空间点、直线、平面之间的位置关系,高考历年真题

1、温馨提示：高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。【考点23】空间点、直线、平面之间的位置关系2009年考题1.（2009浙江高考）在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是 ( )A B C D 【解析】选C.取BC的中点E，则面，因此与平面所成角即为，设，则，即有2.（2009重庆高考）已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）wA2B3 C4D5 【解析】选B.过点P作与，都成的直线，其中在锐二面角中有一条这样的直线，在钝二面角中有两条这样的

2、直线，所以共有三条直线与，都成角。3.（2009全国）已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【解析】选C.令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角。在中由余弦定理易得.4.（2009江西高考）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）. . 截面 . . 异面直线与所成的角为【解析】选.由，可得，故正确；由可得截面，故正确； 异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的.5.（2009四川高考）如图，已知六棱锥的底面是正六边形，则下列结论正确的是（ ）. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 直线平面

3、.【解析】选D.方法一：由三垂线定理，因AD与AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB与BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜线，故排除C，故选择D。方法二：设底面正六边形边长为，则，由平面可知，又=，所以在中有直线与平面所成的角为，故应选D。6.（2009上海高考）如图，若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与AD所成角的大小是_（结果用反三角函数表示）.【解析】因为ADA1D1，异面直线BD1与AD所成角就是BD1与A1D1所成角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以A1D1B。答案: 7.

4、（2009四川高考）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 。 边【解析】方法一：不妨设棱长为2，选择基向量，则，故填写。方法二：取BC中点N，连结，则面，是在面上的射影，由几何知识知，由三垂线定理得，故填写。答案: .8.（2009上海高考）如图，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 【解析】如图，建立空间直角坐标系则A（2，0，0）、C（0，2，0） A1（2，0，2），B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分设AC的中点为M，BMAC, BMC C1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量。5分设平面的一个法向量是 =（

5、-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分设法向量的夹角为，二面角的大小为，显然为锐角.14分 9.（2009福建高考）如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求三棱锥的侧面积。【解析】（I）证明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）由（I）知从而 在中， 又平面平面 平面平面平面 而平面 综上，三棱锥的侧面积10.（2009天津高考）如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)

6、证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】方法一：（）由题设知，BF/CE，所以CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点，连结EP，PC。因为FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD内,故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD设FA=a，则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （II）因为（III）（III）由（I）可得， w.w.w.k.

7、s.5.u.c.o.m 方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点。设依题意得 （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以异面直线与所成的角的大小为.（II） ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （III） w又由题设，平面的一个法向量为 11.（2009全国）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点M在侧棱上，=60°（I）证明：M在侧棱的中点（II）求二面角的大小。【解析】（I）方法一：作交于N，作交于E，连ME、NB，则面，,设，则,在中，。在中由解得，从而 M为侧棱的中点M. 12.（2009福建高考）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且MD=NB

8、=1，E为BC的中点（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.【解析】（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.2008年考题ABCDA1B1C1D11、（2008福建高考）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（ ）A.B. C. D. ABCDA1

9、B1C1D1O【解析】选D.连与交于O点,再连BO,则为BC1与平面BB1D1D所成的角.，.ABCDA1B1C1D12、（2008福建高考）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ ）ABCD【解析】选D.连,则为AC1与平面A1B1C1D1所成角ABCDA1B1C1D1，又ABCDP3、（2008海南、宁夏高考）如图，已知点P在正方体的对角线上，（）求DP与所成角的大小；（）求DP与平面所成角的大小【解析】如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系ABCDPxyzH则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由可得解得，所

10、以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为， 所以可得与平面所成的角为FCPGEABD4、（2008广东高考）如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，垂直底面，分别是上的点，且，过点作的平行线交于（1）求与平面所成角的正弦值；（2）证明：是直角三角形；（3）当时，求的面积【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即，;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）时,即,的面积5、（2008浙江高考）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，（）求证：平面；（）当的长为何值时,二面角的大小为.

11、【解析】（）过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故因为平面，平面，所以平面（）过点作交的延长线于，连结由平面平面，得平面，从而所以为二面角的平面角DABEFCHG在中，因为，所以，又因为，所以，从而于是因为，所以当为时，二面角的大小为6、（2008陕西高考）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，平面，A1AC1B1BDC（）证明：平面平面；（）求二面角的大小【解析】（）平面平面，在中，又，即A1AC1B1BDCFE（）又，平面，平面，平面平面（）如图，作交于点，连接，由已知得平面是在面内的射影由三垂线定理知，为二面角的平面角过作交于点，

12、则，在中，在中，即二面角大小为ABCDEA1B1C1D17、（2008全国）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小【解析】依题设，（）连结交于点，则由三垂线定理知ABCDEA1B1C1D1FHG在平面内，连结交于点，由于，故，与互余于是与平面内两条相交直线都垂直，所以平面（）作，垂足为，连结由三垂线定理知，故是二面角的平面角，又，又，所以二面角的大小为2007年考题1（2007全国）如图，正棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C D【解析】选D。如图，连接BC1，A1C1，A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a， A1B=C1B=a，A1C

13、1=a，A1BC1的余弦值为.2.（2007全国）已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1与AB1所成角的正弦值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】选A。已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接B1D，AD1，则B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，. 3.（2007全国）已知三棱锥是侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）ABCD【解析】选A。已知三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点与底面中心，则侧棱在底面上的射影长为，所以侧棱与底面所成角

14、的余弦值等于.4.（2007福建高考）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于（ ）A.45°B.60° C.90°D.120°【解析】选B.连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EFA1B、GHBC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.5.（2007四川高考）如图，为正方体，下面结论错误的是（）（A）平面（B）（C）平面（D）异面直线与所成的角为【解析】选D显然异面直线与所成的角为。6.（2007浙江高考）已知点在二面角的

15、棱上，点在内，且若对于内异于的任意一点，都有，则二面角的大小是【解析】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只有作于H, 则面,故为.答案：7.(2007浙江高考)已知点O在二面角AB的棱上，点P在内，且POB45°若对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45°，则二面角AB的取值范围是_【解析】若二面角AB的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角的平面角. 根据题意得，由于对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45°，设PO=，则又POB45°，OC=PC=，PCPH而在中应

16、有PC>PH ,显然矛盾，故二面角AB的大小不可能为锐角。即二面角的范围是。若二面角AB的大小为直角或钝角，则由于POB45°，结合图形容易判断对于内异于O的任意一点Q，都有POQ45°。即二面角的范围是。答案： 8.（2007海南、宁夏高考）如图，在三棱锥中，侧面与侧面均为等边三角形，为中点（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）证明：由题设，连结，为等腰直角三角形，所以，且，又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面（）解法一：取中点，连结，由（）知，得为二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值为解法二：以为坐标原点，射线分别为轴

17、、轴,轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系设，则的中点，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值为9（2007全国）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知ABC45°，AB2，BC=2，SASB。()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的大小；【解析】解法一：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面因为，所以，又，故为等腰直角三角形，DBCAS由三垂线定理，得（）由（）知，依题设，故，由，得，的面积连结，得的面积设到平面的距离为，由于，得，解得设与平面所成角为，则所以，直线与平面所成的我为解法二：（）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面

18、因为，所以又，为等腰直角三角形，DBCAS如图，以为坐标原点，为轴正向，OB为y轴正向，OS为z轴正向，建立直角坐标系，所以（）取中点，连结，取中点，连结，与平面内两条相交直线，垂直所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余，所以，直线与平面所成的角为10.（2007全国）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。ABCDSEF()求证：EF平面SAD；()设SD = 2CD，求二面角AEFD的大小；【解析】解法一：（1）作交于点，则为的中点连结，又，故为平行四边形，又平面平面所以平面（2）不妨设，则为等腰直角三角形取中点，连结，则又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面取中点，连结，则连结，则故为二面角的平面角所以二面角的大小为解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系设，则，取的中点，则平面平面，所以平面（2）不妨设，则中点又，所以向量和的夹角等于二面角的平面角所以二面角的大小为11.（2