (x)求导，再令自变量为1,求出f (1)得到函数的解析式及 导数，再由导数求函数的单调区间；(2)由题意f(x)之:/+ ax + b = h(x) = e* - (a + l)x - b20,借助导数求出新函 数的最小值，令其大于0即可得到参数

13、a, b所满足的关系式，再研究(a+1) b的最大 值【解答】解：(1) f (x) =f(1) e* 1-f (0) x+1x2=>/ (x) =f (1) r-f (0) +x 令 x=l 得：/ (0) =1:于(x) =f (1)1 - x+，2令 x=o,得/ (o) =f (1) e 1=1 解得f (1) =e故函数的解析式为f (x) =”x+/2令 g(X)=f (x) =/-l+xg (x)="+1>0,由此知y=g (x)在xR上单调递增当 x>0 时，f (x) >f (0) =0；当 xVO 时，有f (x) <f (0) =0

14、 得：函数/(x) =/-x+”的单调递增区间为(0, +8),单调递减区间为(-8, 0)(2) f(X)> %2 + ax + b = h(x) = e* (a+1) x - b，0 得力(x) ="- (a+1)当 a+lWO 时，h' (x) >O=y=b (x)在 xGR 上单调递增，x- - 8时，h (x) f - 8与h (x) NO矛盾当 a+l>0 时，h' (x) >0<=>x>/n (a+1), hl (x) <0<=>x</n (cr+1)得：当 x=ln (a+1)时，h (

15、x) min= (a+l) - (cr+1) In (o+l) - b20,即(q+1)-(a+1) In (a+1) 2 b(a+1) bW (cr+1) 2 - (a+1) 2ln (a+1), (a+l>0)令 F (x) =x2 - x2lnx (x>0),贝lj 尸(x) =x (1 - 2/nx)1 e.r (x) >0=0Vx<3 P(x) <0 Q当 x= v时，F (x ) rnax= 1即当a=涯-1, b =苧时，(。+1)6的最大值为三考点3.恒成立之端点验证法+洛必达法则5 .设函数/ (x) = (l-x2)*e(1)讨论f (x)的单

16、调性：(2)当x，0时，f (x) Wax+1,求实数a的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号，判断函数的单调性即 可.(2)化简f (x) = (1-x) (1+x) f (x) Wax+1,下而对a的范围进行讨论：当a2l时，当OVaVl时，设函数g (x)=y-乂-1,则g' (x) ="-1>0 (x>0),推出结论：当aWO时，推出结果，然后得到a的取值范围.法二:x'O 时，g (x) =ex (x2-l) +ax+120 恒成立，推出 g' (x),求解Q (x)',当 gl(0) =a-l20

17、时，判断函数的单调性，判断满足题意，当"(0) =。-1<0时，推 出g (m) <g (0) =0,不合题意，得到结果.【解答】解：(1)因为/ (x) = (1-x2) ex, xGR,所以(x) = (1-2X-X2)令，(x) =0 可知 x=-l±V5,当 xV - 1-夜或 x> - 1+夜时 r (x) <0,当-1一方< -1+V1 时/' (X)>0, 所以 f(x)在(-8, - 1-V2), ( - 1+V2, +oo)上单调递减，在(-1 一丘,-1+V2)上 单调递增：(2)由题可知/(x) = (1-x

18、) (1+x) e下而对。的范围进行讨论：当时，设函数 /? (x) = (1 - x) 则 hf (X)= - xex<0 (x>0),因此人(X)在0, +8)上单调递减，又因为力(0) =1,所以h (x) W1,所以/(X)= (1+x) h(X)Wx+lWax+1；当 OVaVl 时，设函数 g (x)- x - 1,则 g' (x)- 1>0 (x>0),所以g (x)在0, +8)上单调递增，又 g (0) =1 - 0 - 1=0,所以/2x+l.因为当 OVxVl 时/(X)> (l-x) (1+X)2,所以(1 - X)(1+X)2 -

19、 QX - 1=X (1 -。- X - X2),取xo二由二驾(0, 1),则(1 -xo)(1+xo)2-axo-1=0, 4I所以/(xo) >0X0+1,矛盾；当 aWO 时，取X0=(0, 1),则/ (xo)> (I - X0)(1+xo)2=loxo+lt 矛盾：综上所述，a的取值范围是1, +8).(2)法二：x20 时，g(X)=" (x2 - 1) +ax+120 恒成立，g (x) =，(x2+2x - 1) +a, Q (x) ' =，(W+4X+1) >0 (xO), g' (x)在 x20 时单调递增，当g，(0) =a-

20、l>0时，x>0时g1(X)>0恒成立，g (x)单调递增，则x20时，g (x) >g (0) =0,符合题意，当 g，(0) =a-lV0 时，gl (|a|) >0,于是存在 m>0 使得 g1 (m) =0,当0Vx<m时，gl (x) <0, g (x)单调递减，有g (x) <g (0) =0,不合题意，所以综上所述，a的取值范围是1, +8).6 .设函数/(x) =e* - 1- x- ax2 .(1)若a=0,求/ (x)的单调区间；(2)若当*20时/(x) >0,求a的取值范围.【分析】(1)先对函数/(X)求导

21、，导函数大于。时原函数单调递增，导函数小于0时 原函数单调递减.(2)根据/>l+x可得不等式(x) >x-2ax= (l-2a) x,从而可知当1 - 2a0,即寸，(x) >0判断出函数/(x)的单调性，得到答案.【解答】解：(1)。=0 时，/(X)="-l-x, f (x) =ex- 1.当 x (-8, o)时，f (x) <0：当 xG (0, +8)时，f (x) >0.故/(X)在(-8, 0)单调减少，在(0, +8)单调增加(/) f (x)- 1 - 2ax由(/)知,21+x,当且仅当x=0时等号成立.故(x)- 2ax= (1

22、- 2a) x,从而当 1 - 2心0,即a 4时，f (x) >0 (x>0),而/ (0) =0,于是当x20时，f (x) >0.由 yAl+x (xWO)可得 e X>l-x (x#0).从而当a*时，f (x) <4-1+2。(e x-l) =e x (-1) (-2。),故当 x (0, In2a)时，f (x) <0,而/(O) =0,于是当 x (0, In2a)时，f (x) <0.综合得。的取值范围为(一8, i.考点4.必要性探路7 .已知函数外幻=蜡聂”(x>0, e为自然对数的底数)，f(X)是/(x)的导函数.(I )

23、当 a = 2 时，求证/(X)>1；(H)是否存在正整数a,使得f (x) >x2/x对一切x>0恒成立？若存在，求出a的最 大值；若不存在，说明理由.【分析】(I)求出函数的导数，根据函数的单调性：(II)求出函数的导数，得到aWe,问题转化为证明当a = 2时，不等式恒成立，设g(x)=多一一加工,根据函数的单调性证明即可.%2 X【解答】解：(【)证明：当。=2时，f (x)=统-/,则f (x) =ex-2x,令/i(X)=/(幻=ex - 2x,则尸i(x) = ex - 2,令fl (x) =0,得x=/2,故/ (x)在x=/n2时取得最小值，,:f (M2)

24、 =2 - 2ln2>0, ：.f (x)在(0, +)上为增函数,：.f (x) >f (0) =1：(II)/ (x) ="-qx,由 f (x) *lnx,得 eX-ax，x2/x 对一切 x>0 恒成立，当x=l时，可得aWe,所以若存在，则正整数。的值只能取1, 2.下面证明当。=2时，不等式恒成立，2 /、/2.r1). , (、(%-2)ex21(%-2)(ex-x)设g(%) =若一7一仇”，则g (乃=，/ 一 +若一丁、p&由(I ) ex>x2+1>2x>x,(x>0),，当 0VxV2 时,g' (x)

25、 <0；当 x>2 时，g' (x) >0,即g (x)在(0, 2)上是减函数，在(2, +8)上是增函数， g(x) -。(2) = 4(e? 4 42n2)>彳(2.72 - 4 4配2)>式3 Znl6) >0»工当a=2时，不等式恒成立，所以。的最大值是2.8.已知函数/ (x) =alnx, aR.(/)若曲线y=/(x)与曲线g (x) = G在交点处有共同的切线，求a的值：(II)若对任意xl，e,都有f (x) 2-x?+ (q+2) x恒成立，求a的取值范围.【分析】(/)已知曲线y=f (x)与曲线y=g (x)在交点

26、处有相同的切线，求a的值及 该切线的方程，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a.(II)由/(X)>-x2+ Q+2) x分离出参数。后，转化为求函数最值，利用导数可求最 值；【解答】解：(/)已知函数g (x) = y/x, f (x) =alnx, aGR.贝lj： g' (x)=提，f (X)=*(x>0)，由已知曲线y=/ (x)与曲线y=g (x)在交点处有相同的切线，故有 V% =alnx 且 -7= 一，解得。=3(II )由/ (x) N - x2+ (a+2) x,得(x - /r)x) aWx2 - 2x.xW 1, e,，/exW1

27、 Wx,且等号不能同时取,/.Inx<x,即 x - /nx>0>y2-2x, .、x2-2x,益恒成立,即"(、)*令 t (x)=自|, xl, e,求导得，t' (x) = d)(x+2丁x) x(x-Znx)当 xWl, r时，x-l，O, InxWl. x+2 - lnx>Of 从而 t' (x) 20,(x)在1, e上为增函数，tmin (x) =t (1) = - 1,考点5.恒成立之双任意、存在问题9 .已知函数/ (x) =lnx - ax+ - -1 (aGR). X(I )当时，讨论f(x)的单调性;(II)设 g(X)

28、=W - 2bx+4.当。=/时，若对任意 xiE (0, 2),存在 X2G11 2,使/(X1)2g(X2),求实数b取值范惘.【分析】(I)直接利用函数与导数的关系，求出函数的导致，再讨论函数的单调性:(II)利用导数求出/ (x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g (x)在闭区间1，2上的最小值，然后解不等式求参数.【解答】解：(【)/(%) = Inx - ax +- 1(% >0) , f ' (%)=!一 a +-ax2 +x+a- 1 / 、人、分Q>°) 人令 h (x) =ax2 - x+1 - a (x>0)(1)当。=0 时

29、，h (x) =-x+l (x>0),当 (0, 1), h (x) >0, f (x) <0,函数/(x)单调递减:当 x (1, +8), h (x) <0, f (x) >0,函数f(x)单调递增.(2)当 qWO 时，由/' (x) =0,即。x2 - x+1 - a=0,解得Xi = l, q = ；1当a =/时xi=X2，h (x) >0恒成立，此时/' (x) W0,函数/ (x)单调递减:当0VaV5寸，- 1>1 >0, xG (0, 1)时 h (x) >0, f (x) <0,函数/ (x)单调

30、递减;% 6 (1,，一 1)时，h (x) VO, f (x) >0,函数/ (x)单调递增；+8)时，h (x) >0, ff (x) VO,函数/(x)单调递减.当 aVO 时2一 1V0,当 x (0, 1), h (x) >0, f (x) <0,函数 f (x)单调递减； a当 x (1, +8), h (x) <0, f (x) >0,函数/(x)单调递增.综上所述：当aWO时，函数/(x)在(0, 1)单调递减，(1, +8)单调递增：当。=并寸X1=X2, h (x) >0恒成立，此时,(x) W0,函数/(X)在(0, +8)单调递减：当0VaV3l寸，函数f(x)在(0, 1)单调递减，(1, ：一1)单调递增，弓一1, +8)单调递减.(II)当。=/时，/ (x)在(0, 1)上是减函数，在(1, 2)上是增函数，所以对任意X1E (0, 2),有 fg)Nf(l) = +又已知存在 X2曰 1，2,使/(XI)2g(X2)，所以一?g("2)，x2Gl, 2, (X)又 g (x) = (x - b) 2+4 - b2> xl, 2当 b<l 时，g (x) min = g(1)=5