第十章振动和波

1、教学要求教学要求重点：(1)描述谐振动的持征量，谐振动方程的建立；同频率谐振动合成的特点和规律； （2）波的传播规律，波动方程的物理意义，波的干涉现象和规律。 难点：难点：（1 1）谐振动方程的建立和谐振动的持征量的确定。）谐振动方程的建立和谐振动的持征量的确定。（2 2）波动方程的应用。）波动方程的应用。第十章教学要求(1) 授课学时（建议）授课学时（建议）.1012作业（建议作业（建议）：）：P P43843810101313、10101414、10101515、10101616、10101717、10101919、10102020、10102222、10102323、10102525、1

2、0102626、10102727、10103030。（1）理解描述谐振动的持征量(振幅、周期、频率、)的物理意义，能建立谐振动方程，掌握谐振动的特征规律；（2）掌握描述谐振动的旋转矢量法，会用谐振动的规律进行讨论分析；（3）掌握同方向、同频率谐振动合成的特点和规律；（4）掌握波的传播规律，理解波动方程的物理意义，掌握波的干涉、衍射现象和规律，了解驻波的形成及规律。 简谐振动1.swf10.110.1预备知识预备知识 一、中学物理知识要点一、中学物理知识要点 （1 1）简谐振动）简谐振动 10.1预备知识预备知识(1)(1) 简谐振动的特征：简谐振动的特征： 受力特征：受力特征： Fkx 运动特

3、征：运动特征： Fkaxmm 简谐振动的运动方程：简谐振动的运动方程： Acos( t)x如图如图10.1-110.1-1所示。所示。 图图10.1-1描述振动的物理量：描述振动的物理量： 振幅（振幅（A A） 周期（周期（T T） 频率（频率（） 相位（）相位（） t0相位差：两个振动在同一时刻的相位之差。相位差：两个振动在同一时刻的相位之差。 设有两个质点作同频率的简谐运动，在同一时刻设有两个质点作同频率的简谐运动，在同一时刻t t的运动方程为分别为的运动方程为分别为 ) tcos() tcos(222111AxAx初相初相 （ ） 图10.2.1-21212) t() t( 相位差相位差

4、则相位差为则相位差为 ：1212) t() t( 注：注： 当当 时，说明质点时，说明质点2 2的振动超前质点的振动超前质点1 1的振动；的振动；当当 时，说明质点时，说明质点2 2的振动落后质点的振动落后质点1 1的振动；的振动；当，时，说明质点当，时，说明质点2 2的振动和质点的振动和质点1 1的振动同相的振动同相（步调相同）；（步调相同）；当时，说明质点当时，说明质点2 2的振动和质点的振动和质点1 1的振动反的振动反相（步调相反）。相（步调相反）。00,.2 , 1 , 0,2kk,.2 , 1 , 0,) 12(kk特例：特例：弹簧振子的谐振动：弹簧振子的谐振动：如图如图10.1-2

5、10.1-2所示，其周期为：所示，其周期为： 图图10.1-2kmT2单摆的谐振动：如图单摆的谐振动：如图10.1-310.1-3所示，其振动周期为：所示，其振动周期为： 图图10.1-3lTg10.1预备知识预备知识(2)(2) （2 2）胡克定律：）胡克定律： Fkx （3 3）机械波）机械波 1 1）概念：）概念：机械振动在介质中的传播。机械振动在介质中的传播。2 2）产生机械波的条件：）产生机械波的条件：一要有波源（发生振动的物体），一要有波源（发生振动的物体），二要有弹性介质，二者缺一不可。二要有弹性介质，二者缺一不可。3 3）波的种类：）波的种类：横波纵波横波纵波 4 4）描述波的

6、物理量）描述波的物理量 10.1预备知识预备知识(3)(3) 波长（波长（） 周期（周期（T T）和频率（和频率（） 注：注：周期和频率的关系是互为倒数的关系，即周期和频率的关系是互为倒数的关系，即 1T波长、波速、频率间的关系：波长、波速、频率间的关系： T二、相关知识二、相关知识（1 1）数学知识）数学知识 波速（波速（ ） 三角函数的运算及其倍角公式、复数、常微分方程的解；三角函数的运算及其倍角公式、复数、常微分方程的解； （2 2）固体内横波和纵波的传播速度）固体内横波和纵波的传播速度 横波：横波： G纵波：纵波： E其中其中G G、E E和和分别为固体的切变模量、弹性模量和密度。分别

7、为固体的切变模量、弹性模量和密度。 在液体或气体内纵波的传播速度为：在液体或气体内纵波的传播速度为： k其中其中k为体模量。为体模量。为液体或气体介质的密度。为液体或气体介质的密度。 10.1预备知识预备知识(4)(4) 10.2.110.2.1简谐振动简谐振动 1 1、简谐运动的微分方程、简谐运动的微分方程: : 图图10.2.1-110.2.1-1为一弹簧振子示意图。为一弹簧振子示意图。 图图10.2.1-1由胡克定律可知，在弹性限度由胡克定律可知，在弹性限度内，物体在任意位置所受到的弹力内，物体在任意位置所受到的弹力F F的大小为：的大小为： Fkx 根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有

8、 ：22d xFkaxdtmm -(10-1) 22222d xkd xxx0dtmdt 或-(10-2) 简谐运动的微分方程简谐运动的微分方程 简谐运动的运动学特征：简谐运动的运动学特征： 方程方程(10-2)(10-2)的解为：的解为： xAcos( t)-(10-3) 10.2.1简谐振动简谐振动(1)(1) mk2:其中由此可得出简谐振动的另一种定义，在机械振动中，运动规由此可得出简谐振动的另一种定义，在机械振动中，运动规律满足（律满足（10-210-2）式）式 或其解满足或其解满足(10-3)(10-3)式式 的运动的运动称为简谐振动。称为简谐振动。 简谐振动的速度和加速度：简谐振动

9、的速度和加速度： 根据速度及加速度的定义，由式（根据速度及加速度的定义，由式（10-310-3）可得质点作）可得质点作简谐振动质点的速度为简谐振动质点的速度为 mdxAsin( t)cos( t)dt2 -(10-4) 式中式中, ,称为速度振幅。称为速度振幅。 mA质点的加速度为：质点的加速度为： 2222mdd xaAcos(t)dtdtacos(t)x -(10-5) 式中式中, ,称为加速度振幅。称为加速度振幅。 2maA说明：说明：由由(10-3)(10-3)式、式、(10-4)(10-4)式和式和(10-5)(10-5)式可知，物体在简谐运动时，式可知，物体在简谐运动时，其位移、速

10、度、加速度都是周期性变化的，其曲线如图其位移、速度、加速度都是周期性变化的，其曲线如图10.2.1-210.2.1-2所示。所示。 10.2.1简谐振动简谐振动(2)(2) 图10.2.1-2由图由图10.2.1-210.2.1-2不难看不难看出，曲线的周期相同出，曲线的周期相同均为均为 , ,加速度的方向加速度的方向与位移方向恒相反。当位移与位移方向恒相反。当位移达极大值时速度为零，而当达极大值时速度为零，而当位移为零时速度达极大值。位移为零时速度达极大值。 , xa和积分常数积分常数A A和的确定和的确定 00cos sinxAA -(10-6) 由：由：得：得：220000tanAxx

11、-(10-7) 10.2.1简谐振动简谐振动(3)(3) 2T220000tanAxx -(10-7) 由公式判断 的范围:00cos sinxAA -(10-6) 由：由：若之间和在一般则则0:00:000vv如何判断如何判断( (证明证明) )一个振动是简谐振动一个振动是简谐振动: : 在物体离开平衡位置的任意一点进行受力分析，画出受力图；在物体离开平衡位置的任意一点进行受力分析，画出受力图； 选背离平衡位置的方向为参考正方向，由牛顿第二定律或转动定律列选背离平衡位置的方向为参考正方向，由牛顿第二定律或转动定律列出物体运动的微分方程，看是否与一致，如果一致出物体运动的微分方程，看是否与一致

12、，如果一致为简谐振动；为简谐振动； 若是简谐振动，则由微分方程求出谐振动的角频率，再由若是简谐振动，则由微分方程求出谐振动的角频率，再由求周期；求周期； 2T由初始条件确定谐振动的振幅及初相，最后给出振动方程。由初始条件确定谐振动的振幅及初相，最后给出振动方程。 例例10.2.1-110.2.1-1一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸一轻弹簧的下端挂一重物，上端固定在支架上，弹簧伸长了，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有长了，如果给物体一个向下的瞬时冲击力，使它具有1 1m/sm/s的向的向下的速度，它就上下振动起来。试证明物体是在作简谐振动。下的速度，它就上下振动起来。试证

13、明物体是在作简谐振动。 9.8lcm解：如例解：如例10.2.1-110.2.1-1图所示，取物体的平衡位置为原点图所示，取物体的平衡位置为原点O O，向下为向下为x x轴正方向，则有：轴正方向，则有： 10.2.1简谐振动简谐振动(4)(4) 0222xdtxd例10.2.1-1图0mgkl根据牛顿第二定律有根据牛顿第二定律有 ：22()d xmgk lxmdt220d xkxdtm令则：令则： 2km19.810()0.098kgrad sml由题可知时，代入由题可知时，代入(10-7)(10-7)式有：式有： 0t 000,1xm s222001()0()0.1( )10Axm001ta

14、n,1002x 利用得，所以，利用得，所以， 0sin0A sin02 0.1cos(10)2xtm10.2.1简谐振动简谐振动(5)(5) 例例10.2.1-210.2.1-2一物体作简谐运动，其振幅为一物体作简谐运动，其振幅为0.020.02m,m,速度的最大值是速度的最大值是0.040.04m/sm/s。求：（求：（1 1）振动的周期；（）振动的周期；（2 2）加速度的最大值；（）加速度的最大值；（3 3）若）若t=0t=0时时刻速度具有正的最大值，写出运动方程。刻速度具有正的最大值，写出运动方程。 解：（解：（1 1）因为速度的最大值）因为速度的最大值 mAm2rad /sA2T3.1

15、4s（2 2）加速度的最大值为：）加速度的最大值为： 2222mmVaA8 10 m/sA（3 3）根据初始条件（）根据初始条件（x0=0,v0=vm）可求得初相：可求得初相： 00arctan()arctan()x2 其运动方程为其运动方程为 ：2xAcos( t)210cos(2t)m210.2.1简谐振动简谐振动(6)(6) 10.2.210.2.2简谐振动的表示法简谐振动的表示法 1.1.简谐振动的图象表示法简谐振动的图象表示法 把简谐振动的物理量把简谐振动的物理量( (如弹簧振子如弹簧振子中物体的位移中物体的位移x，振荡电路中电流振荡电路中电流 等等) )随时间随时间t的变化规律用图

16、线表示，如图的变化规律用图线表示，如图10.1-110.1-1所示为弹簧振子的所示为弹簧振子的x-t图线，称图线，称为振动图象。从图中可以直观地求解为振动图象。从图中可以直观地求解振动物体的周期、振幅、及不同时刻振动物体的周期、振幅、及不同时刻的振动状态并写出其运动方程等。的振动状态并写出其运动方程等。 图图10.1-1例例10.2.2-110.2.2-1 如例如例10.2.2-110.2.2-1图图10-310-3所示为弹簧振子的所示为弹簧振子的x-tx-t图线，根据图线，根据图中给出的数据，写出其运动方程。图中给出的数据，写出其运动方程。 例例10.2.2-1图图解：解： 由图可以看出，由

17、图可以看出，A=0.1mA=0.1m；当当t=0t=0时，时， 0AxAcos200Asin0 可得（或）。因经时，位移，故有可得（或）。因经时，位移，故有 3 53t1s00 x 10.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(1)(1) mtxsrad365cos1 .0:652331cos1 .00000振动方程为解得即总结:1、受力特点；F=-kx：微分方程：运动学方程：2、 22222d xkd xxx0dtmdt 或xA cos(t) 积分常数积分常数A A和的确定和的确定 220000tanAxx 3、简谐振动质点的速度为简谐振动质点的速度为 ： 加速度为：mdxAsin(t)

18、cos(t)dt2 2222mdd xaAcos( t)dtdta cos( t)x 4、作业：、作业：p439 13、15、162.简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法 设物体沿设物体沿O轴作简谐振动，如图所轴作简谐振动，如图所示示，其解析式为：其解析式为：xAcos( t)11xt ()20t 0 0A tA x t+ 相相位位 At0 x 振幅矢量振幅矢量绕绕O点以角速度点以角速度 逆时针旋转的矢量逆时针旋转的矢量 ，在，在x 轴上的轴上的投影正好描述了一个简谐振动。投影正好描述了一个简谐振动。 A t旋转矢量与简谐运动的关系：旋转矢量与简谐运动的关系： A 振幅振幅 圆频率

19、圆频率 初相位初相位 t 相位相位注：旋转矢量本身并不作简注：旋转矢量本身并不作简谐振动，但可以利用旋转矢量端谐振动，但可以利用旋转矢量端点在轴上的投影点的运动来形象点在轴上的投影点的运动来形象地展示简谐运动的规律。地展示简谐运动的规律。 旋转矢量的应用：旋转矢量的应用： （1 1）利用旋转矢量法可以方便地画出振动曲线）利用旋转矢量法可以方便地画出振动曲线 例例10.2.2-2图图例例10.2.2-210.2.2-2用旋转矢量法作简谐用旋转矢量法作简谐振动曲线，设简谐运振动曲线，设简谐运动方程为动方程为 cos()4xAt（2 2）方便比较两个同频率简谐运动的）方便比较两个同频率简谐运动的“步

20、调步调” ” 设有两个简谐运动，其运动方程分别为设有两个简谐运动，其运动方程分别为 111cos()xAt10.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(3)(3) 222cos()xAt则：则：x1A2A x1A2A 同相同相x1A2A 反相反相10.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(4)(4) （3）求速度和加速度）求速度和加速度 如上图所示，矢端如上图所示，矢端M M的速度与加速度大小为、的速度与加速度大小为、在轴上的投影为：在轴上的投影为： MA2MaA 2sin( t)sin( t)cos( t)cos( t)MMAaaA ( (4)4)求初相求初相 例例10.2.2-4

21、图图如在例如在例10.2.2-410.2.2-4图中初相位分别为：图中初相位分别为： 324,233 10.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(5)(5) （5 5）求振动的合成）求振动的合成( (后边介绍）后边介绍） 例例10.2.2-310.2.2-3一个质点沿一个质点沿x x轴作简谐运动，振幅轴作简谐运动，振幅A=A=0.060.06m m，周期周期T=T=2 2s s，初始时刻质点位于初始时刻质点位于0.030.03m m处且向处且向x x轴正方轴正方向运动。求：（向运动。求：（1 1）初相位；（）初相位；（2 2）在处且向向）在处且向向x x轴轴负方向运动时物体的速度和加速度

22、以及质点从这一位置回到负方向运动时物体的速度和加速度以及质点从这一位置回到平衡位置所需要的最短时间。平衡位置所需要的最短时间。 0.03xm 解：（解：（1 1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为 tAxcos依题意，有依题意，有A=0.06mA=0.06m，T=2sT=2s，则则 1222sradT在在t=0t=0时，时， mAx03. 0cos06. 0cos00sin0A 因而解得，故振动方程为因而解得，故振动方程为 33cos06. 0tx用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故用旋转矢量法，则初相位在第四象限，故 3（2 2）时，）时，

23、 1tt 03. 03cos06. 011tx10.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(6)(6) 且为第二象限角，故，得且为第二象限角，故，得t t1 1=1s=1s，因而因而速度和加速度为速度和加速度为31t3231t1110.06 sin0.163tsdxtm sdt 21212230. 03cos06. 0smtdtxdast需要的最短时间满足：需要的最短时间满足： 653223tst83.0656510.2.2简谐振动的表示方法简谐振动的表示方法(7)(7) 10.2.3.10.2.3.简谐振动的能量简谐振动的能量 以弹簧振子为例，以弹簧振子为例，kmoxXcossinxAt

24、At 系统动能：系统动能：222211sin22kEmmAt-(10-8) 系统势能：系统势能： tkAkxEp cos2121222-(10-9) 系统的总能量：系统的总能量：弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比2221122KPEEEmAkA 恒量-(10-10) 10.2.3简谐振动的能量简谐振动的能量(1)(1) 、和、和E E与时间或位移与时间或位移的关系如图的关系如图10.2.3-110.2.3-1所示。所示。KEPE图图10.2.3-1能量平均值：能量平均值：定义：定义： TdttfTf01-(10-11) 动能的时间平均值：动能的

25、时间平均值： 22202224141sin211kAmAdttmATETk -(10-12) 势能的时间平均值：势能的时间平均值：10.2.3简谐振动的能量简谐振动的能量(2)(2) TpmAkAdttkATE0222224141cos211 -(10-13) 例10.2.3-1 一物体作谐运动，其质量为,振幅为周期为。当t=0时，位移为。求t=0.5s时，物体所在的位置及其所受的力、动能、势能、总能量。 22.0 10 kg22.0 10 m4.0s22.010m解：按题意有：解：按题意有： 2A2.010m22rad /sT4.020 xarccosarccos10A2x2.010cos(

26、t)m2t=0.5st=0.5s时，物体所在的位置为时，物体所在的位置为 221x2.010cos()m1.410 m22物体所受的力为物体所受的力为 222222d xFmmx2.0 10()1.410Ndt2 46.910N 10.2.3简谐振动的能量简谐振动的能量(3)(3) 系统的能量分别为系统的能量分别为 22K1dxmEm()(Asint) 2dt22222612.0 102.0 10sinJ4.8 10 J224 222P2222611Ekxmx221 2.0 10()(1.4 10 ) J4.8 10 J2226kp1EEEkA9.610 J210.2.3简谐振动的能量简谐振动

27、的能量(4)(4) 10.2.410.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成 同方向、同频率简谐振动的合成同方向、同频率简谐振动的合成 令某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上令某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动。的简谐运动。 222111 cos cos tAxtAx合振动合振动21xxx 分析方法一：解析法分析方法一：解析法 ：按照叠加原理，物体的合位移为：按照叠加原理，物体的合位移为： 121122A cos( t)A cos( t)xxx-(10-14) Acos( t)x-(10-15) 221212212cos()AAAA A-(10-16) 11221122sins

28、inarctancoscosAAAA-(10-17 10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(1)(1) 分析方法二：旋转矢量法分析方法二：旋转矢量法 图图10.2.4-1如图如图10.2.4-110.2.4-1所示，两个分振动所示，两个分振动的旋转矢量分别为的旋转矢量分别为A A1 1和和A A2 2。 合振动的方程为：合振动的方程为： tAx cos)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 讨论讨论： , 2 , 1 , 0 212 kk 时，时，21121cosAAA，合振幅最大，合振幅最大，如图如图10.2.4-10.2.4-2（a

29、）所示所示。, 3 , 2 , 1 ) 12(12 kk 时，时，21121cosAAA，合振幅最小合振幅最小，如图，如图10.2.4-10.2.4-2（b）所所示示。一般情况一般情况： k 12|2121AAAAA 10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(2)(2) 图图10.2.4-2推广：推广：到多个同方向同频率简谐运到多个同方向同频率简谐运动的合成：动的合成： nitAxiii, 2 , 1cos，令：令：如图如图10.2.4-310.2.4-3所示，所示，则可以则可以证明合振动为证明合振动为 ：1cosniixxAt图图10.2.4-3合振动是简谐运动合振动是简谐运动同方向不同频率

30、简谐运动的合成：同方向不同频率简谐运动的合成： 令质点同时参与两个不令质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的同频率且在同一条直线上的简谐振动。简谐振动。 22221111coscos tAxtAx10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(3)(3) 当：当：021021，AAA2121时。时。合振动合振动21xxx tAtAxtAtAx20222101112coscos2coscos 1ox1A2AA2图图10.2.4-410.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(4)(4) 12010221210cos2cos2 = 2cos2cos222xxxAtAtAtt-(10-18) 合振动是振幅

31、按合振动是振幅按 |2|2A A0 0cos2(cos2(2 2-1 1)t/2|)t/2| 缓慢变化的角频缓慢变化的角频率为率为( (2 2+1 1)/2 )/2 的的“准周期运动准周期运动”，其振幅变化的周期是由其振幅变化的周期是由振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱。这种振幅绝对值变化来决定，即振动忽强忽弱。这种合振动忽强忽合振动忽强忽弱的现象称为弱的现象称为拍拍。单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数叫拍频。叫拍频。2112122：1：T=：合振动的频率为合振动的频率为合振幅变化的周期为合振幅变化的周期为拍频为拍频为-(10-19) 10.2.4简谐振动的合成简谐

32、振动的合成(5)(5) 两个相互垂直的同频率简谐运动的合成：两个相互垂直的同频率简谐运动的合成： 令某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动。令某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动。) cos(11 tAx) cos(22 tAy合振动的轨迹方程为：合振动的轨迹方程为： 1221221222212sincos2 AAxyAyAx-(10-20) 是个椭圆方程，具体是个椭圆方程，具体形状由相位差决定。形状由相位差决定。讨论讨论1 012 0221222212 AAxyAyAxxAAy12 合振动的轨迹是一条通过原点的直线。合振动的轨迹是一条通过原点的直线。yx10.2.4简谐

33、振动的合成简谐振动的合成(6)(6) 讨论讨论20221222212 AAxyAyAxxAAy12 yx 12合振动的轨迹是一条通过原点的直线。合振动的轨迹是一条通过原点的直线。讨论讨论31222212 AyAx2/12 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆方程，且椭圆方程，且顺顺时针旋转。时针旋转。讨论讨论41222212 AyAx2/312 合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的椭圆方程，且椭圆方程，且逆逆时针旋转。时针旋转。10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(7)(7) 21AA 讨论讨论5合振动的轨迹是的合振动的轨迹是的圆圆1222212 AyAx2/3 , 2/12 讨论讨论6则为任

34、一椭圆方程则为任一椭圆方程，210 2210 2121212 kkkk 综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，综上所述：两个频率相同的互相垂直的简谐振动合成后，合振动在合振动在一直线上或者在椭圆上一直线上或者在椭圆上进行当两个分振动的振进行当两个分振动的振幅相等时，椭圆轨道就成为圆。幅相等时，椭圆轨道就成为圆。10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(8)(8) 两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成：两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成： 合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论合成运动不是周期性的运动。下面就两种情况讨论 视为同频率的合成：两个振动的视为同频率的合成：

35、两个振动的相位差缓慢地变化，质点运动的轨道循环变相位差缓慢地变化，质点运动的轨道循环变化。化。012情况情况1：两个分振动的频率相差很小：两个分振动的频率相差很小合成运动的轨道是封闭曲线，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为迹的图形称为李萨如图形李萨如图形。应用应用测量频率测量频率在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个在示波器上，垂直方向与水平方向同时输入两个振动，已知其中一个频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知频率，则可根据所成图形与已知标准的李萨如图形去比较，就可得知另一个未知的频率。另一个

36、未知的频率。2:1:yxTT情况情况2：两个分振动的频率相差较大，有：两个分振动的频率相差较大，有简单整数比关系简单整数比关系10.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(9)(9) 例例10.2.4-110.2.4-1两分振动分别为和，若两分振动分别为和，若在同一直线上合成，求合振动的振幅在同一直线上合成，求合振动的振幅A A及初相位。及初相位。 cost3 cos2t解：解： 例例10.2.4-1图图2212132AAA21tan3AA310.2.4简谐振动的合成简谐振动的合成(10)(10) 总结:n1n2n3、n4、作业：p439 ： 18、19、23n思考思考：N个简谐振动的合成（相同、

37、振动方向相同、依次相同）情况讨论。)cos(212212221 AAAAA简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的能量简谐振动的能量222211sin22kEmm At tkAkxEp cos21212222221122KPEEEmAkA 恒 量 简谐振动的合成简谐振动的合成)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsin AAAAtg 10.2.510.2.5阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 阻尼振动的概念：阻尼振动的概念：振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。阻阻尼尼振振动动摩擦阻尼

38、：摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。向周围辐射出去。受迫振动：受迫振动：受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。10.2.5阻尼振动阻尼振动(1)(1) 设驱动力按余弦规律变化，即设驱动力按余弦规律变化，即 mcostFF系统所受到弹力：系统所受到弹力： Fkx 系统所受到阻力：系统所受到阻力： dxcdt受迫振动的运动方程为：受迫振动的运动方程为

39、：22cosmd xdxmCkxFtdtdt -(10-21) 令令 mCmk220，mFhm则：则： 22022cosd xdxxhtdtdt-(10-22) 受迫振动的受迫振动的运动微分方运动微分方程程 0cos costxA etAt-(10-23) 随时间衰减的阻尼振动随时间衰减的阻尼振动 稳定的受迫振动稳定的受迫振动 10.2.5阻尼振动阻尼振动(2)(2) (10-23)(10-23)式的稳定解为：式的稳定解为：cosxAt稳定后的振幅为：稳定后的振幅为： m22 2220Am ()4F -(10-23) 2202arctan-(10-24) 受迫振动的曲线：如图受迫振动的曲线：如

40、图10.2.5-110.2.5-1所示。所示。 图图10.2.5-1共振：共振：当强迫力的频率为某一值时，稳定当强迫力的频率为某一值时，稳定受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，受迫振动的位移振幅出现最大值的现象，叫做位移共振，简称叫做位移共振，简称共振共振。10.2.5阻尼振动阻尼振动(3)(3) 图图10.2.5-2受迫振动的位移振幅和外力角受迫振动的位移振幅和外力角频率的关系曲线如图频率的关系曲线如图10.2.5-210.2.5-2所示所示 。 共振的危害及其应用：共振的危害及其应用：危害危害应用应用钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；收音机

41、利用电磁共振进行选台；收音机利用电磁共振进行选台；核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。医疗诊断等。防止防止改变系统的固有频率或外力的频率；改变系统的固有频率或外力的频率；破坏外力的周期性；破坏外力的周期性；增大系统的阻尼；增大系统的阻尼；对精密仪器使用减振台。对精密仪器使用减振台。10.2.5阻尼振动阻尼振动(4)(4) 10.2.610.2.6平面简谐波平面简谐波 1.1.波线波面波前波线波面波前 （1）概念）概念波线：波线：沿波的传播方沿波的传播方向画一些带箭头的线，称向画一些带箭头的线，称为波线；为波线；波面：波面：不同波线上相不同

42、波线上相位相同的点所连成的曲面，位相同的点所连成的曲面，叫做波面或同相面、波阵叫做波面或同相面、波阵面；面；图10.2.6-1（a）球面波球面波（b）平面波平面波波前：波前：某一时刻波所到达的最前面各点组成的波面某一时刻波所到达的最前面各点组成的波面称为波前。称为波前。（2 2）特点）特点波线的指向表示波的传播方向波线的指向表示波的传播方向同一波面上各点的相位是相同的同一波面上各点的相位是相同的在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。在各向同性介质中，波线恒与波面垂直。10.2.6平面简谐波平面简谐波(1)(1) （3）分类）分类波线波线波面波面波面波面波线波线平面波：平面波：波前为平面；波前为平

43、面；柱面波：柱面波：波前为柱面，波前为柱面，由线状波源产生；由线状波源产生；球面波：球面波：波前为球面，波前为球面，由点波源产生由点波源产生*波动的分类波动的分类按介质质点的运动方向与波动传按介质质点的运动方向与波动传播方向来分播方向来分横波和纵波横波和纵波 按波的波前来分按波的波前来分平面波、球平面波、球面波、柱面波面波、柱面波 按波动的传播来分按波动的传播来分行波和驻行波和驻波波 按波动的明显的物理性质来分按波动的明显的物理性质来分按传播波动的质点的行为来分按传播波动的质点的行为来分脉冲波、周期波等。脉冲波、周期波等。光波、声波、水波等光波、声波、水波等柱面波柱面波球面波球面波10.2.6

44、平面简谐波平面简谐波(2)(2) 横 波 1.sw f纵波1.swf2.2.平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 平面简谐波的概念平面简谐波的概念波源作简谐振动，波动所到波源作简谐振动，波动所到之处的各个质点也在作简谐振动，之处的各个质点也在作简谐振动，相应的波称为相应的波称为平面简谐波平面简谐波，或称，或称为简谐波。为简谐波。平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数如图如图10.2.6-2所示。以波线上任意一所示。以波线上任意一点点O为坐标原点，并令该点的质点的振为坐标原点，并令该点的质点的振动方程为动方程为 图图10.2.6-20Acos( t)ycoscosPxyAttAt 10.2.6

45、平面简谐波平面简谐波(3)(3) 则:考虑考虑P P点的任一性（点的任一性（x的任一性），可得平面简谐波的波函数为的任一性），可得平面简谐波的波函数为 cosxyAt-(10-25) 应用和，该方程又可以表示为以下形式：应用和，该方程又可以表示为以下形式： TT22cos 2txyAT-(10-26) cos 2xyAt -(10-27) 讨论：讨论： （1 1）沿）沿x x轴负方向传播的平面简谐波的表达式轴负方向传播的平面简谐波的表达式 cos cos 2 cos 2xyAttxATxAt -(10-28) 10.2.6平面简谐波平面简谐波(4)(4) 波 的 表 达 式 3.swf纵 波

46、1.swf横波1.swf（2 2）写出平面简谐波的表达式的关键是写出波形上任一点的振）写出平面简谐波的表达式的关键是写出波形上任一点的振动的相位比已知点的振动是超前还是落后。动的相位比已知点的振动是超前还是落后。 （3 3）波动方程的物理意义）波动方程的物理意义 图图10.2.6-3该方程表示的是该方程表示的是x1x1处的质点的振动方程，处的质点的振动方程，如图所示。如图所示。 当当x一定时，则位移仅是时间的函数，如对于，则有一定时，则位移仅是时间的函数，如对于，则有 1xxt t一定，则位移仅是坐标的函数，如对于一定，则位移仅是坐标的函数，如对于，则有，则有 1tt12cosxyAt12co

47、sxyAt 表示表示t1时刻各质点相对于平衡位置时刻各质点相对于平衡位置的的位移。位移。如图如图10.2.6-410.2.6-4所示。所示。 由此还可以由此还可以得到波程差与相位差的关系得到波程差与相位差的关系 图图10.2.6-4xxx22121210.2.6平面简谐波平面简谐波(5)(5) 图图10.2.6-5x和和t都变化时都变化时 波动表达式表示波线上所有质点在不同时刻波动表达式表示波线上所有质点在不同时刻的位移。如图的位移。如图10.2.6-510.2.6-5所示，实线表示所示，实线表示t t时刻的时刻的波形，虚线表示波形，虚线表示t+tt+t时刻的波形，从图中可以时刻的波形，从图中

48、可以看出，振动状态（即相位）沿波线传播的距离为看出，振动状态（即相位）沿波线传播的距离为 , ,整个波形也传播了整个波形也传播了 的距离，因而的距离，因而波速就是波形向前传播的速度，波函数也描述了波速就是波形向前传播的速度，波函数也描述了波形的传播。波形的传播。 （4 4）介质中各质点的振动速度）介质中各质点的振动速度u和振动加速度和振动加速度a a 例例10.2.6-110.2.6-1一平面简谐波的波动表达式为一平面简谐波的波动表达式为 0.01cos1010 xyt（SI）10.2.6平面简谐波平面简谐波(6)(6) tvx =tvx =)(cos)(sin2 +=+=vxtAtuavxt

49、Atyu波的表达式4.SWF求：（求：（1 1）该波的波速、波长、周期和振幅；）该波的波速、波长、周期和振幅； （2 2）x=10m处质点处质点的振动方程及该质点在的振动方程及该质点在t=2s时的振动速度；时的振动速度； （3 3）x=20m，60m两处两处质点振动的相位差。质点振动的相位差。 解：（解：（1 1）将波动表达式写成标准形式）将波动表达式写成标准形式 0.01cos25()20 xytSI因而因而 ： A=0.01m 20m T=1/5=0.2s 1201000.2m sT（2 2）将）将x=10m代入波动表示，则有代入波动表示，则有 0.01cos 10()ytSI 该式对时间

50、求导，得该式对时间求导，得 0.1 sin 10 t 将将t=2s代入得振动速度代入得振动速度 0（3）x=20m，60m两处质点振动的相位差为两处质点振动的相位差为 4206020221212xx表示：这两点的表示：这两点的振动状态相同振动状态相同 例例10.2.6-210.2.6-2某平面简谐波在某平面简谐波在t=0t=0和和t=1st=1s时的波形如例时的波形如例10.2.6-110.2.6-1图所示，试求：（图所示，试求：（1 1）波的周期和角频率；（）波的周期和角频率；（2 2）写出该平）写出该平面简谐波的表达式。面简谐波的表达式。 10.2.6平面简谐波平面简谐波(7)(7) 例例

51、10.2.6-2图图解：（解：（1 1） mmA21 . 0，在在t=0t=0到到t=1st=1s时间内，波形向时间内，波形向X X轴正方轴正方向移动了向移动了 ，故波的周期和波速为，故波的周期和波速为T=4s T=4s 。4120.54m sT12422sradT（2 2）设原点）设原点O O处质点的质点方程为处质点的质点方程为 tAycos00cos0Ay0sin0A 2 cos0.1cos22xyAttx例例10.2.6-3一平面简谐波沿一平面简谐波沿x轴的正方向传播，其传播速度为轴的正方向传播，其传播速度为lm/s、振幅为、周期为振幅为、周期为2.0s，距原点为距原点为4m处的质点的振

52、处的质点的振动方程为，已知在动方程为，已知在t=0时刻，该质点的振动位移为，时刻，该质点的振动位移为，振动速度为。试求：振动速度为。试求： (1)平面简谐波表达式；平面简谐波表达式； (2)t=1s时刻各质点的位移分布；时刻各质点的位移分布； (3)x=0.5m处质点的振动规律。处质点的振动规律。31.010Amcos()yAt00y 301.010m s 10.2.6平面简谐波平面简谐波(8)(8) 解：解：(1)(1)将将 22rad/sT231.010Am301.010m s 00y 代人该点的振动速度式代人该点的振动速度式(10-30)(10-30)及振动表达式，分别得到及振动表达式，

53、分别得到sin1 cos0322331.0 10cos42ytxm(2)(2)将将t=1st=1s代人上式，即可得各质点的位移分布代人上式，即可得各质点的位移分布 3351.010cos1.010sin2yx mxm(3)(3)x=0.5mx=0.5m处质点的振动规律为处质点的振动规律为 3331.0 10cos3.51.0 10cos2ytmtm10.2.6平面简谐波平面简谐波(9)(9) 3.3.平面简谐波的能量、能流平面简谐波的能量、能流 波的能量：波的能量： 有一平面简谐波：有一平面简谐波：xyAcos(t)在在x处取一体积元处取一体积元dVdm 质点的振动速度：质点的振动速度： 体积

54、元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为yxuAsin(t)t 2222K11xdE(dm)udV.Asin(t)22-(10-32) 体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为222P1xdEdV.Asin(t)2-(10-33) 体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：10.2.6平面简谐波平面简谐波(10)(10) 222KPxdEdEdEdV.Asin(t)-(10-34) 介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性变化。介质中任一体积元的动能和势能同相地随时间变化作周期性变化。沿着波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获得能量，又不沿着

55、波动传播的方向，每一体积元都在不断地从后方质点获得能量，又不断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过程，从介质的一部分传给断把能量传递给前方的介质，能量就随着波动过程，从介质的一部分传给另一部分。另一部分。结论：结论：XY 极大极大 能量极小能量极小 极小极小10.2.6平面简谐波平面简谐波(11)(11) 波的能量密度波的能量密度定义：定义：单位体积介质中的能量就是能量密度。即：单位体积介质中的能量就是能量密度。即：222dExAsin(t)dVw-(10-35) 平均能量密度平均能量密度一个周期内的能量密度的平均值一个周期内的能量密度的平均值TT222002211dtAsin(t)dtT

56、T1A2xww-(10-36) 可见，波的能量，能量密度和平均能量密度都与振幅的平方、可见，波的能量，能量密度和平均能量密度都与振幅的平方、频率的平方及介质的密度成正比。这一结论也适用于非平面简谐波频率的平方及介质的密度成正比。这一结论也适用于非平面简谐波的其他机械波。的其他机械波。 10.2.6平面简谐波平面简谐波(12)(12) 能流和能流密度 能流：能流：定义：定义：单位时间内通过介质中某一面单位时间内通过介质中某一面积的能量称为通过该面积的能流积的能量称为通过该面积的能流图图10.2.6-6222sinxPw SSAt -(10-37 平均能流：平均能流：221S A2P = w S

57、= -(10-38) 平均能流密度平均能流密度描述能流的空间分布和方向描述能流的空间分布和方向定义：定义：通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，通过与波的传播方向垂直的单位面积的平均能流，称为平均能流密度，又称为称为平均能流密度，又称为波的强度波的强度。22p1AS2I -(10-39) 单位：单位：Wm-210.2.6平面简谐波平面简谐波(13)(13) 例例10.2.6-4 一余弦波，其波速为一余弦波，其波速为310ms，频率为频率为1KHz，在截面在截面面积为的管内空气中传播，若在面积为的管内空气中传播，若在5s内通过截面的能量为内通过截面的能量为，求，求:(1)通过截面的平均能流

58、；通过截面的平均能流；(2)波的平均能流密度；波的平均能流密度；(3)波的平均能量密度。波的平均能量密度。 222.0010 m22.5010 J解：（解：（1 1）平均能流：）平均能流： 3wJp5.00 10St（2 2）平均能流密度）平均能流密度： 1222.5010 J.s mpI =S（3 3） 平均能量密度平均能量密度 42IJ8 10mw10.2.6平面简谐波平面简谐波(14)(14) 10.2.710.2.7惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射波的叠加原理波的衍射波的叠加原理 人物简介：人物简介：惠更斯惠更斯(Christian Huygens，16291695)，荷兰物理物理学家，

59、其主要成果有：荷兰物理物理学家，其主要成果有：1656年制成了第一座机械钟；年制成了第一座机械钟；1673年推算出了向心力定律。年推算出了向心力定律。1678年完成年完成 光论，提出了光的波动说，建立了光论，提出了光的波动说，建立了著名的惠更斯原理。惠更斯原理可以预料光的衍射现著名的惠更斯原理。惠更斯原理可以预料光的衍射现象的存在。象的存在。在数学方面：发表过关于计算圆周长、椭圆弧及双曲在数学方面：发表过关于计算圆周长、椭圆弧及双曲线的著作。线的著作。在天文学方面：他在天文学方面：他1665年发现了土星的光环和木星年发现了土星的光环和木星的卫星的卫星(木卫六木卫六) 惠更斯原理惠更斯原理 图1

60、0.2.7-1图10.2.7-2波所到达的每一点都可波所到达的每一点都可以看作是发射次级子波的以看作是发射次级子波的波源，新的波前就是这些波源，新的波前就是这些次级子波波阵面的包迹，次级子波波阵面的包迹，这一论述称为这一论述称为惠更斯原理惠更斯原理 10.2.7惠更斯原理惠更斯原理(1)(1) 用惠更斯原理来解释波动的传播方向用惠更斯原理来解释波动的传播方向平面波平面波球面波球面波R1oS1S2R2S1S2u t10.2.7惠更斯原理惠更斯原理(2)(2) 波阵面3.swf二、波的衍射二、波的衍射波的衍射现象波的衍射现象波在传播过程中遇到障碍物时，能够绕过障碍物的边缘继续前波在传播过程中遇到障