一次函数压轴题含答案)

1、1如图1,已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于 A B两点，以B为直角顶 点在第二象限作等腰 Rt ABCV1ABEll02FV0X(1) 求点C的坐标，并求出直线 AC的关系式.(2) 如图2,直线CB交y轴于E,在直线CB上取一点D,连接AD,若AD=AC 求证：BE=DE(3) 如图3,在(1)的条件下，直线 AC交x轴于M, P (二k)是线段BC 上一点，在线段BM上是否存在一点N,使直线PN平分 BCM的面积？若存在， 请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题。分析：(1)如图1,作CQLx轴，垂足为Q,利用等腰直角三角形的性质证明 BCQ根据全等三角形的性

2、质求OQ CQ的长，确定C点坐标；(2) 同(1)的方法证明 BCHABDF再根据线段的相等关系证明 BOEA DGE得出结论；(3) 依题意确定P点坐标，可知ARPN中BN变上的高，再由SbNSabcm求BN, 进而得出ON解答：解：(1)如图1,作CQLx轴，垂足为Q,/ OBA：+ OAB=90，/ OBA：+ QBC=90 ,/ OABMQBC又 AB=BCZ AOBMQ=90 , ABOA BCQ BQ=AO=2 OQ=BQ+BO=3CQ=OB=1C (- 3, 1),由 A (0, 2), C (- 3, 1)可知，直线 AC: yJx+2;(2) 如图2,作CHLx轴于H, DF

3、丄x轴于F, DGLy轴于G, AC=AD AB丄 CB BC=BD BCHA BDF BF=BH=20F=0B=,1 DG=OB BOEA DGE BE二DE(3) 如图3,直线BC y=-*x-吉,P (-舟,k)是线段BC上一点,由 y二丄x+2 知 M (- 6 , 0),3二 BM=5 贝9 Smc=.假设存在点N使直线PN平分 BCM的面积, BN,ON书 BN< BM点N在线段BM上, N ( -, 0).点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解.3.如图直线?: y=kx+6与x轴、y轴分别交于点B、C,

4、点B的坐标是(-8, 0), 点A的坐标为(-6, 0)(1) 求k的值.(2) 若P (x, y)是直线？在第二象限内一个动点，试写出厶 OPA的面积S与x 的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围.(3) 当点P运动到什么位置时， OPA的面积为9,并说明理由.考点：一次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积。专题：动点型。分析：(1)将B点坐标代入y=kx+6中，可求k的值；(2) 用OA的长，y分别表示 OPA的底和高，用三角形的面积公式求S与x的 函数关系式；(3) 将S=9代入(2)的函数关系式，求x、y的值，得出P点位置.解答：解：(1)将B (- 8, 0)代入y

5、=kx+6中，得-8k+6=0,解得k=(2) 由(1)得 y=2+6，又 OA=641q S七X 6Xy=-x+18, (- 8v xv 0)；(3) 当 S=9时，x+18=9,解得 x= - 4,此时y二上x+6=3,4二 P (- 4, 3).点评：本题考查了一次函数的综合运用，待定系数法求一次函数解析式，三角 形面积的求法.关键是将面积问题转化为线段的长，点的坐标来表示.7.如图，过点（1, 5）和（4, 2）两点的直线分别与x轴、y轴交于A、B两 占八、（1）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有10个（请直接写出结果）;（

6、2）设点C （4，0），点C关于直线AB的对称点为D,请直接写出点D的坐标_（6, 2）;（3）如图，请在直线 AB和y轴上分别找一点 M N使厶CMN勺周长最短，在 图中作出图形，并求出点 N的坐标.考点：一次函数综合题。分析：（1）先利用待定系数法求得直线 AB的解析式为y二-x+6 ;再分别把x=2、3、4、5代入，求出对应的纵坐标，从而得到图中阴影部分（不包括边界）所含 格点的坐标；（2）首先根据直线AB的解析式可知 OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称 的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点E，连接DE交AB于点M,交y轴于点N, 则此时 CMN的周长最短.由

7、D E两点的坐标利用待定系数法求出直线 DE的解 析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点 N的坐标.解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b,kx+b=5, 4k+b=2,把（1, 5）, （4, 2）代入得，解得 k二-1, b=6.直线AB的解析式为 y - x+6;当 x=2, y=4；当 x=3, y=3；当 x=4, y=2；当 x=5, y=1 图中阴影部分(不包括边界)所含格点的有:1，1），（1，2），（1，3）（ 1 ， 4），2，1），（2，2），（2，3），3，1），（3，2），4，1）.一共 10 个；(2) V直线y二-x+6与x轴、y轴交于A、B两点，A

8、点坐标为(6, 0), B点坐标为(0, 6),0A=0B=6 / OAB=45 .点C关于直线AB的对称点为D,点C (4, 0), AD二AC=2 AB丄 CD/ DABM CAB=45 ,/ DAC=90 ,点D的坐标为(6, 2);(3) 作出点C关于直线y轴的对称点E,连接DE交AB于点M,交y轴于点N,则 NC二NE 点 E (- 4, 0).又点C关于直线AB的对称点为D,. CM二DM CMN的周长二CM+MN+NC二DM+MN+NE=tDS周长最短.设直线DE的解析式为y=mx+n.把 D (6, 2), E (- 4, 0)代入，得6m+n=2 - 4m+n=0解得 m=,

9、 n=t,5 恒直线DE的解析式为y二二x+亠.令 x=0，得 y二一,5点N的坐标为(0, _).故答案为10; (6, 2).点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，横纵坐标都为整数的点的 坐标的确定方法，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，综合性较强，有一 定难度.19.已知如图，直线y=-.】x+4 :与 x轴相交于点A,与直线y亠x相交于点P.(1) 求点P的坐标；(2) 求Spa的值；(3) 动点E从原点O出发，沿着P-A的路线向点A匀速运动(E不与点O A重合),过点E分别作EFix轴于F, EBly轴于B.设运动t秒时，F的坐标 为(a , 0),矩形EBOFtOPA重叠

10、部分的面积为 S.求：S与a之间的函数关 系式.考点：一次函数综合题。分析：(1) P点的纵坐标就是两个函数值相等时，从而列出方程求出坐标.(2) 把0A看作底，P的纵坐标为高，从而可求出面积.(3) 应该分两种情况，当在 OP上时和PA时，讨论两种情况求解.解答：解：(1)-；x+4 訂二；x3x=3，y=二所以 P (3，:-；).(2) 0二-.；x+< ；.x=4.4X=2 ：;.故面积为2；.(3) 当E点在OP上运动时，°F点的横坐标为a，所以纵坐标为一a，3s= :a?a -丄 X 二 a?a二；a2.3236当点E在PA上运动时， F点的横坐标为a，所以纵坐标为

11、-.方+4一；. S=(- . ;a+4_ J a-± (- :a+4 :;) a二一Ja2+2 :;a.丄2点评：本题考查一次函数的综合应用，关键是根据函数式知道横坐标能够求出 纵坐标，横纵坐标求出后能够表示出坐标作顶点的矩形和三角形的面积以及求 两个函数的交点坐标.24.如图，将边长为4的正方形置于平面直角坐标系第一象限，使AB边落在x轴正半轴上，且 A点的坐标是(1, 0).(1) 直线尸号蠶-弓经过点C,且与x轴交于点E，求四边形AECD勺面积；JJ(2) 若直线I经过点E,且将正方形ABCD分成面积相等的两部分，求直线 I的解析式；(3) 若直线I i经过点F (一一 J且

12、与直线y=3x平行.将(2)中直线I沿着 y轴向上平移1个单位，交x轴于点M,交直线I i于点N,求AHMF的面积. 考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函 数解析式；平移的性质。专题：计算题。分析：(1)先求出E点的坐标，根据梯形的面积公式即可求出四边形AECD勺面积；(2) 根据已知求出直线1上点G的坐标，设直线I的解析式是y=kx+b，把E、 G的坐标代入即可求出解析式；(3) 根据直线I i经过点F (-号，0)且与直线y=3x平行，知k=3，把F的坐标 代入即可求出b的值即可得出直线1i,同理求出解析式y=2x- 3,进一步求出M N的坐标，利用三角形的

13、面积公式即可求出 MNF的面积.解答：解：(1) 一亠丄,当 y=0 时，x=2,-E ( 2, 0),由已知可得：AD=AB=BC=DC=4AB# DC四边形AECD是梯形，四边形 AECD勺面积 S千 X( 2 - 1+4)X 4=10,(2)在DC上取一点 G,使CG=AE=,答：四边形AECD勺面积是10.贝y St梯形AEG=S梯形EBCG G点的坐标为（4, 4）,设直线I的解析式是y=kx+b，代入得:（0二2k十匕,解得：J片4即：y=2x - 4,答：直线I的解析式是y=2x - 4.（3）v直线I i经过点F （_ J且与直线y=3x平行,£1设直线1i的解析式是

14、yi二kx+b, 则：k=3,代入得：0=3X（-上）+b,2解得：b=,2 y i=3x+y=2x已知将（2）中直线I沿着y轴向上平移1个单位，则所得的直线的解析式是 4+1, 即：y=2x 3,当 y=0 时，x=- 二 m, o）,门9r is心+ 2得：- 3Ly=-18解方程组即：N （辛，18）,Snm=*x_（-月）X | 18|=27 .答：AHMF的面积是27.点评： 本题主要考查了一次函数的特点，待定系数法求一次函数的解析式，一 次函数图象上点的特征，平移的性质等知识点，解此题的关键是能综合运用上 面的知识求一次函数的解析式.25.如图，直线l i的解析表达式为：y= -

15、3x+3，且l 1与x轴交于点D,直线12 经过点A，B,直线1i，12交于点C.(1) 求直线 l 2的解析表达式；(2) 求厶ADC的面积；(3) 在直线1 2上存在异于点C的另一点P,使得人。卩与厶ADC的面积相等，求 出点P的坐标；(4) 若点H为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点H,使以A、D C H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.考点 ：一次函数综合题。专题 ：综合题。分析：(1)结合图形可知点B和点A在坐标，故设1 2的解析式为y=kx+b，由图 联立方程组求出 k， b 的值；(2) 已知li的解析式，令y=0求出x

16、的值即可得出点D在坐标；联立两直线方 程组，求出交点C的坐标，进而可求出 Smdc(3) 人。卩与厶ADC底边都是AD,面积相等所以高相等， ADC高就是C到AD的距离；(4) 存在；根据平行四边形的性质，可知一定存在4个这样的点，规律为 H C坐标之和等于A、D坐标之和，设出代入即可得出 H的坐标.解答：解：(1)设直线丨2的解析表达式为y=kx+b,由图象知：x=4, y=0;x=3，：_-土，rok+to弘+b二_，I 2f._3f £ ，>-6直线l 2的解析表达式为 y=-；|y; - 6；(2)由 y二-3x+3，令 y=0,得-3x+3=0，-D( 1, 0);解

17、得-C (2，- 3)， AD=3AD(亡 x 3X | - 3|=二;:;(3)ADP与AADC底边都是AD,面积相等所以高相等,ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=| - 3|=3 , 则P到AB距离=3, P纵坐标的绝对值=3,点P不是点C,点P纵坐标是3,Ty=1.5x 6, y=3, 1.5x 6=3x=6,所以点P的坐标为(6, 3);(4) 存在；(3, 3) ( 5, 3) ( 1, 3)点评：本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算以及平行四边形的性质等等有关知识，有一定的综合性，难度中等偏上.26. 如图，直线y±x+6与x轴、y轴分别相交于点E、

18、F,点A的坐标为(-6,40), P (x, y)是直线y二卫x+6上一个动点.4(1) 在点P运动过程中，试写出厶OPA的面积s与x的函数关系式；(2) 当P运动到什么位置， OPA的面积为單，求出此时点P的坐标；O(3) 过P作EF的垂线分别交x轴、y轴于C D.是否存在这样的点 P,使FOE若存在，直接写出此时点P的坐标(不要求写解答过程)；若不存在，请说明理由.考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；全等三角形的判定。专题：计算题；动点型。分析：(1)求出P的坐标，当P在第一、二象限时，根据三角形的面积公式求 出面积即可；当P在第三象限时，根据

19、三角形的面积公式求出解析式即可；(2)把s的值代入解析式，求出即可;(3) 根据全等求出OG 0D的值，如图所示，求出 C、D的坐标，设直线 CD的解析式是y=kx+b，把C (- 6, 0), D (0,- 8)代入，求出直线CD的解析式， 再求出直线CD和直线yJx+6的交点坐标即可；如图所示，求出C D的坐标，4求出直线CD的解析式，再求出直线 CD和直线ydx+6的交点坐标即可.4解答：解：(1)v P ( x，y)代入y二上x+6得：y=x+6，44 P (x,上x+6)，4当P在第一、二象限时， OPA的面积是s=OA< y二二X | - 6| x(上x+6) x+18224

20、4(x>- 8)当P在第三象限时， OPA的面积是s=_OAX (- y)二-! x - 18 (x v-8)24答:在点P运动过程中， OPA的面积s与x的函数关系式是s=+18 (x>- 8)4或 s= -x-18( x v-8).解得：x= - 6.5或x= - 6 (舍去)，x=- 6.5 时，y斗，OP点的坐标是(-6.5，丄).(3)解：假设存在P点,25，25，)如图所示：P的坐标是(P的坐标是嗟，爍25存在P点，使 COEA FOE P的坐标是(-168I)或(经2416825'云)点评：本题综合考查了三角形的面积，解二元一次方程组，全等三角形的性质 和判定

21、，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，此题综合性比较强，用 的数学思想是分类讨论思想和数形结合思想，难度较大，对学生有较高的要求.27. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点 A 与y轴交于点B,与直线OC y=x交于点C.(1)若直线AB解析式为y= - 2X+12，求点C的坐标； 求AOAC的面积.（2）如图，作/ AOC的平分线ON若AB丄ON垂足为E,AOAC的面积为6,且OA=4 P、Q分别为线段OA OE上的动点，连接 AQ与PQ试探索AQ+PQ是否 存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.考点：一次函数综合题。专题：综合题；数形结合。分析：（1）联立

22、两个函数式，求解即可得出交点坐标，即为点C的坐标.欲求 OAC的面积，结合图形，可知，只要得出点 A和点C的坐标即可，点C 的坐标已知，利用函数关系式即可求得点A的坐标，代入面积公式即可.（2）在OC上取点 M使OM=OJ连接MQ易证MOQ可推出AQ+PQ二AQ+MQ若想使得AQ+PQ存在最小值，即使得 A、Q M三点共线，又AB丄OP可得/ AEOH CEO 即证 AEO CEO（ ASA），又 OC=OA=4 禾用厶 OAC 的面积为 6，即可得出AM=3 AQ+PQ存在最小值，最小值为 3.解答：解：（1）由题意，尸加（2分）I尸鼻.解得"刊所以C （4, 4） （3分）把y=

23、0代入y二-2x+12得，x=6，所以A点坐标为（6, 0），（4分）所以S皿爭6*4二（6分）（2）存在；由题意，在 OC上截取OM=O,连接MQv OP平分/ AOC/ AOQH COQ又 OQ=OQ POQRA MOQ SAS, （7 分）PQ=M,QAQ+PQ=AQ+jMQ当A、Q M在同一直线上，且 AMLOC时，AQ+M最小.即AQ+PQ存在最小值. AB丄 OP 所以/ AEOHCEO AEOA CEO( ASA , OC=OA=4 OAC的面积为 6,所以 AM=2<6-4=3, AQ+PQ?在最小值，最小值为 3. (9分)点评：本题主要考查一次函数的综合应用，具有一定

24、的综合性，要求学生具备一定的数学解题能力，有一定难度.29.如图，在平面直角坐标系 xoy中，直线AP交x轴于点P ( p，0)，交y轴于点 A (0， a)，且 a、b 满足_ i. 11 1 '-.(1) 求直线AP的解析式；(2) 如图1,点P关于y轴的对称点为 Q, R(0，2)，点S在直线AQ上,且SR=SA求直线RS的解析式和点S的坐标；(3) 如图2,点B (- 2, b)为直线AP上一点，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC点C在第一象限，D为线段OP上一动点，连接DC以DC为直角边，点D为直角顶点作等腰三角形 DCE EFLx轴，F为垂足，下列结论：2DP+EF的 值不

25、变；丄一厂的值不变；其中只有一个结论正确，请你选择出正确的结论， 并求出其定值. 考点：一次函数综合题；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根;待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；关于 x轴、y轴对称的点的 坐标。专题：代数几何综合题；动点型。分析：（1）根据非负数的性质列式求出 a、p的值，从而得到点 A P的坐标， 然后利用待定系数法求直线的解析式；（2） 根据关于y轴的点的对称求出点 Q的坐标，再利用待定系数法求出直线 AQ 的解析式，设出点S的坐标，然后利用两点间的距离公式列式进行计算即可求出点S的坐标，再利用待定系数法求解直线RS的解析式；（3）根据点B的横坐标为-

26、2,可知点P为AB的中点，然后求出点B得到坐标，连接PC过点C作CGLx轴于点G,利用角角边证明厶APO与厶PCG全等，根据 全等三角形对应边相等可得 PG=AO CG=PO再根据 DCE是等腰直角三角形， 利用角角边证明厶CDG与 EDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DG=EF然后用EF表示出DP的长度，然后代入两个结论进行计算即可找出正确的结论 并得到定值.解答：解：（1）根据题意得，a+3=0, p+1=0，解得 a二-3，p二-1，点 A、P 的坐标分别为 A （ 0，- 3）、P （- 1，0），设直线AP的解析式为y=mx+n,则n，° - irrl-n=0解得严n=

27、 _ J直线AP的解析式为 y - 3x - 3;(2)根据题意，点Q的坐标为(1, 0),设直线AQ的解析式为y=kx+c ,则鳥,解得t=3直线AQ的解析式为y=3x - 3,设点S的坐标为(x, 3x - 3),则 SR=：-:, j 2 上”:< 二SA=彳 ；：-1 =， <',SR=SA：，:'=.j :. ', 解得x二上,6 3x 3=3X 丄3=,6 2点S的坐标为S (上，-_),6 2设直线RS的解析式为y=ex+f ,rf=2则e+f=-.i2解得If=2e=直线RS的解析式为y= - 3x+2;(3) v点 B (- 2, b),点

28、P为AB的中点， 连接PC过点C作CGLx轴于点G, ABC是等腰直角三角形,PC二PA=AB, PCL AP,2/ CPG£APO=90，/ APO£ PAO=90 ,/ CPG= PAOZCPG=ZPAO ZAOP=ZPGC=90"PC=AP APOA PCG( AAS ,.PG=AO=3 CG=PO DCE是等腰直角三角形,.CD=DE / CDG£ EDF=90 ,又 EFix 轴，/ DEF/ EDF=90 ,/ CDG/DEFf ZCDG=ZD£F在厶 CDG与 EDF 中， ZEFD=ZC(D=90Cr(CD=DE CDGEDF(

29、 AAS , .DG=EF.DP=PG DG=3- EF , 2DP+EF=2( 3 - EF) +EF=6- EF,.2DP+EF的值随点P的变化而变化,不是定值, 订F=、一2DP 2 (3-EF)2 '二的值与点D的变化无关，是定值丄.点评： 本题综合考查了一次函数的问题，待定系数法求直线解析式，非负数的 性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及关于 y 轴对称 的点的坐标的特点，综合性较强，难度较大，需仔细分析找准问题的突破口30.如图，已知直线li: y= - x+2与直线丨2： y=2x+8相交于点F, I 1、l2分别交 x轴于点E、G,矩形ABCD顶点C

30、、D分别在直线I i、12,顶点A B都在x轴上， 且点B与点G重合.(1) 求点F的坐标和/ GEF的度数；(2) 求矩形 ABCD勺边DC与BC的长；(3) 若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为t (0<t <6)秒，矩形 ABCDAGEF重叠部分的面积为s，求s 关于 t 的函数关系式，并写出相应的 t 的取值范围.考点 ：一次函数综合题。专题 ：数形结合；分类讨论。分析：(1)由于直线I i: y=- x+2与直线丨2: y=2x+8相交于点F,因而联立两解 析式组成方程组求得解即为 F点的坐标.过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M, 通过坐标值间的关系证得 ME二MF=,从而得到厶MEF是等腰直角三角形，/ GEF=45 ;(2) 首先求得B (或G)点的坐标、再依次求得点 C、D、A的坐标.并进而得 至U DC与 BC的长；(3) 首先将动点A、B用时间t来表示.再就在运动到t秒，若BC边与丨2相 交设交点为N, AD与丨1相交设交点为 K在运动到t秒，若BC边与l 1相交设交点为N, AD与I i相交设交点为K;在运动到t秒，若BC边与I i相交设交点为N, AD与