(完整)高考数学,导数压轴题05,同构式,4个练习题详细解析

1、5.已知 / (x) = (° +1) In x + qx，+1 (1)讨论/(x)的单调性：设g S -2,求证:VxI9x2 e(0,+oo),|/(x!)-/(x2 )|> 4-x21.【解析】(1)/(x)的定义域为xe(0, + oo),小/ 口 + 1 r2ax' + a + l/ (x) =+ 2ax =,xx d = 0时，则/'(x)>0恒成立，/(兀)为增函数； a>0时，则兀2>一牛11,广(刈>0恒成立，/(x)为增函2 a数； avO时，<_( + "),2a当a<-9则/*(x)<0

2、恒成立，/(X)为减函数，X /广+7当-IvavO时，解得：0<x<(2)试题分析：所证不等式|/(x1)-/(x2)|>4|x1-x2|#绝对值，所以考虑能否去掉绝对值，由(1)问可知，当6/<-2时,/(X)单调递减，故只需知道勺的大小即可，观察所证不等 式为轮换对称式，且和冷任取，进而可定序X2>x,所证不等 式/(兀2)-/(旺)丫4兀2-4旺，即/(x2)-4x2 >/()-4,发现 不等式两侧为关于和兀的同构式，故可以将同构式构造一个 函数，从而证明新函数的单调性即可.试题解析：不妨设x2>x.,心-2,所以由第(1)问可得/(x)单调递

3、减,所证不等式等价于：/h)-/(2)4x2-4xj <=>/(xi) + 4x1/(x2) + 4x2,令g(x) = /(x) + 4x =(Q + l)ln兀+ or' + l + 4x ,只需证明g(x)单 调递减即可，&3 = £11+2穴 + 4=2川 + 4"。+ 1.XX设力(x) = 2q'+4jt + q + 1 (此时得不到导函数的正负，则需要 将导函数的分子单独拿岀来分析)A = 16 - 16d(a +1) = -16(° + 2)(° -1) W 0 /7(x)<0=>gf(x)

4、<0g(x)在(O,+a)单调递减.g(.q)ng(X2),即所证不等式成立.【方法点睛】同构式以看作是将不同的变量放入了同一个表 达式，从而可将这个表达式视为一个函数，表达式的大小与变量大小之间的关系靠函数的单调性进行联结将不等式转化 为函数单调性的问题下面再举几个关丁同构式的题目，同学 们可以练习一下：【练习1】若函数在区间匕问上的值域为则实数刃的取值范围是【练习2设兀wR,满足J (x -1)' + 2x + sin (x -1) = 3 (尹一 1)5 + 2y+ si n (j -1) = 1x-¥ y=(A. 0)B. 2C. 4D. 6(2)(3)【练习3

5、】已知函数(p(x) = ,。为正常数，若 X + 1g(x)= lnx + 9>(x),且 对任意召,兀2 w(0,2,X工兀，都有 心)二求°的取值范围.兀2_旺【练习4】已知函数/(x) = or + xlnx的图象在点x = q处的切线 的斜率为3.(1)求实数Q的值；当 n > m > l(2,n wnJ时，证明乎若/(x)<fcr2M于任意兀>0成立，求实数k的取值范围;【练习1设x.yeR，满足<(x -1)' + 2x + sin (x -1) = 3 川 (p _ 1)' + 2y + sin (尹 _ 1)=)B

6、. 2x + p=(C. 4D. 6A. 0【答案】B【解析】试题分析：本题研究对象并非xj,而是(x-1),©-1),(x-1)5 + 2(x-l) + sin (x-l) = 1进而可变形为I I丿 '丿，观察上下式 (y_l)、+ 2©_l) + sin(y_l) = _l了左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等 式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而 利用函数性质求解.*试题解析：(x-1)5 + 2x + sin (兀-1) = 3(尹一l)' + 2y + sin(尹一1)=1J(x- 1)、+ 2(x- l) + si

7、n (x-1 ) = 1(y _1) + 2©_l) + sin(y_l) = _l设/(/) = /'+2r + sin/,可得/(“为奇函数，rti题意可得: 1) = 1_)= j /(兀一1) = 一/©-1)，/. x-1 = 一 (y 一1)=> 兀 + y = 2 【练习2若函数/(x) = JD +刃在区间列上的值域为【答案】>a>)，贝I实数冲的取值范围是weH【解析】试题分析：注意到/(刃是增函数，从而得到Jq-1 4-77?=/(a)=3,/©) = 2,即发现两个式子为a"的22”“ =匕2同构式，进而将

8、同构式视为一个方程，而G#为该方程的两个 根，加的取值只需要保证方程有两根即可.试题解析:-/(X)为增函数， /(a) = 7»/(Z?)=7=><心为方程VD +心寸在1,+O0)上的两个根， 即加=丄一厶- 1有两个不同的根，2 令/ = Jx-t > 0)=>x = /2 +L 所以方程变形为：加=丄(f2 + l)_/ =丄一力+1),结合图像可2 2(得:m e 0, 2【练习3】已知函数（p（x） = , a为正常数，若X + 1g（x）= Inx-F（x）,且 对任意 XPX2 G （O,2,X, H 兀2，都有 g）二山!_）_,求°

9、;的取值范围.【解析】试题分析：观察到已知不等式为轮换对称式，所以 考虑定序以便于化简，令x2x.,则不等式变形为 gg） - g（X|）X| -兀2，将相同变量放置一侧，可发现左右具 备同构特点，所以将相同结构视为函数A（x） = g（x） + x,从而 由x2x.且力（X2）（xj可知只需力（兀）为增函数即可从而只 需不等式h（X） 0恒成立即可，从而求岀Q的范围.试题解析：g（x） = lnx + ,不妨设x.x2,则恒成立不等X +1式转化为：gC） - g（兀） 片一兀2 =&（兀2）+ 兀2 g（兀 1） + "设力（x） = g（天）+ x = lnx + &#

10、187;+x ,则由力（兀2）力（西）恒成立和 兀+ IX 工2可得：只需方（x）在（0,2单调递增即可，A Af(x)>0恒成立,恥）十打严+ 1>0,即G W(开+ 1)，+(X+ ")恒成立, X所以只需。minX令 p (x) =(X + 1) +(X + 1), 0(X)= 2(x +1) + 2x(x + l)(x + l)l (x + 1)辛-1),单调递减，在1 2丿(2 ).p(x)在A单调递增，27T12八 270 V Q W2【练习4】已知函数/(x) = mr + xlnx的图象在点x = e处的切线 的斜率为3.求实数G的值；若f(x)<k

11、x2对于任恿工0成立，求实数比的取值范围;当加>1(刃/gN*)时，证明：'7yin n(1)(3)(2)【解析】(1 ) */ /(x) = ox4-xInx,：/ '(x) = Q + Inx + l, 又I f(x)的图象在点兀之处的切线的斜率为3, / f '(e) = 3,即 a + In £ +1 = 3 , .I d = 1 ；(2)由(1)知,/(x) = x + xlnx,krIn n>al加丿2丄In n + In mn > In w + In nm ,In m ,1-丄 >0,Inn ln 则有一>j-1-丄

12、 1-丄n m即匹mnmf(x) 5於对任总兀 o成立等价于k n 1 + “ *对任总xo成X立，令g(x) = l±l怛，则问题转化为求g(x)的最大值，兀一(1 + lnx)*gx)=；= -,令g(x) = O,解得x = l,X"JC当Ovxvl时，gx)0,叨(兀)在(0,1)上是增函数;当兀1时，gf(x)09 :.g(x)在(1,+8)上是减函数.故g(x)在x = 1处取得最大值g(l) = 1,心即为所求；(3)试题分析：分析所让证明的不等式：我们可/n n以先尝试寻找同构式，再构造新函数，进行证明.对于孝巴，其等价于航 肺,发现不等式的左右两边 y/n n各含有加次方根，那么可以采取对两边同时取自然対数，即即 Inn +Inm>ln/w + nn , 即 nm又因为n>m> ,所以1-丄>0 , m则可设h(x)=，证明其单调递增，得出h(n)>h(m). X-试题解析：令心警，则有*)=甘 由(2) &q