(完整)高一辅导分段函数与单调性打印版

1、1在定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数叫分段函数2分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集学占一 八、分段函数图象已知函数2xx0f(x)1x0(1)画出函数的图象;(2) 求 f(1),f(-3),f : f(-3): ,ff : f(-3): 的值0x0【分析】给出的函数是分段函数，应注意在不冋的范围上用不冋的关系式（1）函数f（x）在不同区间上的关系都是常见的基本初等函数关系，因而可利用常见函数的 图象作图（2）根据自变量的值所在的区间，选用相应的关系式求函数值方法思想一一分类讨论思想在分段函数中的应用(2014高考浙江卷)设函数f(x)

2、= x2+ 2x+ 2, xw 0,2 c若 f(f(a)= 2，则 a=.x2, x>0.解析若 a>0,则 f(a)= a2<0, f(f(a)= a4 2a2+ 2= 2，得 a= 2.若 aw 0,则 f(a) = a2 + 2a + 2 = (a+ 1)2+1>0 ,f(f(a)= (a2 + 2a+ 2)2= 2,此方程无解.答案.27f (a) <0，f2( a) + 2f (a)a< 0,由 a2+2a+ 2> 2或a>0,a2 > 2,若本例中的“f(f(a) = 2”变为 “f(f(a) < 2”，其他条件不变，求

3、实数 a的取值范围.解：由题意得解得 f(a) > 2.亠 f (a) >0,+ 2W 2或 f2 ( a) w 2,解得aw 2.名师点评(1)解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策 略.因f(x)为分段函数，由于f(a)和a正负不确定，应分情况讨论.(2)求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合 要求.1x+ 1,xw 0,(2015榆林模拟)已知f(x)= 2使f(x)一1成立的x的取值范围是(x 1) 2, x>0,(3)由题意知x

4、w 0,1或只+ 1> 1x>0,(x 1 )> 1,解得4w xw 0或0<xw 2，故x的取值范围是4, 2x2+ 4x+ 6, xw 05.设函数f(x) = x+ 6, x>0，则不等式f(x)<f(- 1)的解集是(A . ( 3, 1) U (3,+ )B. ( 3, 1) U (2 ,+ )C. ( 3,+ )D .(汽一3) U ( 1, 3)解析：选 A.f( 1) = 3, f(x)<3，当 xw 0 时，x2+ 4x+ 6<3,解得 x ( 3, 1);当 x>0 时，x+ 6<3,解得 x (3,+ a),故不

5、等式的解集为(一3, 1)U (3,+ a)，故选A.7若函数f(x)在闭区间1, 2上的图象如图所示，则此函数的解析式为 - 1解析：由题图可知，当一1 < x<0时，f(x) = x+ 1;当ow XW 2时，f(x)= 2X,所以f(x)x+ 1， 1 w x<0-2x, 0w xw 2x+ 1, 1 w x<0答案：f(x) =12x, ow xw 23.定义新运算"®”：当 a> b 时，a ® b = a;当 a<b 时，a ® b= b2.设函数 f(x)= (1 ® x)x(2 ®

6、x), x 2, 2,则函数 f(x)的值域为 .解析:由题意知x 2, x 2, 1,x3 2, x( 1, 2,当 x 2, 1时，f(x) 4, 1;当 x (1 , 2时，f(x) ( 1 , 6.故当 x 2, 2时，f（x） 4, 6.答案：4, 6学点三分段函数的解析式如图所示，等腰梯形 ABCD的两底分别为 AD=2,BC=1, / BAD=45 °，直线MN丄AD交AD 于M,交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形 ABCD位于直线 MN左侧的面积y表示为x 的函数，并写出函数的定义域和值域 【分析】求函数解析式是解决其他问题的关键，根据题意，此题应对N分别在AB

7、 , BC , CD三段上分三种情况写出函数的解析式如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动设点P运动的路程为x, ABP的面积为y.（1）求y与x之间的函数关系式画出y=f（x）的图象1怎样正确地理解分段函数？对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则的函数， 称为分段函数，不能认为它是 几个函数，它只是一个函数的表达式，只是在表达形式上同以前学过的函数不同， 在表示时, 用"”表示出各段解析式关系2如何加强对分段函数的认识？首先对分段函数的定义要理解并掌握，其次从简单的分段函数入手多认识、多识记教材中通过例题的形式给出

8、了 “分段函数”的概念，从而说明：对于一个函数来说，对应法则可以由一个解析式来表示，也可以由几个解析式来表示；用图象表示时，既可以是一条平滑的曲线，也可以是一些点、一段曲线、几条曲线等映射函数映射两集合A、B设A, B是两个非空的数集设A, B是两个非空的集合对应关系f: A t B如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意一个 数x,在集合B中都有唯一确 定的数f（x）和它对应如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个 元素x,在集合B中都有唯一 确疋的兀素y与之对应名称称f: At B为从集合A到集合 B的一个函数称对应f: At b为从集合A到 集合B的一个映

9、射记法y= f(x)(x A)对应f: At b是一个映射易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射， 映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数.（2015长春模拟）下列对应关系： A= 1 , 4, 9, B = 3, - 2, - 1 , 1, 2, 3, f:x 的平方根； A= R, B= R, f: xt x 的倒数； A= R, B= R, f: xtx2- 2; - 1, 0, 1, B = - 1, 0, 1, f: A 中的数平方.其中是A到B的映射的是（）A .B .C.D .答案：C1. 已知a, b为两个不相等的实数，集合 M=

10、a2-4a, 1 , N = b2- 4b + 1,- 2, f: xtx表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x,则a+ b等于（）A . 1B. 2C3D 4解析：选D.由已知可得M = N,a2 4a = 2a2 一 4a + 2 = 0,故?b24b1= 1 b24b2=0， 所以a, b是方程x2 4x+ 2= 0的两根，故a + b = 4.例 5 ： 已 知 ： 集 合 M a,b,c ， N 1,0,1 ， 映 射 f : M N 满 足f (a) f (b) f (c) 0 ,那么映射 f : M N 的个数是多少？思路提示：满足 f (a) f(b) f(c) 0,则只可能

11、0 0 0 0 1 ( 1) 0,即 f (a)、f (b) 、 f (c) 中可以全部为 0 ,或 0,1, 1各取一个解： f (a) N, f(b) N, f(c) N，且 f(a) f (b) f(c) 0 有 0 0 0 0 1 ( 1) 0.当 f(a) f(b) f(c) 0时，只有一个映射；当f(a)、f(b)、f(c)中恰有一个为0，而另两个分别为1, 1时，有3 2=6个映射因此所求的映射的个数为 16=7 评注：本题考查了映射的概念和分类讨论的思想例9.集合A 3, 4 , B 5, 6,7,那么可建立从 A到B的映射个数是 ,从B到 A 的映射个数是 .答案： 9,8提

12、示：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法(可对应5或6或7),第二步A中的元素4也有这3种对应方法.则不同的映射种数 N1 3 3 9 .反之从B到A ,道理相同,有 N22 2 2 8种不同映射例10.如果函数 f(x) (x a)3对任意x R都有f(1 x) f (1 x)，试求f(2) f( 2)的 值解：对任意x R，总有f(1 x) f(1 x),当 x 0 时应有 f (1 0) f (1 0) ,即 f(1)f(1). f(1) 0.又f (x) (xa)3, f(1)(1 a)3.故有(1 a)30(,则 a 1. f(x) (x 1)3f(2)f( 2)

13、 (21)3( 21)326函数相等问题2. 下面各组函数中为相同函数的是()A . f(x)= , (x 1) 2, g(x)= x 1B. f(x)=x2 1, g(x) = X+ 1 x 1C. f(x)= In ex与 g(x) = eln x1d . f(x)=x0 与 g(x) = xo解析：选D.函数的三要素相同的函数为相同函数，对于选项A , f(x) = |x 1|与g(x)对应关系不同，故排除选项 A，选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C,故选D.1.有以下判断:1x11 ,( x>0) f(x) = 口与g(x)=表示同一函数；x 1 ,(XV 0) 函数

14、y= f(x)的图象与直线x= 1的交点最多有1 个; f(x) = x2 2x+ 1 与 g(t) = t2 2t + 1 是同一函数；11,( x> 0 ) 1 ,( xv 0 ) 若 f(x) = |x 1| |x|,贝y f f 2= 0.解析：对于 ，由于函数 f(x)=凶的定义域为x|x R且xm 0，而函数g(x)=x其中正确判断的序号是.的定义域是R，所以二者不是同一函数；对于，若x= 1不是y= f(x)定义域内的值，贝U直线x= 1与y= f(x)的图象没有交点，若x= 1是y= f(x)定义域内的值，由函数 的定义可知，直线x= 1与y = f(x)的图象只有一个交

15、点， 即y = f(x)的图象与直线x= 1最多有 一个交点；对于 ，f(x)与g(t)的定义域、值域和对应关系均相同，所以f(x)与g(t)表示同一1 1 1函数；对于，由于f 2 = 2 1 2 = 0，1 f f 2 = f(0) = 1综上可知，正确的判断是 ，.答案：以下给出的同组函数中，是否表示同函数？为什么?(1)f1:y=x； %： y= 11, xw 1 ,(2)fi:y= 2，1<x<2,3,x> 2;f2：xx w 11<x<2x> 2y123(3)fi: y= 2x; f2：如图所示.解 不同函数.fi(x)的定义域为x R|xm 0

16、, f2(x)的定义域为 R.(2) 同一函数，x与y的对应关系完全相同且定义域相同，它们是同一函数的不同表示方式.(3) 同一函数.理由同(2).规律方法两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同， 只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数.另外，函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)= 2x 1, g(t) = 2t - 1, h(m) = 2m 1均表示同一函数.函数单调性问题单调函数的定义1增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为1，如果对于定义域1内 某个区间D上的任意两个自变量的值X1, X2当 X1<x2

17、 时，都有 f(X1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数当X1<X2时，都有f(X1)>f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的rw沢对:3L i冲血JI自左向右看图象是下降的【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打或“X”) (1)函数y= 1的单调递减区间是(一8, 0)U (0,+ ). ( X对于函数f(x), x D，若xi, X2 D，且(xi X2)f(xi) f(X2)>0，则函数f(x)在D上是增函 数.(V )函数y= |x|是R上的增函数.(X )函数y= f(x)在1 , +8 )

18、上是增函数，则函数的单调递增区间是1 , +8 ). ( X )函数f(x) = log5(2x+1)的单调增区间是(0, +8 ). ( X )1 x2函数丫=石一的最大值为1.( V1. (2014北京)下列函数中，在区间(0, +8 )上为增函数的是()A . y= , x+ 1B. y= (x 1)2C. y= 2 xD. y= log0.5(x+ 1)答案 A解析 A项，函数y= ,x+ 1在1, +8)上为增函数，所以函数在 (0, +8)上为增函数, 故正确；B项，函数y= (x 1)2在(8 , 1)上为减函数，在1 , + 8)上为增函数，故错误;一 1C项，函数y= 2 x

19、=(2)x在R上为减函数，故错误；D项，函数y= log0.5(x+ 1)在(1 , + 8)上为减函数，故错误.4.已知函数f(x)= x2 2ax 3在区间1,2上具有单调性，则实数 a的取值范围为 .答案 ( 8, 1 U 2 , +8 )解析 函数f(x)= x2 2ax 3的图象开口向上，对称轴为直线x= a,画II丄8tr17出草图如图所示.由图象可知函数在(一, a和a,+s )上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需 aw 1或a> 2,从而a (1 U 2 , +).题型一函数单调性的判断ax例1(1)判断函数f(x)= -21 (a>0

20、)在x ( 1,1)上的单调性.x求函数y= + x 6的单调区间.解 (1)设一1<X1<X2<1 ,则 fg 一 f(X2) = X-譽ax1X2 ax1 ax2x1+ ax2 a X2 X1 X1X2+ 1x2 1 x2 1x2 1 x2 1. 1<X1 <X2<1 ,二 X2 X1>0 , X1X2 + 1>0, (x2 1)(x2 1)>0.又 a>0, f(x1) f(x2)>0 , 函数f(x)在(一1,1)上为减函数.令u = x2 + x 6, y= 'x2 + x 6可以看作有y= ,u与u= x2

21、+ x 6的复合函数.由 u = x2+ x 60,得 xw 3 或 x2. u = X2 + x 6在(8, 3上是减函数，在2 ,+8)上是增函数，而y= , 口在0 ,+ )上是增函数. y= .；x2+ x 6的单调减区间为(一8, 3，单调增区间为2 , + m).思维升华(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性方法：利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；还可以利用图象灵活解决部分客观题目.复合函数y= fg(x)的单调性规律是“同则增，异则减”，即y= f(u)与 u = g(x)若具有相同的单调性，则y= fg(x)为增函数，若具有

22、不同的单调性，贝Uy= fg(x)必为减函数.跟脈训练1(1)判断函数f(x) = x+ a(a>0)在(0, +8 )上的单调性.X解(1)设X1, X2是任意两个正数，且0<X1<X2,aa则 f(X1) f(X2) = X1+ X2+ 二X1 X2X1X2(X1X2 a).当 0<X1 <x2< . a时，0<x1X2<a,又 X1 X2<0, 所以 f(X1) f(X2)>0,即卩 f(X1)>f(X2),所以函数f(x)在(0,'a上是减函数；当.;a< xi <x2 时，xix2>a，又 x

23、i x2<0 , 所以 f(Xi) f(x2)<0，即卩 f(Xl)<f(X2),所以函数f(x)在，:a,+)上是增函数.综上可知，函数f(x) = x + x(a>0)在(0，侗上是减函数， 在,'a,+8)上为增函数.x题型二利用单调性求参数范围是（）1A. a> 4C.例2 (1)如果函数f(x)= ax综合上述得：w a w 0.4(2)由已知条件得f(x)为增函数， a>0,a>1,2 a x 1 + 1 w a,解得2w a<2, a的取值范围是|, 2).思维升华已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：若函数在区

24、间a, b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟孫训练？ (1)若 f(x) = x2+ 2ax与g(x) =在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围x+ 1 + 2x 3在区间(, 4)上是单调递增的，则实数 a的取值范围1B. a>-41D. 一 w a w 04已知f(x)=2 a x+ 1,ax, x> 1,x<1 ,f X1 f X2满足对任意心汎都有二T >0成立，那么a的取值范围是3答案(1)D(2)3, 2)解析(1)当a= 0时，f(x) = 2x 3,在定义域R上是单调递增的

25、，故在(8,4)上单调递增;1当0时，二次函数f(x)的对称轴为x = -, a因为f(x)在(, 4)上单调递增，1 1所以 a<0，且一- >4,解得一-w a<0.a4A ( 1,0) U (0,1)B. ( 1,0) U (0,1D. (0,1C. (0,1)是R上的增函数，则实数 a的取值范围为(axx>1 ,已知f(x) = a4 2 x+ 2 xw 1A . (1 ,+s )B. 4,8)C. (4,8)D. (1,8)答案(1)D(2)B解析 (1)由 f(x)= x2 + 2ax 在1,2上是减函数可得1,2? a, +), a a w 1.1 y=-

26、在(1,+ m)上为减函数,x I 1由g(x) = J在1,2上是减函数可得a>0,x+ 1故 0<aw 1.因为f(x)是R上的增函数，a>1 ,a所以可得4 2>0，解得4 w a<8，故选B.a> 4+ 2.题型三利用函数的单调性求最值Y1例3 已知定义在区间(0,+ )上的函数f(x)满足f = f(X1) f(x2)，且当x>1时，f(x)<0. x2(1)求f(1)的值；证明：f(x)为减函数；若f(3) = 1，求f(x)在2,9上的最小值.(1)解令 X1= X2>0 ,代入得 f(1) = f(X1) f(x1)= 0，

27、故 f(1) = 0.X1证明任取 X1 , X2 (0 ,+a)，且 X1>X2,则>1 ,2由于当x>1时，f(x)<0，所以f <0,X2即 f(X1) f(X2)<0，因此 f(X1)<f(X2),所以函数f(x)在区间(0,+)上是减函数.解/f(x)在(0 ,+)上是减函数. f(x)在2,9上的最小值为f(9).,X1由 f X2 = f(Xl)f(X2)得，9f 3 = f(9) f(3), f(9) = 2f(3) = 2.即f(x)在 2,9上的最小值为2.思维升华抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的f

28、 xi条件，对任意Xi， X2在所给区间内比较f(xi) f(X2)与 0的大小，或 与1的大小有时根f X2X1据需要，需作适当的变形：女口X1= X2拓或X1= X2 + Xi X2等；(2)求函数最值的常用方法：单调性法；基本不等式法；配方法；图象法.11函数f(x)= 在区间a, b上的最大值是1,最小值是 ？贝卩a + b=X 13易知f(x)在a, b上为减函数，f a = 1,1 fb = 3,1 = 1b 1 = 3，a= 2,- a+ b = 6.b = 4.利用函数的单调性解不等式典例：(14分)函数f(x)对任意的m、n R ,都有 f(m+ n) = f(m) + f(

29、n) 1,并且 x>0 时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；若 f(3) = 4,解不等式 f(a2+ a 5)<2.只能用定义.应该构造出f(X2) f(X1)并与0比“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点要较大小.将函数不等式中的抽象函数符号思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明,构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1) 证明设 X1, X2 R,且 X1<X2,X2 X1>0 ,当 x>0 时，f(x)>1 , f(X2 X1)>1.2 分f(X2) = f(X2 X1) + X1 = f(X2 X1)+

30、 f(X1) 1 , 4 分 f (X2) f(X1) = f(X2 X1) 1>0? f(X1)<f(X2), f(x)在 R上为增函数.6分(2) 解/ m, n R，不妨设 m= n= 1, f(1 + 1) = f(1) + f(1) 1? f(2) = 2f(1) 1 , 8 分f(3) = 4? f(2 + 1)= 4? f(2) + f(1) 1= 4? 3f(1) 2= 4, f(1) = 2, f(a2+ a 5)<2 = f(1), 11 分/f(x)在 R 上为增函数, a2 + a 5<1? 3<a<2 ,即 a ( 3,2). 14

31、 分岳甌核板|解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性 “去掉”函数的抽象符号 “f”，转化成一般的不等式或不 等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾查看关键点，易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(X2) f(xi)= f(X2 xi) 1的形式，便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此

32、类问题的易错点：忽视了 M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在的单调区间的约束.利用定义证明或判断函数单调性的步骤(1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断.2 判断单调性的常用方法：定义法、图象法.失误与防范1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调 性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集例如，函数f(x)在区间(一 1,0)上是减函数，在(0,1)上是减函数，但在(一 1,0)U(0,1)上却不一定是减 函数如函数f(x) =丄.xA组专项基础训练(时间：40分钟)

33、1.下列函数中，在区间(0,)上为增函数的是()A y= ln (x+ 2)B.y= x+1C.J、xD.1y= (2)y= x+x答案 A解析函数y= In(x+ 2)在(2,+a)上为增函数,在(0 ,+8 )上也是增函数.2.已知函数f(x)= 2ax2 + 4(a 3)x + 5在区间(g, 3)上是减函数，则a的取值范围是()3 3A . (0，4)B.(0，43 3C. 0, 4)D. 0, 4答案 D解析 当a= 0时，f(x) = 12x+ 5,在(g, 3)上是减函数，a>0,当0时，由4 a 34a得 0<aw 4综上a的取值范围是g a<3.4.已知f(

34、x)为R上的减函数，则满足f(X)>f(1)的实数x的取值范围是(B. (1 ,+g )D. ( g, 0) U (1 ,+g )A . ( g, 1)C. ( g, 0) U (0,1)答案 D1x一 1解析依题意得-<1，即 >0,Xx所以x的取值范围是x>1或x<0.6.已知函数f(x)=J 2x 3，则该函数的单调增区间为 答案 3 ,+g )解析 设 t= x2 2x 3,由 t> 0,即 x2 2x 3>0,解得 x< 1 或 x> 3.所以函数的定义域为(一g, 1 U 3 , + g).因为函数t= x2 2x 3的图象的对称轴为 x= 1,所以函数在(一g, 1上单调递减，在3 , + g)上单调递增.又因为y= 在0 ,+g)上单调递增.所以函数f(x)的增区间为3 , + g).7.已知函数f(x)为(0 ,+g)上的增函数，若f(a2 a)>f(a + 3)，则实数a的取值范围为 .答案(3, 1) U (3 ,+g )a2 a>0,解析 由已知可得a + 3>0,解得3<a< 1或a>3.所以实数a的取值范围为(3,a2 a>a + 3,1) U (3