北京市高三数学一轮复习试题选编28导数理

1、1北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 28:导数4 （2013 北京东城高三二模数学理科）已知函数y f （x）是定义在R上的奇函数,且当x（,0）、选择题1 （北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题“匚In x, x 0,)已知函数f(x) x i,x 0,D是由x轴和曲线y f （x）及该曲线在点（1,0）处的切线所围成的封闭区域，则z x 3y在D上的最大值为A.4B.3C. D.1【答案】B2 （北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）曲线xef (x)在x 0处的切线方x 1程为（）A.x y 10B.x y 10C.2x y 10D

2、.2x y 10【答案】D3（北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）函数f （x）是定义域为R的可导函数且对任意实数x都有f (x)f(2 x)成立.若当x 1时，不等式(x 1) f (x)0成立，设4a f(0.5),b f(),c f(3),则a,b,c的大小关系是()3A.b a cB. a b cRC. c b aD. a c b【答案】Af (x) xf (x)f (x)是f （x）的 导 函),(30.3)f(303),b (log3) f(log 3), c (logs1) f(log31),则a,b,c的大小关系是(99A.a b【答案】cB.cC_9C

3、.c a bD.a c b5 （北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）已知函数f（x）xsinx,则f（利f( 1),(6 .(北京东城区普通校2013 届高三 12 月联考理科数学)已知函数f(x) aln(x 1) x2在区间(0,1)内2的大小关系为A.f(nf( 1) f(3B.f( 1) f(nf(:n)311311c.f(nf( 1) f(nD.f(nf(:f(1)113311【答案】 A二、填空题3任取两个实数p,q,且p q,不等式丄911恒成立，则实数a的取值范围为p q答案】15,)【解析】f(pf(qf(pf(q(p 1) (q 1),表示点(p 1,f (p

4、1)与点(q 1,f (q 1)连线的斜率，因为p,q 1,所以1p 12,1 q12,即函数图象在区间(1,2)内任意两点连线的斜率大于1, 即f (x)1在(1,2)内恒成立.由定义域可知x 1y 2x23x 12(x2x 1,即x 13)2-,当1482x,所以a2时,函数的取值范围为15,)7 .(北京东城区普通校2013 届咼三12(12x)(x 1)成y 2(x；)2 7月联考理科数学)若曲线yy 4x3平行，则切点坐标为,切线方程为【答案】3x 1y 4x的最大值为(12x)(x1),则15,所以a 15,即a-的某一切线与直线2(1,2),y 4x 2【解析】函数的导数为y 3

5、x 1,已知直线y4x 3的斜率k4,由4,解得切点的横坐标x 1,所以y 2,即切点坐标为(1,2),切线方程为y 24(x1),即2.8 .(2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，f x是f x的导函数.当x 0,时,0f x 1;当x 0,则函数yf x cosx在3 ,3上的零点个数为【答案】69 .(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知函数f(x)mx2(m6)x1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是2【答案】m 6或m 3【解析】函数的导数为f(x) 3x2mx (m 6),要使函数f (x)既存在极大值又存

6、在极小值，则f (x) 0有两个不同的根，所以判别式20,即4m 12(m 6)0,所以2m 3m 180,解得m 6或m 3.6 .(北京东城区普通校2013 届高三 12 月联考理科数学)已知函数f(x) aln(x 1) x2在区间(0,1)内451110._(2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)曲线f(x) x在x处的切线方程是 _ ,在 x=xox2处的切线与直线y x和 y 轴围成三角形的面积为 _ .【答案】 3x+y-4=0, 2;11.( 2009 高考(北京理)设f (x)是偶函数，若曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线的斜率为 1,则该曲线在(1,f( 1

7、)处的切线的斜率为 _【答案】1【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念的考查.2取f x x,如图，采用数形结合法，易得该曲线在(1,f( 1)处的切线的斜率为1.故应填1.三、解答题12.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月合练习(二)数学(理)试题)(本小题满分 13 分)设2121【答案】解答(1)f (x) x x 2a (x -)- 2a .2 分2f(x)在(2,)上存在单调递增区间32存在(一，)的子区间(m, n)，使得x (m, n)时f (x)03,2f (x)在(，)上单调递减疋疋) )0，即fG)212a 0解得a-3399当a129

8、时，f(x)在(一，苗茁+苗. . G Zk)上存在单调递增区间. 6 分(2)令 f(x)00 a2f(x)2(1)若f(x)在(-,3(2)当0 a 2时,间上的最大值.)上存在单调递增区间，求a的取值范围;f (x)在1,4上的最小值16，求f(x)在该区3联考综6 .(北京东城区普通校2013 届高三 12 月联考理科数学)已知函数f(x) aln(x 1) x2在区间(0,1)内61 1 8a1.1 8a2；x22f (x)在(，X1),(X2,)上单调递减，在(X1,X2)上单调递增所以函数h x的单调递增区间为,1 , a,;单调递减区间为1,a,27所以f (x)的最大值为f

9、(x2)2ax a 0 , g x bx 2b 1.(II)当a 1 2b时,若函数f x g x在区间2,0内恰有两个零点，求a的取值范围(III)当a 1 2b 1时,求函数fx g x在区间t,t 3上的最大值.【答案】解：(I)f xx2a,g x 2bx.因为曲线y fx与曲线y g x在它们的交点1,c处具有公共切线，所以f1 g 1,且f 1 g 1即-ab2b1,且1 a 2b,3解得a5133(II)记hxf xg x,当a 1 2b时131 a2h x xx ax a,32h xx21 a x a x 1 x a令h x0,得x11,x2a 0.当x变化时，h x,h x的

10、变化情况如下表x,111,aaa,h x0一0h x/极大值极小值/x-i1x24f(X)在(1,X2)上单调递增,在(X2,4)上单调递减27f(4) f(1)丘6a0，f (4) 8a403解得a 1, x2f(x)的最大值为f (X2)f(2)16310310 分13 分13 .(北京市顺义区 2013 届高三第次统练数科试卷(解析)设函数(I)若曲线f x与曲线y g x在它们的交点1, c处具有公共切线,求a,b的值;8故h x在区间2,1内单调递增，在区间1,0内单调递减,从而函数h x在区间2,0内恰有两个零点,当且仅当h 20,h 10,解得0h 00所以a的取值范围是(III

11、)记h xf xh x13x3x 1.由(II)可知，函数h x当t31时，即h t3-3t 33当t1且1 t递减,所以hx在区间当t1且tt 3 1,h 1135当1 t1时，th x在区间t,1t10,3g x,当a 1 2b的单调递增区间为4时，h x在区间t,t,1,1,;单调递减区间为1,1.t,t 3上单调递增13231-t 3t 8t 5;31,即4 t 2时，h x在区间t,13上的最大值为h 1-3即2 t 1时,t+3 2 时，f (x)有最小值2 a;当 a 2 时，f (x)没有最小值。x16. (2013 北京房山二模数学理科试题及答案)已知函数f(x) (x2x

12、a)ea(a 0).(i)当a 1时,求函数f (x)的单调区间；(n)当x5时，f (x)取得极值.1若m 5,求函数f (x)在m,m 1上的最小值；2求证：对任意NX 2,1,都有|f(xj f (x2)| 2.xxx12一_1-【答案】(i) f(x)(X2xa)ea(2x1)ea-x(x12a)eaaa当a 1时，f (x) x(x 3)ex解f (x) 0得x 0或x3,解f (x) 0得3x0所以f (x)单调增区间为(，3)和(0,),单调减区间为(3,0)1 -(n)当x 5时，f(x)取得极值，所以f( 5)-( 5)( 5 1 2a)ea0a解得a 2(经检验a 2符合题

13、意)x(,5)5(5,0)0(0,)f (x)+0-0+f(x)/若 2a 12，即 a3时,2f(x)在2,2a 1)上单调递增，在(2a 1,)上单调递减,因为 f (2a 1)a 12(2 a 2)0，且当 x 2a 1 时，x a a 10,所以 x 2a 1 时，f (x)0。又因为 f (2)2 a ,所以当 2 a 0,即 a 2 时,3f (x)有最小值 2 a ; 2 a 0，即a 2时,f(x)没当5 m 1时，f(x)在m, m 1单调递减,14所以函数f (x)在，50递增，在5,0递减15m 1fmin(x) f(m 1) m(m 3)e2当1 m 0时m 0 m 1

14、f(x)在m,0单调递减，在0,m 1单调递增，fmin(x)f (0)2m当m 0时，f(x)在m,m 1单调递增，fmin(x) f (m) (m 2)(m 1)e综上，f(x)在m, m 1上的最小值m 1m(m 3)e2,5 m 1,fmin(x)2,1 m 0,m(m 2)(m 1)e2, m 0.令f(x)0得x 0, x 5(舍)因为f( 2)0, f(0)2, f(1)0所以fmax(x)0, fmin(x)2所以,对任意X1,X2 2,1,都有|f(X1)f(X2)| fmax(x) fmin(X)2117(北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学(理)设函数f(x)3ax

15、3 bx2*b c),其图象在点A(1,f (1), B(m, f(m)处的切线的斜率分别为0, a.(I)求证:0b1；a，(n)若函数f (x)的递增区间为s, t,求|s 11的取值范围.2f (X) ax 2bx c,由题意及导数的几何意义得f(1) a 2b c 0,(1)2f (m) am 2bm caa由,(4)得0 0得2bb20,即方程axw2,或一02bx 2b 0有实根.(n)由(I)知当a 0时，f(x)在区间(0, 2a)单调递减，在区间(2a,)上单调递增10 分16知方程f (x) ax22bx c 0()有两个不等实根，设为x1, x2,当x x2或x x,时,

16、f (x) 0,当x2x x,时，f (x) 0,故函数f (x)的递增区间为X2, x,由题设知X2, x, s, t,因此|s t| |x,X2I 2一，由(I)知0 W - 1得aa|s t|的取值范围为2, 4).18. (2013 届北京市延庆县一模数学理)已知函数f(x)(I)讨论函数f(x)的单调性;(n)当a 0时，求函数f (x)在区间1,e的最小值【答案】解：函数f (x)的定义域为(0,),又由f (1) a 2b c 0知,x.1为方程()的一个实根，则由根与系数的关系得x,X22baX22bx,2122a |n x x ax (a R).2(I)f (x)x2ax 2

17、a2x(x 2a)(x a)x(1)当a 0时，f (x) x0，所以f (x)在定义域为(0,(2)当a 0时，令f (x)0,得x1当X变化时，f(X),f (X)的变化情况如下:,X2a,a-0+t)上单调递增；5 分2a(舍去)2117此时，f (X)在区间(0,a)单调递减,在区间(a,)上单调递增；(3)当a 0时，令f (x) 0,得x12a当x变化时，f (x),f (x)的变化情况如下: 此时，f (x)在区间(0, 2a)单调递减，在区间(2a,)上单调递增7 分2118(I)求f (x)的单调递减区间；(n)若存在 捲0,X20,使得f(xj f(X2),求 a 的取值范

18、围.2X当a 1时,令f (x)0,解得X 1f(x)的单调递减区间为(，1);单调递增区间为(1,0),(0,11,0时,显然不合题意a 1时,取为1,则f (xjea-,则f(X1)a2eT(a 1) 0X21,则f(X2)ea0,符合题意(1)当2ae时,f(x)在区间1,e单调递减,所以，f(x)minf (e)2a2(2)当12ae,即12ea -e；.11 分在区间(2a, e)单调递增,所以f(x)minf( 2a)2a21 n( 2a),12 分1(3)当2a 1，即1a210时，f(x)在区间1,e单调递增,所以f(x)minf(1) a213 分19.(北京市海淀区 201

19、3 届高三5 月查缺补漏数学(理)已知函数f(x)axe(aa 1),其中a 1.x【答案】(I)解：f (x) aeax(X 1)(a 1)X 1当a1时，令当1 a (单调递增区间为当a 0时，当a 0时,单调递增区间为1),(-a(,1),(n)解:当a 0时,若x(0,),1f(x)mn f(訂)- 9ea 1(a1)21,0),f(X)maxf(1)1,不合题意f (x)的单调递时，f(x)的单调递减区间为(1(1,0),(0,)a 1f (x)为常值函数，不存在单调区间f (x)0,解得x 1,或x a19取X21,则f(X2)ea0,符合题意综上，a 的取值范围是1,0).导函数

20、y f (x)的两个零点为-3 和 0.(I)求f(x)的单调区间;(n)若 f(x)的极小值为e3，求 f(x)在区间5,)上的最大值号相同.9a 3b c3eb c 0,9a 3(2a b) b c 0,解得a 1,b5,c5,f (0)5为函数f (x)的极大值所以f (x)x25x 5xef (x)的单调增区间是(-3 , 0),单调减区间是(0, +m),20.(北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题)已知函数f (x)ax2bxXec-(a0)的【答案】 解:f (x)x /2x(2ax b)e (ax bx c)e(ex)22ax (2a b)x bxe.2 分令

21、g(x)ax2(2 ab)x b c,因为ex0，所以yf (x)的零点就是g(x)2ax(2a b)x b c的零点，且f (x)与g(x)符又因为a0，所以3 x0时，g(x)0,即f (x)当x 3,x0时,g(x)5，所以函数 f(x)在区间5,)上的最大值是5e514 分e21 (北京市昌平区2013 届高三上学期期末考试数学理试题)(本小题满分13 分)已知函数32f (x) x ax 4(a R).(i)若函数yf (x)的图象在点P(1,f(1)处的切线的倾斜角为，求f (x)在1,1上的最小值;4(n)若存在X。(0,)，使f(xo) 0，求a的取值范围.【答案解：(I )f

22、 (x) 3x22ax. . . . 1分根据题意，f (1) tan1,3 2a 1,即a 2.3分4此时，f(x)x32x24,则f (x)3x24x.4令f (x)0,得花Ox3x1(1,0)0(0,1)1f x7-0+1f x14/3当x 1,1时，f x最小值为f 04. .7分(II )f (x)3x(x争争若a 0,当 x 0 时，f (x) 0, f (x)在(0,)上单调递减.又f (0)4,则当 x 0 时，f(x) 4.当 a bx -2 恒成立，求实数 b 的取值范围【答案】26. (2013 北京东城高三二模数学理科)已知函数f(x),aIn x(a 0).x(I)求

23、f (x)的单调区间；(n)如果P(x,y)是曲线yf (x)上的任意一点，若以1P(x, y)为切点的切线的斜率k恒成立，求2实数a的最小值；(川)讨论关于x的方程f (x)X3 2(bx a) 1的实根情况.2x2【答案】 (共 14 分)解:(I)f(x),aIn x,疋义域为(0,)，x则P(x)1a x a2 2.xxx51即f(1) 20,12f (e) e2a 0,229因为a0,由f (x)0,得x(a,)，由f (x)0,得x(0, a)所以f(x)的单调递增区间为(a,)，单调递减区间为(0,a).(n)由题意，以P(x,y)为切点的切线的斜率k满足k f(X。)丄(沧0)

24、,X。2330(i)若a 2,求曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程(n)求f (x)在区间2,3上的最大值和最小值.【答案】(i)解：f (x)的定义域为R,且f (x) 2x24x 2 a112121所以a -x0 x0对x00恒成立.又当x00时,x0XQ-,1所以a的最小值为-.2(川)由题意,方程f (x)3x 2(bxa)2x-化简得2121b In xx2+x (0,)2212|11(1 x)(1 x)令h(x) In x x b,则h (x) xxx当x (0,1)时，h(x) 0,当x (1,)时，h(x) 0,所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,

25、)上单调递减.121所以h(x)在x 1处取得极大值即最大值,最大值为h(1) In 1 - 12b -2 2b.所以 当b 0,即b 0时，y h(x)的图象与x轴恰有两个交点方程f(x)x 2(bx a)丄有两个实根,2x2当b 0时，y h(x)的图象与x轴恰有一个交点3x 2(bx a) 1亠人宀 s万程f(x)有一个实根，2x2当b 0时，y h(x)的图象与x轴无交点，方程f (x)x32(bxa)丄无实根27. (2013 北京西城高三二模数学理科)已知函数f(x)2X32X2(2 a)x1,其中a R.31当a 2时，f(1),f (1)2,31所以曲线y f(x)在点(1,f

26、(1)处的切线方程为y丄2(x 1),3332即6x 3y 50(n)解：方程f (x) 0的判别式为8a.(i)当a 0时，f (x)0,所以f (x)在区间(2,3)上单调递增,所以f (x)在区间2,3上的最小值是f(2)72a；最大值是f(3)7 3a3(ii)当a 0时,令f (x) 0,得x11f(x)和f (x)的情况如下1当0 a 2时，x22,此时f (x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(2)72a;最大值是f(3)7 3a32当2 a 8时，x12 x23,此时f(x)在区间(2, x2)上单调递减，在区间(x2,3)上单调递增2,3上的

27、最大值是f(2)72a3当a 8时，x123 x2,此时f(x)在区间(2,3)上单调递减，所以f (x)在区间2,3上的最小值是f(3) 7 3a；最大值是f(2)72a3综上，x(，xjx( (石，石，) )X2(x2,)f (x)00f(x)/2adT，12a2).所以f (x)在区间2,3上的最小值是f(xOa、2a3因为所以f(3)当2f(2)14a,3时，f(x)在区间2,3上的最大值是3f(3)a 8时，f (x)在区间仝或x2故f (x)的单调增区间为();单调减区间为(133当a 2时，f(x)在区间2,3上的最小值是-2a,最大值是7 3a；334f (x) ln x ax

28、2bx(其中a, b为常数且a 0)在x 1处取得极值(I)当a 1时，求f (x)的单调区间；(II)若f(x)在0,e上的最大值为1，求a的值21【答案】解：(I)因为f(x) ln x ax2bx,所以f (x) 2ax b.2 分x因为函数f (x) ln x ax2bx在x 1处取得极值f (1) 1 2a b 0f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x1(0,2)12( (知知1(1,+)f (x)00f(x)Z极大值极小值Z5 分1所以f (x)的单调递增区间为(0,才,(1，+)单调递减区间为(1,1)(II)因为f(X)型一2(a 1)x 1(2ax 1)(x 1)a

29、14时，f(x)在区间2,3上的最小值是533警警，最大值是7 3a；1435a 8时，f (x)在区间2,3上的最小值是 3警警，最大值是2a; ;8时,f(x)在区间2,3上的最小值是7 3a,最大值是32a. .28. (2013 届北京海滨一模理科)已知函数当a 1时，b3，f (x)2x23x 1x3536f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e上单调递减所以f(x)在区间0,e上的最大值为f(1)，令f(1)1，解得a而f(1) ln1 a (2a 1) 0所以f (e) In e+ae2(2 a 1)e1，令f (X)0,Xi因为f (x)在x 1处取得极值，所以X212ax1

30、1解得a -eX21e矛盾2a12 分当x2丄2ae时，f (x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减,所以最大值1 可能在x 1处取得，而f(1) In1 a (2a 1) 0,矛盾综上所述,13 分1当2a0时，X22a0当丄1时，f (x)在(0,丄)上单调递增,2a2a( (右右，1)上单调递减,(1,e)上单调递增所以最大值11 可能在x或e处取得In 1 0 2a 4a所以f(e)2In e+ae (2 a 1)e11，解得a厂11 分1当1丄2a11e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减，(,e)上单调递增2a2a所以最大值1 可能在x 1或x

31、e处取得3729. (2011 年高考(北京理)已知函数f(x) (x k)2e*(I)求f (x)的单调区间1(n)若对任意的x (0,),都有f (x)丄，求k的取值范围.e【答案】 【命题立意】本题考查利用导数研究函数的单调性问题以及利用函数的单调性与最值解答不等式恒成立问题学会分类讨论，综合解答函数、不等式问题 .1 _【解【解析】(I)f(x)(x2k2)ek,令f(x) 0,得x kk当k 0时，f (x)与f (x)的情况如下x(,k)k(k,k)k(k,)f(x)+0-0+f(x)Z2 14k e0Z所以，f(x)的单调递增区间是(，k)和(k,);单调递减区间是(k,k)当k

32、 0时，f (x)与f(x)的情况如下：(n)当2ba21时,讨论函数f (x)的单调性.【答案】(I)f(x)a(x21),22乎乎ax)(x R).1 分(x1)22ax2bxa(x21)2(I)若函数f (x)在x 1处取得极值2，求a,b的值;3 分x(,k)k(k, k)k(k,)f(x)-0+0-f(x)0Z2 14k e(n)当k 0时，因为f (k 1) e1,所以不会有ex (0,),f (x)当k 0时，由(I)知f (x)在(0,)上的最大值是f(k)4k21所以x (0,),f(x)等价于e4k2f( k)e-,解得e11所以当x (0,),f(x)-时,k的取值范围,

33、0)e230 .(北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题)(本小题满分 13 分)已知函数f(x)b axx21依题意有，f(1)a严2a0 f(1) ?a2(121)2121解得b 0,a 4经检验，a 4,b 0符合题意，所以，a 4,b 0所以，f(x)的单调递减区间是(，k)和(k,);单调递增区间是(k, k)k 138当2ba21时，f (x)ax2(a21)x a (ax 1)(x a)(x21)2(x21)20时,xfXx)(x21)2解f (x)0,得x,0)时，f(x)0;(0,)时，f(x)所以减区间为（,0），增区间为（0,).0时, 解f (x)0,1

34、,x2a0时,丄）或x（a,a)时，f(x)0;当x (1,a)时，f(x)0a所以增区间为1)a(a,），减区间为（,a).a11 分当a 0时,当x (,a)或x)时,f(x)0；当x (a,1)时，f(x)0a所以增区间为（a,1），减区间为（a,a),(a,).13 分综上所述：当af（x）减区间为（，0），增区间为(0,)；1f （x）增区间为（，），（a,a），减区间为(1,a);a增区间为（a,丄），减区间为（a,a),(1,a).31. （2013 北京朝阳二模数学理科试题）已知函数f(x)mxxl1(m0),g(x) x2eax(a R).（i）求函数f （x）的单调区间；（

35、n）当m 0时，若对任意xx?0, 2,f（xj g（X2）恒成立,求a的取值范围39【答案】(本小题满分 1 )当m 0时, ,当x变化时，f (x), ,f (x)的变化情况如下表x(,1)(1,1)(1,)f (x)f(x)Z所以，函数f(x)的单调递增区间是(1,1), ,单调递减区间是(，1), ,(1,)当m 0时, ,当x变化时，f (x), ,f (x)的变化情况如下表x(,1)(1,1)(1,)f (x)f(x)ZZ所以，函数f(x)的单调递增区间是(，1), ,(1,), ,单调递减区间是(1,1). .( (n) )依题意，当m 0时, ,对于任意x1, x20,2, ,

36、f(xj g(x2)恒成立”等价于 当m 0时, ,对于任意X 0,2,f (x)ming (x)max成立”当m 0时，由(I)知，函数 f (x)在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，因为f (0)1, ,f(2)如如11, ,所以函数f (x)的最小值为f (0)1. .5所以应满足g(x)max1因为g (x) x2eax, ,所以g (x) (ax2+ 2x)eax21当a 0时，函数g(x) x, ,x 0,2, ,g(x)maxg(2)4, ,显然不满足g(X)max1, ,故a 0不成立22当a 0时, ,令g (x)0得，捲捲0, ,x2-. .a2( (i) )当2, ,

37、即1 a 0时，在0,2上g (x) 0, ,所以函数g(x)在0,2上单调递增解:(:(I) )函数f(x)的定义域为R, ,f (x)m(1x2)(x21)2m(1x)(1 x)(x2 1)240所以函数g(x)maxg(2)4e2a.由4e2a1得，a In2,所以1 a In22(ii)当02,即a 1时,a在【a |)上g(x)o,在(a,2上g(x)o,2所以函数g(x)在0,)上单调递增，在(a2所以g(X)maxg()a42由2 21得，a,所以a 1a ee2(iii)当0,即a 0时，显然在0,2上g (x)0,a2 a函数g(x)在0,2上单调递增，且g(x)maxg(2

38、) 4e.显然g (x)max4e2a1不成立，故a0不成立综上所述,a的取值范围是(，In 2132.(北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理)已知函数f(x) 6ln(ax 2)x2在x 2处2有极值.(I)求函数f(x)的单调区间(n)若直线y kx与函数f (x)有交点，求实数k的取值范围【答案】解:(1I)因为f(x)6ln(ax 2) -x2,2所以f(x)a6xax 2由f(2)0,可得a 2经检验a 2时，函数f (x)在x2处取得极值f(x)6ln(2 x 2) x225f(x)6xx 1x2x6(x 3)(x 2)x 1x 1而函数f (x)的定义域为(1,

39、),当 x 变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表2,2上单调递减a41x(1,2)2(2,)42f(x)IH0f(x)极小值Z由表可知，f(x)的单调减区间为(1,2),f(x)的单调增区间为(2,)(n)若f (x) kx,则有x2x 6kx2kx,其中x 1,y 2.时,h(x) h(1)0,当x 1时，h(x) h(1)0则其对称轴为x1,根据二次函数的性质知道2只要(k 1)224(k 1) 0显然k 1,设g(x)(k 1)x2(k 1)x 6解得k 25或k 1.所以(k 1)x2(k 1)x 60有大于1的根,33 . ( 2013 届北京市高考压轴卷理科数学) 已知函数a

40、 b In xf (x)在点(1, f(1)处的切线方程为x 1(I)求a,b的值；(II)对函数f (x)定义域内的任一个实数x,f(x)m恒成立，求实数m的取值范围x【答案】解：(I)由f(x)a bln x(x 1) (a blnx)(x) -x2(x 1)2而点(1, f (1)在直线f(1)1,又直线x y 2的斜率为1f (1)a 1故有22b a 14(n)由(I)得f(x)f(x)2 In x .(xx 12x xln0)g(x)2x xlng/(x)(1 In x)(x 1) (2x xlnx)1_x_In x(x 1)2(x 1)2h(x)In xh(x)0(x0),故h(

41、x)在区间(0,)上是减函数，故当0 x 1从而当0 x 1时，g(x) 0,当x 1时，g/(x)0144243综上所述:2a当 a 0, 2 时,最大值为h(1) a;当 a时,最大值为a 1.35.(北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题)已知函数f (x)12x ax (a 1) lnxg(x)在(0,1)是增函数，在(1,)是减函数，故g(x)maxg(1)1要使2xxln x m成立,只需m 1x 1故m的取值范围是(1,).34. (2012 北京理)18.已知函数f(x) ax21 a 0,g(x) x3bx.y f (x)与曲线y g(x)在它们的交点

42、1,c处具有公共切线，求a,b的值;(1)若曲线当a24b时，求函数f(x) g(x)的单调区间,并求其在区间,1上的最大值.【答案】 解：()由 1, c 为公共切点可得：f(x) ax21(a0),则 f (x) 2ax,k12a,g(x)x3bx,则 f (x)=3x2b , k23b,2a 3 b 又 f(1) a 1, g(1) 1 b,a 1 1 b,即 a b ,代入式可得：Q a24b, 设 h(x) f (x) g(x)x3ax2则 h (x)3x22ax4a2,令h(x) 0,解得：x1a2 ,x2原函数在a单调递减，在6上单调递增若a，即a6 时,即a6时,(i)若a2，

43、 求函数f (x)在(1,f(1)处的切线方程;44(n)讨论函数f(x)的单调区间【答案】解：(1)当i a 2时,f(x).lx222x ln xf(x)x21x上13f (1)-2f(1)022切线方程为y34 分2(2)定义域(0,)f(x)xa 1x2ax(a 1)(x1)(x 1 a)T (x)xaxxx令f(x) 0,解得x11，x2a 11当a 2 时，f(x) 0恒成立，则(0,)是函数的单调递增区间2当a 2时，a 1 1，在区间(0,1 )和(a 1,)上,f (x)0;在(1,a 1)区间上f (x) 0，故f (x)的单调递增区间是(0,1 )和(a 1,)，单调递减

44、区间是(1,a 1)3当1 a 2时，在区间(0,a 1)和(1,) 上,f (x) 0；在(a 1,1)区间上f (x) 0，故f (x)的单调递增区间是(0,a 1)和(1,)，单调递减区间是(a 1,1)4当a 1时，a 1 0，在区间(0,1 ) 上f (x) 0，在区间(1,) 上,f (x) 0，故f (x)的单调递增区间是(1,)，单调递减区间是(0,1 )。13 分1236. (2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)已知函数f(x) 2ln Xax2(2a 1)x a R.1(i)当a时，求函数 f(x)在1,e上的最大值和最小值；2(n)若a0,讨论f (x)的单调性.【

45、答案】解：(i) f(x)的定义域为x|x 0,当a丄时，f (x)(x 2)(x2),22x令f (x)0,在1,e上得极值点x 2,x1,2)2(2,ef (x)045f(x)增2ln2 1减3x 2y 2ln 2 30f(x)X(x k 1),x ( 1,).1 x0时，f(x).1 x所以，在区间(1,0)上，f(x)0；在区间(0,故f (x)得单调递增区间是(1,0),单调递减区间是(0,).当o k 1时，由f(x)x(kx k 1)0,得X10,X2U1 xk1 k1 kf(1)(n)当1,f(e)2 ,44(、(x 2)(ax 1)(x)x111a1时，由f (x)0 得 0

46、 x,所以 f(x)的单调增区间是(0,2),(-,2a1、1(x)0 得 2x0 得 0 x2,所以 f(x)的单调增区间是2a11由f (x)0 得一x2,所以 f(x)的单调减区间是(一,2)aa(0,丄),a(2,),一k237. (2010 年高考(北京理)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(2(I)当k=2 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)求f(x)的单调区间【答案】解：(l)当k 2时，f(x) ln(1 x) xx21，f(x)厂厂-1 2x x由于f (1) ln 2,f(1)-2所以曲线y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为3ln

47、22(x1)(II)上，f(x)0.046所以，在区间(1,0)和(，)上，f(x)0;在区间(0,- k)上，f(x)kk0471k1k故f(x)得单调递增区间是(1,0)和(1k,),单调递减区间是(0,1-).kk2当k 1时,f(x),故f(x)得单调递增区间是(1,).6(i)当2a 4a 0,即a 1时,方程两根为2a 4a24a2aa . a2aaa、a2axa a6aava2aaa a2a a(a2aa Va2aaa a2a!aaaaf x0一0f x/极大值极小值/,X2a此时f x与f x的变化情况如下表所以当a 1时，f x的单调递增区间为a a2af x的单调递减区间为

48、a Pa2a a la2aa a当k 1时，f (x)x(kx k 1o,得N1 x1 kV(1,0),X20.1 k所以没在区间(1,)和(0,k1 k)上，f(x)0;在区间(，0)上,f (x)k1 k),单调递减区间是(，0)xe38. (2013 北京顺义二模数学理科试题及答案)已知函数f x厂其中a为正实数，e 2.7181 ax21(I)若x是y f x的一个极值点，求a的值；(II)求f x的单调区间.【答案】 解ax22ax 1 exax2 21因为x-是函数yf x的一个极值点所以f10,因此一a a 14经检验，当a(II)f xax22ax 1 exax2 2&

49、 m 40,解得a.3f (x)的一个极值点,故所求a的值为0令f x 0得ax22ax 1048(ii)当4a24a 0时，即0 a 1时，ax22ax 10,即f x 0,此时f x在上单调递增49所以当0 a 1时，f x的单调递增区间为又f (0)1,f (0)2,所以f(x)在(0, f(0)y2x 1(ii)f(x)ax _e ax(a1)(x1)21当a 0时，f(x)厂子0当a 0时，x山1,a所以 f (x), f (x)随x的变化情况如下表所以f(x)的单调递减区间为(,1),(1,)6 分又函数的定义域为x|x 17 分39.(北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试

50、数学理试题)已知函数f (x)axeFl(I)当a 1时,求曲线f(x)在(0, f(0)处的切线方程;(n)求函数f(x)的单调区间【答 案】f(x)axf (x)ex(x 2)(x 1)20,即ax (a当a 0时，令即f x 0,此时f x在上单调递增50 x(,1)1(1a 1) aa 1a(a 1,) af (x)无定义051f(x)极小值Za i所以 f(x)的单调递减区间为(，1),(1,),aa 1单调递增区间为(，)a当a 0时，x1a所以 f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,a 1)aa 1a(a 1,1) a1(a 1,) af (x)0无定义f(x)Z极

51、大值a 1所以 f(x)的单调递增区间为(，)，aa 1单调递减区间为(,1),(1,).13 分a40 .(北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题)已知函数1 f (x) a(x ) 2ln x (a R).x(I)若a 2，求曲线 y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程；(n)求函数 f(x)的单调区间;a若至少存在一个 X。1,e，使得 f(xo) g(xo)成立，求实数 a 的取值范围.x所以曲线 y f (x)在点(1,f(1)处的切线方程为 y 02(x 1),即 2x y 20.10 分(川)设函数 g(x)f (x)a(1122小ax 2x a2)xx2.

52、x(I)当i a2时, 函数1f(x) 2(x) 2ln x,x. 1 分f(1) 0, f (1) 2 .【答案】解：函数的定义域为0,52(n)函数 f (x)的定义域为(0,).(1):当a0时，2h(x) ax 2xa 0 在(0,)上恒成立，则 f (x)0 在(0,)上恒成立，此时 f(x)在(0,)上单调递减.4 分(2) i当a0时，4 4a2,(i)若0 a 1,1R2I ”2由 f (x) 0，即 h(x) 0，得 x -:- 或 x -1；. 5 分aa由 fg 0，即 h(x) 0,得x. . 6 分aa112112所以函数 f(x)的单调递增区间为(0, )和(一,)

53、,aa单调递减区间为(一-乞，一-).aa(ii)若a 1, h(x) 0 在(0,)上恒成立，则 f (x) 0 在(0,单调递增.(川)因为存在一个X。1,e使得 f(xo) g(xo),对F(x)求导，得F (x)2(12nx). 10 分x因为当x 1,e时，F (x)0,所以F(x)在1,e上单调递增. .12 分所以F(x)minF(1)0,因此a 0. 13 分另解：设F x f x g x ax 2ln x，定义域为0,2 ax 2F x a.x x则ax02ln x0，等价于a2ln x0 x令F(x)彳嘤，等价于“当xx1,e时，aXmin”)上恒成立，此时 f(x)在(0

54、,53依题意，至少存在一个xg1,e，使得 f(Xo) g(Xo)成立,54恒成立，所以F x在1,e单调递减，只要F xmaxmax-时,ee2即a 2时，e20，在(-,e上F x 0,a22在1,三)单调递减，在(=e单调递增,aa41.(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知函数f(x)a(x21),其中a 0.x(I)求函数f (x)的单调区间；(n)若直线x y 10是曲线y f (x)的切线，求实数a的值；(川)设g(x) xln x x7f (x),求g(x)在区间1,e上的最大值.(其中e为自然对数的底数)所以,等价于当x 1,e时，F Xmax0.(1)当a

55、 0时,则不满足题意.10 分(2)当a 0时,2(i)当0-a1,即a 2时,在1,e0，所以F x在1,e上单调递增,所以Fxmaxe ae 2,由ae0得,所以2.11 分在1,e所以F x在1,e单调递减,所以Fxmax12 分max等价于F 10或F e 0，解得a 0,2.综上所述, 实数a 的取值范围为(0,).13 分F x 0在1,e(ii)当2(iii)当1-a所以255【答案】解：f (X)ax2ax(x1) ax32a( a 0)XX令f (x)0,则X 2,又f(x)的定义域是X 0X(,0)(0,2)2(2, )f(X)0f(x)ZyoXo1a (2 Xo)3Xo令

56、g (x) o,则In x a 1,x ea 1(i)当o a 1时,g(x)在1,e单调增加g(x)maxg(e) e ae a(n)当1 a 2时,g(x)在1,ea 1)单调减少，在(ea 1,e单调增加；若1a时，g(x)maxg(e) e ae a；若負a 2时，g(x)maxg(o)o；(川)当a 2时,g(x)在1,e上单调递减，g(x)maxg(o) o；综上所述,oa話 时，g(x)maxg(e) e ae a；a負时，g(x)maxg(o) o.42.(北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)已知函数| 丁(匸三：R ).(1)若一】，试确定函数的单调区间；

57、设切点为(Xo,y)则yoa(xo2Xo1)解得Xo1a 1g(x) xln x a(x 1)g (x) In x 1 a 若函数-f在其图象上任意一点处切线的斜率都小于 二，求实数；的取值范围56若 - -1,求&的取值范围.【答【答案】( (I) )解：当二一：当二一时, ,1 ,QC加二一严+汰所以由,解得- - -, 由:1,解得 - -或八5所以函数宀的单调增区间为1-,减区间为-和 二门(n)解：因为-1 - -由题意得：二 -、- 对任意/. -5.恒成立, ,即”_;一；-；对任意/.-恒成立,设呦三 7+2H, ,所以g= =所以当工=1时，二I 有最大值为-,因为对

58、任意丁 -S, 二恒成立, ,a所以-/- 1,解得;:或 -所以，实数二的取值范围为-:1或 二(III):-其中a 2. .( (I) )求函数f (x)的单调区间；( (n) )若函数f (x)在0,2上有且只有一个零点,求实数【答案】(本小题满分 1 )43.(北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学)已知函数f(X)2x (a 2)x aln x 2a 2, ,解：函数定义域为xx0,且2x (a 2)a (2x a)(xxx1)a的取值范围. .57( (旦旦,1)f(x)在2、上单调递减，在(1,2上单调递增；当a 0, ,即2时, ,令f(x)0, ,得0 x 1,

59、 ,函数f(x)的单调递减区间为(0,1), ,(x)0, ,得x1, ,函数f(x)的单调递增区间为(1,当2时, ,令f(x) 0函数(0,-)f(x)的单调递增区间为2 ,(1，)(x)x 10, ,得2, ,函数f(x)的单调递减区间为(a，1)当, ,即a 2时，f(X)0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(o,)( (n) )当0时, ,由( (I河知，河知，函数f(x)的单调递减区间为(O,1), ,f(x)在(1,2单调递增. .所以f(x)在0,2上的最小值为f(1)由于f( (丄丄) )e2_aee1)2a2e要使f(x)在0,2上有且只有一个零点需满足f(1)f(1)

60、0,f,解得a2In 2当0 a2时，由( (I) )可知，且心丄兰丄兰2e8e40，f2 2ln2 0, ,所以f(x)在0,2上有且只有一个零点. .又因为f(1)10, ,所以当(|，2时，总有f(x)0. .因为e2a 2a所以12a 2f(e) )a 252a 2 2a 2eaea(a2a 22) (al nea2a 2)0(ii)当2时, ,函数58aa(0,2)内必有零点.又因为f(x)在(0,2内单调递增,32a b10从而当o2时，f(x)在0,2上有且只有一个零点.综上所述,2In 2或a 1时,f(x)在0,2上有且只有一个零点f xx axbxa_ a,bR .(I)若函数fx在x1处有极值