中考数学几何模型第12讲主从联动模型(解析版)

1、名师点睛当轨迹为直线时hN M中考数学几何模型12 :主从联动模型?思考工如图，P是直线8C上一动点，连接AP,取AP中点。，当点尸在BC上运动时, 。点轨迹是？A揭秘：将点P看成主动点，点Q看成从动点，当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线. 可以这样理解：分别过A、。向8C作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ, 所以QN始终为AM的一半，即。点到BC的距离是定值，故。点轨迹是一条直线，且Q点运动 路径长为P点运动路径长的一半.思考2如图，点C为定点，点P、Q为动点，CP=CQ,且NPCQ为定值，当点P在直线 AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.揭秘：当。尸与。夹角固定，

2、且AP=A。时，P、。轨迹是同一种图形，且PPi=QQi. 可以这样理解：易知CPPg/CPPi,则NCPPi=CQQi,故可知Q点轨迹为一条直线.?思考3如图，点C为定点，点P是直线AB上的一动点，以CP为斜边作RLCPQ,且 NP=30° ,当点P在直线AB上运动，请探究点Q的运动轨迹.-3-揭秘：条件CP LjC。火用固定时，P、。物迹是同一种佟I形，“有马=二.可以这样理解：由CPQs/kCPiQi，易得ACPP乌CPPi，则NCPPlCQQi，故可知Q点轨迹为 一条直线.总结条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量：彳段'主动点、从动点到定点的距离之比是定量.爆好

3、结论：主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形：主动点路径做在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角 当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长:当主动点、从动点到定点的距离不相等时,从动点运动路径_从动点到定点距离主动点运动路径一主动点到定点距离典题探究 启迪思维探究重点例题L如图，在等边A8C中，A8=10, BD=4, BE=2,点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD,以 PD为边,在尸。的右侧按如图所示的方式作等边QPF,当点尸从点上运动到点儿时，点F运动的路径 长是.【分析】根据0产户是等边三角形，所以可知尸点运动路径长与P点相同，P从七点运动到A点路径

4、长为 8,故此题答案为8.变式练习>>>1 .如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0）,点8是），轴正半轴上一动点，以AB为边在A8的下 方作等边aABP,点3在），轴上运动时，求OP的最小值.【分析】求OP最小值需先作出P点轨迹，根据ABP是等边三角形且8点在直线上运动，故可 知尸点轨迹也是直线.取两特殊时刻：（1）当点8与点。重合时，作出P点位置P1： （2）当 点8在x轴上方且与x轴夹角为60。时，作出P点位置尸2.连接P1P2,即为P点轨迹.根据NA8P=60。可知：<8勺），轴夹角为60。，作0户，勺鸟，所得OP长度即为最小值，OP2=OA=3.3 所以OP

5、=.2例题2.如图，正方形ABC。的边长为4, E为BC上一点、,且BE=L F为A3边上的一个动点，连接七人 以所为边向右侧作等边EFG,连接CG,则CG的最小值为.【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将F点看成是由点8向点A运动，由此作出G点轨迹：考虑到广点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点在。位置，最终G点在灯位置（&不一定在CO边），即为G点运动轨迹.CG最小值即当CG± Gfi2的时候取到，作CH± Gfi2于点H, 即为所求的最小值.根据模型可知：GQjjAB夹用为60。,

6、故GQzLEG.过点工作E£LCH于点F,则 F=&E = 1,CF=1CE = -,所以C”=*,因此CG的最小值为二.2 222变式练习>>>2. （2017秋江汉区校级月考）如图，ABC是边长为6的等边三角形，点E在A5上，点。为8c的中 点，EDW为等边三角形.若点E从点8运动到点A,则M点所经历的路径长为-6.【解答】解：当点E在8时，M在A8的中点N处，当点E与A重合时，M的位置如图所示, 所以点E从点B运动到点A,则M点所经历的路径为财N的长，:ABC是等边三角形，。是8c的中点，：.ADLBC, NBAD=30°,:.AD=q02_

7、3 2=3a/§,EDM是等边三角形， ：.AM=AD=3 ND4M=60。, /. N/V4M=300+60。=90。，AN=Lb=3,2在Ria NAM中，由勾股定理得：MN=小卜/十AM 2=J3 22=6,则M点所经历的路径长为6, 故答案为：6.例题3.如图，已知点A是第一象限内横坐标为2/的一个定点，AC_Lx轴于点M,交直线k-九于点N,若点尸是线段ON上的一个动点，NAP8=30。，BA1.PA,则点尸在线段ON上运动时，A 点不变，B点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点5运动的路径长是.【分析】根据/办8=90。，乙4尸8=30。可得：AP:AB=6：1,故3

8、点凯迹也是线段，且P点轨迹路径长与8点轨迹路径长之比也为遥:1 . P点轨迹长ON为2#,故8点轨迹长为2。.变式练习>3. (2019东台市模拟)如图，平而直角坐标系中，点A (0, -2) , 8 ( - 1, 0) , C ( - 5, 0),点。 从点B出发，沿x轴负方向运动到点G E为AD上方一点、,若在运动过程中始终保持4EOaAOB,则点七运动的路径长为电5.【解答】解：如图，连接。£V ZAED=ZAOD=90%.A, O, E,。四点共圆，NEOC=NE4O=定值， 点七在射线OE上运动，NEOC是定值. tan ZEOD=tan NOAB =>2 可以

9、假设E ( - 2m9 m) >当点。与C重合时，AC=，52+2 2=V，；AE=2EC,. £C=2/29=V145一 V5 5，/. ( -2ak+5)5解得利二!或毕(舍弃)，55 r / 16 8 .e.E (，一),5 5点E的运动轨迹=OE的长=%度,55-故答案为号店.5名师点睛当轨迹为弧线时思考1如图，P是圆0上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点. 当点尸在圆。上运动时，。点轨迹是？揭秘：。点轨迹是一个圆，考虑到。点始终为AP中点，连接A。，取AO中点M,则M点即为。点轨 迹圆圆心，半径M0是0P一半，任意时刻，均有AMQsZkAOP, = = 1.P

10、O AP 2，J'结：确定。点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、0、P始终共线可得：A、M、。三点共线,由。为AP中点可得：AM=/2AO.。点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系:根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.99Q 思考2 ：如图，P是圆。上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ_LAP且AQ=AP.当点P在圆。上运动时，。点轨迹是?揭秘：。点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90。得AQ,故。点轨迹与P点轨迹都是圆.接 下来确定圆心与半径.考虑AP_LA。，可得。点轨迹圆圆心M满足AM_LA。；考虑AP=A。，可得。

11、点轨 迹圆圆心M满足AM=A。，且可得半径M2=P。.即可确定圆M位置，任意时刻均有 APO0A4QM.-25-999 思考3 ：如图，AP。是直角三角形，/%。=90。，且AP=2A。, 当P在圆。运动时，。点轨迹是？揭秘：考虑A/LAQ,可得。点轨迹圆圆心M满足AM_LA。：考虑AP： AQ=2： 1,可得。点轨迹圆圆 心用满足AO： AM=2： 1.即可确定圆M位置，任意时刻均有 APOs/VlQW,且相似比为2.推理：（1）如图，P是圆。上一个动点，月为定点，连接AP，以A尸为一边作等边APQ. 当点P在圆0上运动时，。点轨迹是和圆。全等的一个圆.（2）如图，P是圆。上一个动点，A为定

12、点，连接AP,以A尸为斜边作等腰直角aAP。.当点尸在圆。上运动时，。点轨迹为按AP： AQ=AOz1的比例缩放的一个圆.总结：为了便于区分动点P、。，可称点尸为“主动点”，点。为“从动点” .此类问题的必要条件：两个定量，即：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NP4Q是定值）：主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP： A0是定值）.结论：（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：NP40=NOAM：（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点距离之比：AP： AQ=AO： AM,也等于两圆半径之比, 也等于两动点运动轨迹长之比，按以上两点即可确定从动点轨迹圆，。

13、与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.启迪思维探究重点典题探究例题4.如图，点尸(3, 4),圆P半径为2, A (2.8, 0) , B (5.6, 0),点M是圆P上的动点，点C是M8的中点，则AC的最小值是.2【解答】号：如朝，在捺。交?于M'.&HOM .【分析】M点为主动点，。点为从动点，8点为定点.考虑。是8M中点，可知。点轨迹：取3P中点O, 以。为圆心，OC为半径作圆，即为点C轨迹.当A、C、O三点共线且点。在线段04上时，AC取到最 小值,根据8、尸坐标求O,利用两点间距离公式求得。4,再减去OC

14、即可.答案为巳变式练习>>>4. 如图，在等腰RbABC中，AC=BC=2y/2,点P在以斜边A3为直径的半圆上，M为尸。的中点，当点P从点A运动至点8时，点M运动的路径长为.【分析】考虑。、M、尸共线及M是。尸中点，可确定M点轨迹：取A8中点0,连接CO取C0中点 以。为圆心，DM为半径作圆O分别交AC、BC于E、F两点，则弧E尸即为时点轨迹.当然，若能理解 M点点区迹美系,可直接得到M点的轨迹长为P点轨迹1< 、上，即可解决问他.答案为2%例题，如图，正方形ABC。中，A8 = 2/，。是BC边的中点，点上是正方形内一动点，0E=2, 连接OE,将线段OE绕点。逆时

15、针旋转90。得。F,连接AE、CF.求线段。厂长的最小值.【分析】E是主动点，尸是从动点，。是定点，E点满足EO=2,故E点轨迹是以。为圆心，2为 半径的圆.DEA.DF DE=DF,故作DM，。且DM=OO,F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆.直接连接。W，与圆M交点即为尸点，此时OF最小.可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股 定理求得OM，即可得到。尸的最小值.答案为5万2变式练习>>>5. A8C中，AB=4, AC=2,以8c为边在 ABC外作正方形5cOE, BD、CE交于点。，则线段AO的最 大值为.【分析】考虑到A3、AC均为定值，可以固定其中一个，比如固定A

16、8,将AC看成动线段，由此 引发正方形8CED的变化，求得线段AO的最大值.根据AC=2,可得。点轨迹是以点儿为圆心， 2为半径的圆.接下来题目求A。的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察BOC是等腰直角三 角形，锐角顶点。的轨迹是以点A为圆心，2为半径的圆，所以O点轨迹也是圆，以为斜边 构造等腰直角三角形，直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.连接AM并延长与圆M交点即为所求的 点0,此时A。最大，根据AB先求AM,再根据5c与80的比值可得圆M的半径与圆A半径的 比值，得到MO,相加即得AO.答案为3&,本题或者宜接利用托勒丁 也可得最大值.名师点睛当轨迹为其他种类时根据刚才我们的探究，所谓

17、“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从 动点与定点连线形成的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是 其他图形时，从动点轨迹必然也是.启迪思维探究重点典题探究7例题6.如图，在反比例函数），=-*的图像上有一个动点A,连接A0并延长交图像的另一支于点 xB,在第一象限内有一点C,满足AC=8C,当点A运动时，点C始终在函数y =勺的图像上运动， x若叱C48=2,则女的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【分析】NAOC=90。且AO： OC=1： 2,显然点。的轨迹也是一条双曲线，分别作AM、CN垂直x 轴，垂足分别为 M、N,连

18、接 OC,易证 XMOsonC, ：CNROM, ON=2AM. ：.ONCN=4AM OM, 故&=4x2=8.【思考】若将条件“5/。3=2”改为飞48（7是等边三角形”，k会是多少？变式练习>>>6. （2017深圳模拟）如图，反比例函数,、，=卷的图象上有一动点4连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=8C,当点A运动时，点C始终在函数产区的图象上运动"anNCAB x=2,则关于x的方程r-5x+k=0的解为-1, .口一6.【解答】解：连接0C,过点A作AE_Ly轴于点E,由直线AB与反比例函数）=旨的对称性可知A、

19、又AC=3C, ：.CO±AB.V ZAOE+ZAOF=90 NAOF+NCOF=90。，NAOE=NCOF,又NAEO=90c, ZCro=90%: AOEsXCOF,，胆=殴=坦，CF OF COVtanZCAB=2, ；.CF=2AE, OF=2OE.0x又AEOE=旦，CFS=l/d, ：.k=±6.2.,点C在第二象限，.“=-6,二关于x的方程x2 - 5x+k=0可化为x2 - 5x- 6=0,过点C作CFJ_y轴于点F,如图所示, 8点关于。点对称，AO=3O.解得 Xl= - 1, X2 = 6.故答案为：Xl= - 1, X2 = 6.例题7.如图，A

20、(-1,1) , 8 (-1,4) , C (-5,4)，点尸是 ABC边上一动点，连接。尸，以。尸为 斜边在OP的右上方作等腰直角。尸Q,当点尸在ABC边上运动一周时，点。的轨迹形成的封 闭图形而积为.【分析】根据aOP。是等腰直角三角形可得：。点运动轨迹与P点轨迹形状相同，根据。尸:0。=应:1,可得P点轨迹图形。0点轨迹图形相似比为点:1,故面积比为2:1, aABC面枳为172x3x4=6,故Q点轨迹形成的封闭图形而积为3.【小结】根据瓜豆原理，类似这种求从动点轨迹长或者轨迹图形而积，根据主动点轨迹推导即可, 甚至无需作图.变式练习>7. （2017春工业园区期末）如图， ABC

21、的而积为9,点P在的边上运动.作点尸关于原点。的 对称点。，再以P。为边作等边 PQM.当点P在 A8C的边上运动一周时，点M随之运动所形成的图C. 27D.【解答】解：如图， 点尸从点A出发，沿的边从A-B-C-A运动一周，且点。关于原点O与点尸对称. 点。随点尸运动所形成的图形是 ABC关于O的中心对称图形，以P0为边作等边P0M,时点对应的A, B, C的点分别为Me 点是等边三角形，:MQ=0OB, 同理 m（o=43oc9.坨=型=6，BO CO / NCO8+/3OM, =90。，计 N8OM,=90。:/COB=/MQMb,：.AMdACOB,同理，MnM=V34C>MaM

22、bMcsAABC, KMM 的面积=9x（V3）27,即点M随点P运动所形成的图形的面积为27.故选：C.E B例题8.如图所示，AB=4, AC=2,以BC为底边向上构造等腰直角三角形BCD,连接A。并延长 至点尸，使AO=P。，则P8的取值范围为.A. 572【解答】解:C. 213如图，连接。，以。为边向下作等边。从【分析】固定A8不变，AC=2,则C点轨迹是以A为圆心，2为半径的圆，以8c为斜边作等腰直角三角形BCD,则。点轨迹是以点时为圆心、点为半径的网考虑到AP="。，故P点轨迹是以N为圆心，2为半径的圆，即可求出的取值范惘.答案为4-2点尸8<4 + 2点变式练习

23、»8. (2018秋新吴区期末)如图已知：正方形OCA8, A (2, 2) , Q (5, 7) , A8_Ly轴，AC_Lx轴，OA, BC交于点、P,若正方形0cA8以。为位似中心在第一象限内放大，点尸随正方形一起运动，当尸。达 到最小值时停止运动.以PQ的长为边长，向尸Q的右侧作等边 P0Q，求在这个位似变化过程中，D 点运动的路径长()连接。作Q£LLQ4交OA的延长线于£ .OQH, 尸都是等边三角形，:，QO=QH, QP=QD, NOQH=NPQD=60。, ；/OQP=/HQD,OQPgAHQD (SAS),：OP=DH,.点D的运动路径的长=点

24、P的运动路径的长， ,直线 QA 的解析式为y=x, Q (5, 7) , QELOA.，直线EQ使得解析式为y=-x+12,由（kx,解得，石通，6）,uy=-x+12 y=6VP （L 1） , :.PE=5后,根据垂线段最短可知，当点尸与点E重合时，尸。的长最短， 点P的运动路径的长为5«， 点D的运动路径的长为5®,故选：A.例题9.（2019秋厮口区期中）如图，一副含30。和45。角的三角板ABC和EDF拼合在一个平面上，边AC 与七厂重合，BC=4m.当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点尸同时从点。出发沿射线方向 滑动，当点上从点A滑动到点C时，点。运动的路径长

25、为 （24 726）7，ZA = 30°, ZDEF=45°,：.AC=f3BC=2cm, AB=2BC=3im, ED = DF-退AC=,2当点E沿AC方向下滑时，得 EDF,过点。作OTVLAC于点M作于点M,如图所示:A Z;WDW=90°,且 尸=90。，NED'N=NFD'M.4，D' N=5 D' H在£)'*和DMF1 中，ZDy NE' =ZDy MF' =90" .Ey D' =D" F，DWE-DMF (AAS), ：.DN=DM,且 O'A

26、LLAC. DW±GW,，CD 平分/ACM,即点七沿AC方向下滑时，点。在射线。上移动，二当EDD时,。值最大，最大值=血£。- CD= （12 - 6>/2）叫. "EE从点4滑动到点C时，点O运动的路径长=2x （12-6V2）=（24- 12>/2）即 故答案为：（24- 126）.变式练习>>>9. （2018金华模拟）如图，R3ABC中,9c=4, 9c=8, RS ABC的斜边在x轴的正半轴上1点A与原点重合，随着顶点A由。点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点5也沿着x轴向点O滑动，直到与点。 重分时运动结束.在这个运动过程

27、中.（1） A8中点P经过的路径长_运.（2）点。运动的路径长是码5-12图3【解答】解：（1）如图1, V ZA0B=9Q尸为AB的中点，0P=工B,2AB=W0，。尸=24£，AB中点产运动的轨迹是以。为圆心，以op为半价的可弧,4即AB中点P经过的路径长=42x2肩=诋兀：4（2）当A从。到现在的点A处时，如图2,此时CA_Ly轴， 点。运动的路径长是CC的长，AC=0C=8.: AC "OB, 工/ACOSB,：.cosZACO=cosZCOB=1,，-4=>=, OB 0Cy W5 0Cy，OC=4遮 ACC=4V5- 8：当A再继续向上移动，直到点8与。重

28、合时，如图3,此时点C运动的路径是从C到C，长是CC, CC=0C-BC=m-4, 上所述，点C运动的路径长是：475-8+475-4=875- 12：故答案为：（1）心： （2） 85/5- 12.达标检测 领悟提升强化落实1. （2018秋黄冈期中）在 ABC中，N84C=90。，A5=AC=2c】，线段BC上一动点尸从C点开始运动,到8点停止，以AP为边在AC的右侧作等边 ”Q,则。点运动的路径为【解答】解：如图，。点运动的路径为。的长,:丛CQ和仆AB。，是等边三角形，NCA0=N3AQ'=6O。，AQ=AC=AQ,=2cm,VZBAC=90°,，/。4。'=

29、90。，由勾股定理得：QQ，=dKq2+aq '_+2 2=2a/.。点运动的路径为26(方：故答案为：272.2 .如图，在矩形A8CQ中，AB=49 NOCA = 30。，点尸是对角线AC上的一个动点，连接。F,以DF为斜边作NO正=30。的直角三角形OEE,使点E和点A位于。尸两侧，点厂从点A到点。的运动过程中, 点七的运动路径长是我.NAO£=6(T,在 RtaAOE中，AD=, NOA£=30。, 3，。£=2/1_, ZCDF=30°, 3当F与。重合时，Z£DC= 60%A ZEDF=90°, ZDEF=30&#

30、176;,在中，EE=&S；故答案为2迤.333 . (2019铜山区二模)如图，已知点M (0, 4) , N (4, 0),开始时，ABC的三个顶点A、B、C分 别与点M、N、。重合，点A在y轴上从点时开始向点O滑动，到达点。结束运动，同时点8沿着x 轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长4.【解答】解：过点C作CO_Lr轴，CE_L)，轴二点 M (0, 4) , N (4, 0),：OM=ON,丁 NCA'C+45o=NE48+NA，GB=45°+NMGB,：.ZEAC=ZB,GB.丁 NB，GB+NGB，B=45。, NGBB+NDBC=45。,，N

31、E4C=NO 9 C,又A'C=BC,ARtA AVERtA BCD (HL),：.EC=DC.C在第四象限的角平分线上，.C的运动轨迹是线段AC,工。的运动路径长为4； 故答案为4：动过程中，点M的运动路径长是_返.3. （2018宝应县三模）在RSA8C中，ZC=90°, AC=2 BC=2,若P是以A8为直径所作半圆上 由A沿着半圆向8运动的一点，连接CP,过户向下作PA/J_CP,且有PM=0.5CP,如图示，求点P运【解答】解：如图，丁点P的运动轨迹是半圆标，PMA.CP,且有PM=0.5CP,可见点M的运动轨迹是半圆而.当PC是直径时，CM也是而的直径，PC=AB

32、=4 时，PM=2, ：.CM=22+42=2的长=兀诋:煦， 故答案为代4. 如图，已知线段AB=8,。为A5的中点，P是平面内的一个动点，在运动过程中保持。尸=2不变，连 结BP,将PB绕点P逆时针旋转90。到PC,连结BC、AC,则线段AC长的最大值是，叵_.【解答】答案为：6x/25. （2017江阴市二模）如图，线段A8为。O的直径，点C在48的延长线上，AB=4. 8c=2,点尸是 。上一动点，连接CP，以。尸为斜边在PC的上方作Rt2 PC。，且使NOC尸=60。，连接。，则。长的最大值为，退也【解答】解：如图，作COE,使得NCEO=90。，NECO=60。, 贝|JCO=2C

33、E, OE=2病,ZOCP=ZECD,VZCDP=90°, NOCP=60。，：.CP=2CD.，四=空=2, : COPsfED, /.PL=£L=2,即 EO=Zp=1 （定长），CE CDED CD2:点E是定点,DE是定长，点。在半径为1的。E上，；ODsOE+DE=2®, ：.OD 的最大值为 2芯+1,故答案为2«+L连接PQ，6. （2018建湖县一模）如图，在平面直角坐标系中，A （4, 0） . B （0, -3）,以点8为圆心、2为半 径的。8上有一动点P.连接AP,若点。为AP的中点，连接。C,则OC的最小值为L5.丁。是从产的中点

34、，。是A。的中点，：,OC是 AP。的中位线，：.OC=PD,2连接BD交。8于E,0。=4, 08=3,30=5,当点P与点E重合时，P。最小为5-2=3,故0C的最小值为1.5：解法二：当点P运动到A3的延长线上时，即如图中点。是APi的中点, 当点P在线段A8上时，C?是中点，取GC2的中点为0,点。的运动路径是以。为圆心，以OG为半径的圆，当0、C、。共线时，0C的长最小,设线段A8交。8于。，RtZkAOB 中，。4=4, 0B=3,.,08的半径为2：.BP=2, AP =5+2=7, 。是AP的中点，AG=3.5, AQ=5-2=3,是AQ的中点，：.AC2=C2Q=1.5,Ci

35、C2=3.5 - 1.5=2,即。的半径为 1, * AD = 1.5+1 =2.5 =AB,2 0。=工 B=2.5,2，OC=2.5- 1 = 1.5,故答案为：157. （2016江岸区校级模拟）如图，线段AB=2, C是A3上一动点，以AC、8c为边在A8同侧作正 ACE、正 BCF,连EG点尸为EE的中点.当点C从A运动到8时，P点运动路径长为1【解答】解：如图，分别延长AE、BF交于点、H.V ZA = ZFCB=60q9 ：.AH/CF,9： ZB=ZECA=60 ：.CE/BH.四边形ECFH为平行四边形，与C互相平分.尸为C的中点，P正好为EE中点，即在P的运动过程中，P始终为C的中点, 所以P的运行轨迹为三角形HAB的中位线MN.AB = 2, .MN=1,即尸的移动路径长为1,故答案为：18. （2019秋江岸区校级月考）如图，正aABC中，AB=2, AO_L8C于D, P,。分别是月8, BC上的动 点，且PQ=A。，点M在尸。的右上方且PM=QM, /M=