高等数学绪论

1、1/30主讲：凌巍炜高等数学江西应用技术职业学院 数学教研室 制作一道有意义的计算题！一道有意义的计算题！如果令如果令ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ分别等于百分之分别等于百分之1234567891011121314151617181920212223242526那么那么Hardwork（努力工作）（努力工作）H+A+R+D+W+O+R+K=8+1+18+4+23+15+18+11=98%Knowledge（知识）（知识）K+N+O+W+L+E+D+G+E=11+14+15+23+12+5+4+7+5=96%Love（爱情）（爱情）L+O+V+E=12+15+22+5=54

2、%Luck（好运）（好运）L+U+C+K=12+21+3+11=47%什么能使得生活变得圆满？什么能使得生活变得圆满？是是Money（金钱）吗（金钱）吗?.M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%是是Leadership（领导能力）吗（领导能力）吗?.L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=12+5+1+4+5+18+19+9+16=89%那么，什么能使生活变成那么，什么能使生活变成100%的圆满呢？的圆满呢？ATTITUDE（心态）（心态）A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%3/30（老）教练说：（老）教练说：训练从今天开始，训练场上

3、没有更训练从今天开始，训练场上没有更多的安慰，训练场上不存在风和日丽，多的安慰，训练场上不存在风和日丽，训练场上摔破头皮还要被申斥。训练场上摔破头皮还要被申斥。朋友语：朋友语：既来之则安之；既来之则安之；抱怨解决不了任何问题；抱怨解决不了任何问题；是金子总会发光。是金子总会发光。态度决定一切！态度决定一切！2/30学习要求学习要求1、调整状态，适应新环境、调整状态，适应新环境自由时间多；上课时间长、进度快；自由时间多；上课时间长、进度快；自我管理自我管理2、注意学习方法、注意学习方法预习预习：重点、难点、疑点心中有数，培养自学能力：重点、难点、疑点心中有数，培养自学能力听课听课：积极、主动思考

4、：积极、主动思考记笔记记笔记：重点、疑点、应注意的问题：重点、疑点、应注意的问题4/30复习复习：1）钻进去，找问题；）钻进去，找问题；2）钻出来，理头绪）钻出来，理头绪做作业做作业：“眼过十遍不如手过一遍眼过十遍不如手过一遍”答疑答疑：相互交流的好时机：相互交流的好时机不搞题海战术，要多思考，不搞题海战术，要多思考，领悟精神实质领悟精神实质 犹如犹如练拳与练功练拳与练功总评成绩：总评成绩：平时平时30%考试考试70%（期中（期中30%，期末，期末70%）5/30学习要求学习要求、数学是什么？、数学是什么？蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？蜂巢：由一个个正六边形组成。为什么？因为蜜蜂懂得因为

5、蜜蜂懂得:只有这只有这样才能用最少的建筑样才能用最少的建筑材料营造最大的居住材料营造最大的居住空间。空间。一条柔软的绳子两端固一条柔软的绳子两端固定，使其自然下垂，这定，使其自然下垂，这条绳子形成什么样的曲条绳子形成什么样的曲线？线？为什么？为什么？因为只有这样才能使绳子的总位能最小，因为只有这样才能使绳子的总位能最小，从而使绳子最稳定！从而使绳子最稳定！-1-0.500.511.5-1-0.500.511.522.533.54xyo)(2 axaxeeay )(gha 悬链线悬链线光的传播：光的传播：反射定律：反射定律： 折射定律：折射定律： sinsin21vv 为什么？为什么？因为光懂得

6、因为光懂得:只有这样才能使传播只有这样才能使传播时的用时最少！时的用时最少！数学是什么？数学是什么？（1）上帝是按数学的法则创造世界的，）上帝是按数学的法则创造世界的，数学的规律是宇宙格局的精髓，数学的规律是宇宙格局的精髓，数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙数学是开启宇宙奥妙之门的钥匙。（2）数学是一种语言，是一切科学的共同语言数学是一种语言，是一切科学的共同语言伽利略：伽利略：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在语言写成的大书，如不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。黑暗的迷宫里游荡，什么也看不清。”爱因

7、斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求爱因斯坦在研究广义相对论时遇到了难题，他求助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯助于研究数学的朋友格洛斯曼，后者将黎曼关于弯曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研曲空间的研究工作告诉了他，才使广义相对论的研究得以继续。究得以继续。（3）数学是一种工具、一种思维的工具数学是一种工具、一种思维的工具诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：诺贝尔化学奖获得者哈特曼的晶体结构研究：哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：哈特曼在获得诺贝尔奖后说过：“其实我这一生只学过一门其实我这一生只学过一门化学，那就是大学一年级时所学的的化学。化学，那就是大学一年级时所学的的化

8、学。”然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家然而哈特曼却用数学解决了困扰许多化学家40多年的难题！多年的难题！诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：诺贝尔经济学奖获得者阿洛的一般均衡模型：哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：哈佛大学的一位数学教授看了阿洛的论文后说：“他用的数他用的数学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成学很基本，我们哈佛一年级的学生就能完成”。然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他然而阿洛用的是什么样的数学这一点并不重要，重要的是他将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！将数学与经济学成功的相结合，用数学建立了重要的经济学模型！从公元前

9、从公元前3世纪世纪Euclid的的几何原本几何原本起到起到17世纪，世纪，称为称为初等数学初等数学时期。又称时期。又称常量数学常量数学时期。时期。主要研究对象：主要研究对象： 1.匀速的运动（速度不变）；匀速的运动（速度不变）；2.匀加速的运动（速度均匀变化）匀加速的运动（速度均匀变化） ；3.直边图形（不弯曲）；直边图形（不弯曲）； 4.圆弧边图形（均匀弯曲）；圆弧边图形（均匀弯曲）；5.有限次四则运算。有限次四则运算。两大分支：两大分支： 1.几何学；几何学； 2.代数学。代数学。伟大功绩：伟大功绩：实现了几何与代数间的一一对应。实现了几何与代数间的一一对应。 1. 点点(几何基本元素几何

10、基本元素)与有序数组与有序数组(代数基本元素代数基本元素)（静态对应）（静态对应） 2. 动点的轨迹动点的轨迹(几何基本元素几何基本元素)与二元方程与二元方程(代数基本元素代数基本元素)（动态对应）（动态对应）法国数学家法国数学家Descartes引进了引进了直角坐标系直角坐标系。Newton和和Leibniz各自独立的创造了各自独立的创造了微积分微积分Newton应用微积分的方法证明了应用微积分的方法证明了的一一对应。的一一对应。的一一对应。的一一对应。Kepler行星运动三定律：行星运动三定律：1.行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个焦点上。行星以椭圆轨道绕太阳旋转，太阳在椭圆的一个

11、焦点上。2.在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积在相同的时间里，行星的向径扫过相同的面积.3.行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数行星公转周期的平方与椭圆轨道长半轴的立方比是常数.Newton进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒进一步指出：这些定律是能量守恒、角动能守恒的具体表现形式。的具体表现形式。 Leibniz德国数学家德国数学家,实现了微积分内容与形式的完美统一。实现了微积分内容与形式的完美统一。微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术微积分的方法迅速的在天文学、力学、物理学和工程技术中被广泛应用。中被广泛应用。以微积分为主要内容的学科以微积分为主要内容

12、的学科同济版的教材的基本结构同济版的教材的基本结构微积分的基本方法：微元分析法微积分的基本方法：微元分析法例例1 Galileo通过实验通过实验 确立了确立了221)(gtts 自由落体运动规律：自由落体运动规律：问：在时刻问：在时刻 t 时，落体的速度时，落体的速度v(t)是什么？是什么？ttt 时间：时间：路程：路程：)()(tsttss 2221)(21gtttg 2)(21tgtgt 速度：速度：Vtvt0lim)( tst 0lim)21(lim0tggtt gt 非非匀匀速速问问题题匀速问题匀速问题近似解近似解在小范围内在小范围内初初 数数等等 学学缩小范围直至缩小范围直至0取极限

13、取极限平均速度：平均速度：tggttsV 21nnSn1)1(2 例例2 计算由计算由 y=0 , x=1 , 2xy 所围成的曲边形的面积。所围成的曲边形的面积。xyo将区间将区间0,1 n 等分，等分，nn1)2(2 nnn1)1(2 32221)1(21nn 用小矩形面积之和代替曲边形的面积用小矩形面积之和代替曲边形的面积 曲边曲边S6)12()1(13 nnnn),12)(11(61nn )12)(11(61limnnn .31 nnSS lim 曲边曲边曲曲边边问问题题直边问题直边问题近似解近似解在小范围内在小范围内初初 数数等等 学学缩小范围直至缩小范围直至0取极限取极限极限概念是

14、微积分的极限概念是微积分的“源源”！初等数学与高等数学的区别：初等数学与高等数学的区别：研究研究常常量量 研究研究变变量量研究研究规则规则的几何形体的几何形体研究研究不规则不规则的几何形体的几何形体初等数学主要采用形式逻辑的方法，初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止静止地、地、孤立孤立地、一个一个问题进行研究；地、一个一个问题进行研究；高等数学却不然，它不是个别地讨论问题，高等数学却不然，它不是个别地讨论问题，而是而是普遍普遍地解决问题。地解决问题。9/30小结：高数思想小结：高数思想问题问题1：求：求变变速直线运动的速直线运动的瞬时瞬时速度（速度（微观微观）匀速直线运动：匀速直线运动：tsv

15、 问题问题2：求：求变变速直线运动的位移问题（速直线运动的位移问题（宏观宏观）匀速直线运动：匀速直线运动： S=vt导数导数微微分分积积分分 在微小局部在微小局部“以匀代非匀以匀代非匀”，将问题转化为，将问题转化为匀速，求得匀速，求得近似值近似值，通过求，通过求极限极限转化为转化为精确值精确值10/30四、学习数学的重要性四、学习数学的重要性1、名人名言、名人名言英国哲学家英国哲学家培根：培根：数学是打开科学大门的钥匙数学是打开科学大门的钥匙马克思马克思：一种科学，只有当它成功地运用数学时，：一种科学，只有当它成功地运用数学时， 才能达到真正完善的地步。才能达到真正完善的地步。 前美国国家数学

16、教育开发部主任前美国国家数学教育开发部主任戴维戴维： 高科技实质是数学技术。高科技实质是数学技术。11/30一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量一个国家的科学进步可以用它消耗的数学来衡量四大数学家四大数学家阿基米德阿基米德 古希腊古希腊前前287-前前212牛牛 顿顿 英英 国国1642-1727欧欧 拉拉 瑞瑞 士士1707-1783高高 斯斯 德德 国国1777-1855英国诗人英国诗人亚历山大亚历山大鲍勃鲍勃为牛顿逝世撰写的墓志铭为牛顿逝世撰写的墓志铭自然与自然的法则潜藏在黑暗中：自然与自然的法则潜藏在黑暗中：上帝说，把上帝说，把牛顿牛顿造出来吧！造出来吧！于是一切都变得光明。于是

17、一切都变得光明。12/302、学习高等数学（、学习高等数学（微积分微积分）的两种用途）的两种用途 微积分对许多工程技术的重要性就象微积分对许多工程技术的重要性就象望远镜望远镜之于之于天文学天文学，显微镜显微镜之于之于生物学生物学一样一样 微积分是学好其它理工课程（微积分是学好其它理工课程（如大学物理、如大学物理、力学、电工基础、经济学等力学、电工基础、经济学等）的基础，也是）的基础，也是学好专业课的工具（自动化专业的同学曾说学好专业课的工具（自动化专业的同学曾说“到后来大家拼的是数学到后来大家拼的是数学”）（1）工具）工具后续课程、考研后续课程、考研13/30（2）素质教育）素质教育 数学除了

18、锻炼敏锐的理解力，发现真理外，数学除了锻炼敏锐的理解力，发现真理外，它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的它还有另一个训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。开发功能。培养培养科学素质科学素质和和理性思维理性思维归纳思维、类比思维、发散思维、逆向思维归纳思维、类比思维、发散思维、逆向思维14/30五、学点数学史五、学点数学史1、数学萌芽时期（、数学萌芽时期（从远古从远古公元前五世纪公元前五世纪）算术、几何形成时期算术、几何形成时期尚未完整、严格，缺乏逻辑性尚未完整、严格，缺乏逻辑性2、常量（初等）数学时期（、常量（初等）数学时期（公元前五世纪公元前五世纪 17世纪中叶世纪中叶）算术、初等几何、

19、初等代数、三角学都成为分支算术、初等几何、初等代数、三角学都成为分支3、变量（高等）数学时期（、变量（高等）数学时期（ 17世纪中叶世纪中叶 19世纪中叶世纪中叶）变量、函数变量、函数解析几何、解析几何、微积分微积分、概率论、射影几何、概率论、射影几何15/304、近代数学时期（、近代数学时期（ 19世纪中叶世纪中叶二次大战二次大战）非欧几何、抽象代数、复变、集合论、非欧几何、抽象代数、复变、集合论、微分方程、微分几何、点集拓扑微分方程、微分几何、点集拓扑 5、现代数学时期（、现代数学时期（ 20世纪世纪40年代以来年代以来）原子能应用、原子能应用、计算机计算机的发明、空间技术的兴起、的发明、

20、空间技术的兴起、广义函数论、微分拓扑、模糊数学、计算数学广义函数论、微分拓扑、模糊数学、计算数学16/30 恩格斯恩格斯：在一切理论成就中未必再有什么：在一切理论成就中未必再有什么象象17世纪下半叶世纪下半叶微积分学微积分学的发明那样被看作的发明那样被看作人类精神的最高胜利了。只有微积分学才能人类精神的最高胜利了。只有微积分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态表明状态，并且并且也表明过程运动也表明过程运动。17/30六、数学具有三个显著的特点六、数学具有三个显著的特点1、高度的抽象性、高度的抽象性（1）1是什么？是什么？（2）处处稠密而又并不连续的有理数）

21、处处稠密而又并不连续的有理数（3）处处稠密而又并处处连续的实数）处处稠密而又并处处连续的实数（4）0，1分成若干份，每一份有无穷多个实数分成若干份，每一份有无穷多个实数（5）n维空间维空间（6）5.120710 位位的自然数的自然数1818/302、严谨的逻辑性、严谨的逻辑性严格性对于数学家，就如道德之对于人严格性对于数学家，就如道德之对于人3、广泛的应用性、广泛的应用性华罗庚华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭宇宙之大，粒子之微，火箭之速、之速、 化工之巧、地球之变、生物化工之巧、地球之变、生物之谜、之谜、 日用之繁，无处不用数学。日用之繁，无处不用数学。19/30七、数学史中的三次数学危机七、

22、数学史中的三次数学危机1、第一次数学危机与、第一次数学危机与无理数无理数的发现的发现发生在古希腊时期，毕达哥拉斯学派发生在古希腊时期，毕达哥拉斯学派基本信条基本信条：宇宙间的一切现象都能归结为：宇宙间的一切现象都能归结为 整数或整数比整数或整数比希伯索斯希伯索斯发现发现等腰直角三角形斜边与一直角边之比等腰直角三角形斜边与一直角边之比 （正方形对角线与一边之比）不能用（正方形对角线与一边之比）不能用 所谓的整数比来表示。所谓的整数比来表示。限制了代数，强调几何。把代数与几何看成不相干限制了代数，强调几何。把代数与几何看成不相干20/302、第二次数学危机与、第二次数学危机与极限理论极限理论发生在

23、微积分建立的开初阶段发生在微积分建立的开初阶段微分微分：求曲线上某一点的切线斜率（的研究）：求曲线上某一点的切线斜率（的研究）积分积分：起源于求曲线所包围的面积的研究（：起源于求曲线所包围的面积的研究（先先）数学方法的主要基础数学方法的主要基础：无穷小分析无穷小分析达郎贝尔（法国，达郎贝尔（法国，17171783）柯西（法国，柯西（法国，17891857）英国大主教英国大主教贝克莱贝克莱某些概念含糊某些概念含糊推理不严谨推理不严谨抨击抨击极限的方法极限的方法25/303、第三次数学危机与、第三次数学危机与集合论集合论罗素罗素悖论悖论 1902年年 1918年年 理发师理发师悖论悖论 将萨维尔村上有刮脸习惯的所有人分成两类，将萨维尔村上有刮脸习惯的所有人分成两类，一类是自己给自己刮脸的人一类是自己给自己刮脸的人，另一类是自己不给另一类是自己不给自己刮脸的人自己刮脸的人。该村有一个有刮脸习惯的理发师。该村有一个有刮脸习惯的理发师给自己规定：给自己规定：“给而且只给村子里那些自己不给给而且只给村子里那些自己不给自己刮脸的人刮脸自己刮脸的人刮脸。”试问：试问：“这个理发师属于这个理发师属于上述两类人中的哪一