专题04平面向量的应用(一)正弦定理和余弦定理(知识精讲)(解析版)

1、2020-2021学年高一数学同步讲练测(人教A版2019必修第二册)12 I 13专题04平面向量的应用()正弦定理和余弦定理本节知识点与题型快速预览氽弦定理正余弦定PE次台正弦定理本节重要知识点利用余弦定理解:角形利用正弦定理解：角形利用E余弦定理尔现边角互化典型例题与解期方法判定三角形的形状正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用平面向量的应用(一)正弦定理和余弦定理知识点课前预习与精讲精析杖心知识点1:正弦定理:1 .回顾学过的三角形知识填空(1)任意三角形的内角和为180。：三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且大边对大 角，小边对小角.(2)直角三角形的三边长

2、6;、b、c(斜边)满足勾股定理，即病+=不.2 .正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即仁=旦=磊.siiLi sui2> smC3 .由正弦定理导出的结论(1) ： b : c=smJ : siiiff : sinC.由等比性质和圆的性质可知，忌=益=志=金今舞氤=2丘其中，氏为乂5c外接圆的半径.(3)4 v80v60siil4 Vsm5.4 .解三角形(1)一般地，把三角形三个角£ B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫做解三角形.(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？已知任意两角与一边，求其他两边

3、和一角.已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等 吗？下图中，JC=.W： AABC与的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数 的值域判断解的个数.在八姐。中，已知和X,以点。为圆心，以边长。为半径画弧，此弧与除去顶点,4的射线.43的公 共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角,4为直角工为锐角a>b一解一解一解a = b无解无解一解a<b无解无解>

4、dsiii4两解4 = bsinJ一解KbsinJ无解己知白、b、A, AJ3C解的情况如下图示.(i M为钝角或直角时解的情况如下：(ii以为锐角时，解的情况如下:° Mb时.有一解bsiiiA <n vb时，右两墙a=6sin/l 时.有一解avbsin/4时工解核心知识点2:余弦定理:1 .余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的 余弦的积的两倍符号语言在ASC中，a2=b2+c2- 26ccosJ b2=c2a2 - 2cacosB,c2=a2-b2-labcosC推论在4SC中，b2-1-c2-a2c2-c2b2coszl-

5、 26c，cosB- 2aea2b2c2cosC- 2ab2 .利用余弦定理及其推论解三角形的类型(1)已知三角形的三条边求三个角：(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角.3 .余弦定理和勾股定理的关系在人"。中，由余弦定理得/二+拄-2abeosC,若角C=90。,则cosC=0,于是这说明勾 股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.设c是中最大的边(或C是AABC中最大的角)，则5c是钝角三角形，且角。为钝角：东+乂二今人"。是直角三角形，且角C为直角：/+按5c是锐角三角形，且角C为锐角.权心知识点3:正余弦定理球合1 .正弦定理的数学表达式为急=备=

6、恚 (2)余弦定理的数学表达式为 02 =按+/ 26ccoT、b2=a2+c2laccosBc2=tz2+62 2abcosC.2 .应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形.(2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形.3 .应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的两边及其夹角，解三角形.(2)已知三角形的三边，解三角形.4 .三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的而积S=$6sinC=；acsiiiB.【解析】解：由余弦定理可得，= 49+ 64 2 X 7 X 8 X捻=9.所以c=3.所以cosB=49+9-64 _

7、1-2x3x7"" -7故答案为:-y.2.在 A15C 中，已知=遍+«, 6=26，c= V6 - V2,那么 3=【解析】解：*.*。= x/6 + x/2t b=2技 c=V5-夜，n_ a2+c2-b2 _ (v,6+)2+G6-；2)2-(2vl)2 _ 1,22(v16+v2)(v6-；2) 天:BW (0, it),(1)若,4=45° , C=30° , c=5,贝ij=(2)若,4 = 75° , 8=45° , c=10根，贝ij b=【解析】解：由正弦定理得矣z=肃,sin4505sin 300b c

8、由正弦定理得，-=> sinB sinCb !Gf3.：.=，解得 b= 10/2.s “ 2450sfn60°故答案为：Sj2t 10/2.4 .在中，内角乂，B,。所对的边分别为a, b, c,若cos2B+co/=l-co£4cosC则角8的取值范【解析】解：cos2B+cos5= 1 - cosJcosC>即为 cosB+co$u4cosC= 1 - cos251即有-cos (A+C) +cos-JcosC= sin"5t -cos-4cosC+siii4smC+cocosC=sin25,即有 sinJsuiC=sin%,由正弦定理可得ac=

9、b2,由余弦定理可得：cosB= 一壤7" 2 笔耳=劲可=力，当且仅当。=c时等号成立,Zac Zac 20 乙由于 （0, it）.可得：Be （0, ".故答案为：（0,5 .在八铝。中，已知,4>3>C ,4=2（7,且a+c=26,求ZUBC的三边之比.【解析】解：:由正弦定理得：-= =2cosCt即cosC=2. c sinC sinCzc.由余弦定理得cosC=Q焉匕=（。+嚼。）+庐, ZabZabVa+c=25,2(qc)+华2a.2b(a-c)+b .法COsC=-2ba2c2(a-c)+等整理得2/-5。什3c2=0,解得a=c （舍去因

10、为X=2C）,又： a+c=2b.b=6： 5.，a： b： c=6： 5： 4六可得三角形的三边之比为：6： 5： 4.典型题型与解题方法强皆强会题型1:利用余弦定理解三角形【典型例题】在包438中，已知H8=6, 4C=V5, NC£5=3(T ,那么JZ>=.【解析】解：,空。中，/铝=6, HC=dJ, NC担=30° ,，根据余弦定理，得：BC1=.1B2-AC1 - 2£B*JCcos450 =36+3 - 2X6x 遍X 9=21, :.BC=四边形XBCD是平行四边形，:.AD=BC= V21.故答案为：V21.【题型强化】在人/。中，若sm

11、J： shiB： smC= 1 ： V5： b则C=【解析】解：VshlJ： smB： smC= 1 ： V2： 1,由正弦定理可得:a： b: c=l： V2： 1 不妨取 a = l，6= c=l. a2+b2-c21+2-1 cosC= x； = = 丁.2ab 2x1x722VCG (0, n),故答案为:一.4【收官验收】已知三角形内角d, B, C的对边分别为a, b, c且满足/-儿=川+/,则4【解析】解：由，加=小小,得：庐+。2 -=- be.由余弦定理得：+- - J = 2brcos£cos-4=又乂为三角形,45c的内角，.X=争.故答案为：3【名师点睛】利

12、用余弦定理解三角形的注意点：1 .已知两边及夹角时，先用余弦定理建立关于第三边的方程，求出第三边.2 .已知三边时，一般先用余弦定理的推论求出最大角的余弦值.3 .已知两边及一边的对角时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理.利用余弦定理是求第三边长，利用正弦定 理是求另一个角，因此根据需要选择即可.注意利用正弦定理求角时，需根据大边对大角进行三角形个数的 判断.强考强会题猊2:利用正弦定理解三角形【典型例题】在中，己知月=45° , 8=60° , b=6,那么。=.a b【解析】解：由4=45° , 3=60° , b=6结合正弦定理可得，,sinA s

13、inB_ 6x4 _ 6v,2 r-a=F=F=2"T故答案为：276【题型强化】在中，若 心="，4C=1, NC=$ 则8C= 【解析】解：设BC=x (x>0),由余弦定理得，/铝Z.wd+BC? - 2AC*BCcos/C,W)AB=p7, JC=b NC= 所以 7=l+2 X 1 X % X cosjt 化简得 F - x - 6=0,解得x=3或x= - 2 (舍去)，即8C=3, 故答案为：3.【收官验收】在A"。中，已知4=1, b=yj2, A=30J ,则8=【解析】解：:在ZU5c中，a=bd = 30。，由正弦定理诉=福得：smB=

14、 则8=45°或1350.故答案为:45°或135°【名师点睛】已知两角和任意一边解三角形的方法：事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时, (1)由三角形内角和定理d-B+C=180。可以计算出三角形的第三个角；(2)由正弦定理上=，一=上可计算出三角形的另两边. sinA sinB sinC已知两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角“看能否判 断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小

15、边 所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角：最后 根据正弦定理求出第三条边.说明：利用正弦定理解三角形本质上是强化对三角形内角和定理及互补的两角的正弦值相等的认识，在用正 弦定理解三角形时，要注意“大边对大角”的运用.强等必行题型3:利用正、余弦定理实现边向互化【典型例题】在中，已知£ B： C=3： 4： 5,那么a： b： c=.【解析】解：由$B： C=3： 4： 5,可得，3=45° , 5 = 60° , C=75° ,那么b： c sin-1 ： siiiB： sinC=v =2f2： 2y/

16、3： (P1 + 6)»故答案为： 2后：石)，a+b【题型强化】在15。中，若sinJ： sin5=2： 3,则一;一=.b【解析】解：在A5C 中，VsiilJ： siiiB=2： 3, a b又；=2R, sinA sinB ° sinA2uh2b 一 = 一，即：。=，b sinB33.a+b _ 丁+匕 _5"iT = b=3*故答案为：3sinAcosBcosC【收官验收】在A"。中，边a，b, c所对角分别为工，B, C,且=-=，则NM = a b c,b csinAcosBcosC【解析】解：在,通。中，由正弦定理可得f又一=-=.si

17、nA sinB sinC a b csinB=cosB t 且 sinC=cosC>故 B=C=g 乂=%故答案为：一. 2【名师点睛】I边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题 转化为三角恒等变换问题，并从角的角度来审视三角形的特征，这在高考的全国卷中比较常见，因此要熟练 掌握边化危的三角形考题的特征，一般来说，当条件中含有特殊数，如百(往往和特殊角有关)或者齐次特征 明显时，常进行边化角处理.对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型：一是 利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换，进而

18、达到减元的目的，也就可以盯着目标进行 三角恒等变换：二是利用正修定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三南恒等变换转化为一 个角的三角函数问题.强者必余题型4:判定三角形的形状【典型例题】在ZU5c中，若等式l+cos2c=cos4+cos2§成立，求证：AABC为直角三角形.【解析】证明：*.* 1 +cos2C= cosl+cos-3, .1 - cos4 = co$25 - cos2a1 - cos4= (cos2B - 1) + (1 - cos2C)>= - sin'5+siirC>/一川=/,故：AzLSC为直角三角形，得证.【题型强化】在Z

19、U5c中，(1)若。的而积为更，c=2, -4=60)，求b, 2(2)若bcsA=acosB,试判断A/C的形状，并证明你的结论. -y/31【解析】解：(1)由已知得=bcsmJ = bsin60 ,22：.b=l.由余弦定理 a2=b2+c2 - 23ccosJ = 3, :*a= l3.(2)为等腰三角形；证明：若 beg*=acosB,则 sniBcoSul = sulicosB , 故 tanJ = tan3.由已知K、8为三角形内角，: A=B .ZU5C为等腰三角形.【收官验收】在ZXJ5c中，已知/-必=(flcosB+5coU) 2试判断此三角形的形状.【解析】解：由正弦定

20、理。2占2= (acosB+bcoD- siirB= ( shl-1cos5+skiScos.-1 ) 一,.sm2J - sin2B=sm2 (A+B),/. sin-J - siir5=siirCt./ -乒=。2,.Az®7为直角三角形.【名师点睛】判断三角形形状的思路：1 .转化为三角形的边来判断：(1)aABC 为直角三角形=a2 = b2 +/或 / = a2 + c?或 / = a2 + b2 :(2)AJBC 为脱角三角形=。2 +62 > c2且/ + c2> /且c2 + a2 > b2;(3) A ABC为钝角三角形Q a2 + b2 <

21、 c?或川+ c2 < /或屋+ a2 < b2 :(4)按等腰或等边三角形的定义判断.2 .转化为角的三角函数(值)来判断：若cos<=0,则<=90, ZU3C为直角三角形；若cosA<Q9 9U-18C为钝角三龟形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosOO 9则aABC为锐角三角形：(4)若 sin?力 + sin2B = sin2C9 则 C=90, A ABC 为直角角形;(5)若 sinA=sinB 或 S7(MB)=O,则 A=Bt aABC 为等腰三角形；(6)若sinU=sin2B,则工=3或4+3=90。，&ABC为等

22、腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余赅定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体 情况决定.强一兴金题鲤5:正、余弦定理与三角恒等交换的球合应用 【典型例题】在中，已知】= 30° , cos5=2sinB-V3smC.(1)求证：ZU5c为等腰三角形；(2)设。为,18。外接圆的直径3E与且。的交点，且乂8=2,求,切：。的值.【解析】（1）证明：VcosB=2sHiB-V3smC> ,4 = 30° ,1 J3 .sinB= 严os8+ -y-sin （,1 .-sinB- 2/.sin（5-60c ） =cos5,：.B=75

23、Q , AC=75° , AJ8C为等腰三角形；(2)解：如图示：过a点作5。的垂线，交BD于O,显然。是外接圆的圆心，04 = OB,则N，BO=NA4O=15° ,故/8。=45° ,结合（1）, AB=2=AC, ZBAC=3Q ,BC2=AB2+AC1 - 2Qcos/AC/.5C2=4+4 - 2X2X2X q=8 - 4技 在3DC 中，ZBDC=45° , NDBC=60° ,BCDC sin£.BDC sinzDBC.BC _ DC运=亘：.DC=毋BC=4/8 -4於=V12-6V3 =3-后，/.W=JC-DC= V3-1,.AD !3-l5/3DC - 3-x/3 - 3【题型强化】设&铝c的内角<，B, C的对边分别为a, b, C,且。cosB=gbsiiL4=5.（I）求边长。的值：（II ）若ZU5c的而积S=30,求的周长.cacosB S【解析】解：（I）在AMC中，由s5=立如但5,可