九年级数学上册第二十二章二次函数单元同步习题(含答案)(80)

1、九年级数学上册第二十二章二次函数单元同步习题(含答案)已知开口向下的抛物线尸尔+ 2川4-5经过点(0,-3).。)确定此抛物线的解析式；(2)当入取何值时，)有最大值，并求出这个最大值.【答案】(1) >，= * + 2、-3 (2)【解析】【分析】(1)直接把点(0,-3)y = ax2 + 2x + |a卜5得到关于a的方程，然后解 方程求出a的值，再利用二次函数的性质得a < 0，于是得到满足条件的a的值， 从而确定抛物线解析式；(2 )把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解.【详解】(1)把(0,-3)代入y = ax+2x+同一5得同一5=-3 ,解得

2、a = ±2 ,.抛物线开口向下，Aa<0 ,/. a = 2 ,抛物线解析式为y = x?+2x 3 ;(2) V y = -x2 + 2x -3 = -2(x -)2 -1 ,.x =；时，y有最大值，这个最大值为一;.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函教 关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值 求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一 次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求 解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解.

3、也 考查了二次函数的性质.102 .如图，抛物线片册+6*1( #0)交*轴于4 6( 1,0)两点， 交卜轴于点C, 一次函数卜=x+3的图象交坐标轴于A,。两点，£为直线AD 上一点，作£4*轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2 )若点尸位于直线刀。的下方，请问线段房是否有最大值？若有，求 出最大值并求出点£的坐标；若没有，请说明理由.249【答案】(1).*2+ x- 1；(2)用的长度有最大值，最大值为不，JJ1乙17此时点£的坐标为(工，5),【解析】【分析】(1)求出点A的坐标,再根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；+那即可求出E

4、F的最大值并求出点加坐标【详解】(1)各 y=0 代入 y= x+3,彳导 x =-3 .2( -3,0).抛物线片数2+/-1交x轴于2( -3,0), 8(1,0)两点，1a + b- = 0" 3*e |o i n / 解得：99a 3。-1 = 0, 2b = 31?抛物线的解析式为y =x2+* . 1 ；12(2 )设点 £的坐标为(m , 6+3 )，则尸(6, -Z77 2+-/77 - 1 )12:*EF= (/n+3) - ( -m2+-m- 1 ) JJ1 ,149(”)2+石,1491当6=5时，然的长度有最大值，最大值为不，此时点£的坐标

5、为(-, 41乙4【点睛】本题考查了抛物线的综合问题，掌握待定系数法、抛物线的性质以及最值问 题是解题的关键.103 .如图1 ,抛物线尸交*轴正半轴于4,6两点，交'轴 正半轴于C,且OB=OC=3 .(1)求抛物线的解析式；(2 )点。为抛物线的顶点，点G在直线6c上，若有=与，直接写出0/72点G的坐标；（3 ）将抛物线向上平移加个单位，交6c于点例，N （如图2 ）,若【答案】（1）片庐 4.3 ; （ 2 ） G（2,1）,G2（16,-13）;（3） m=（/2-l）【解析】试题分析：（1）把8（3,0）,。（0,3）,代入户.2-4办+方，解方程组即可.（2）直线8c尸-

6、X马设点G（机-?+3）,根据两点之间的距离公式，列出式子，求 出"的值.（3 ）如图2中，将0017绕点。顺时针旋转90。得到O8G首先证明例乂=CS+8M ,设M（%，），N（再，%），则MN?=应（巧-内）2 =2（玉+）24中21，设平移后的抛物线的解析式为, y = x + 3y =厂4x + 3+ 7,由. _a, a消去，'彳导到x? _3工+m=0,由X + 勺=3%占=m, Y，推出方=4乃=知加、N关于直线丁 =入.对称;所以玉 + Vj - J%2 +为=3CM=BN,设CM = BN = a则MN = 3后-2a,利用勾股定理求出。以及MN 的长，再根

7、据根与系数关系，列出方程即可解决问题.试题解析：08=0仁3,3(3,0),C(0,3),代入y = aF_4ax + 4解得b = 3得i守 9-12a + b = 0,，抛物线的解析式为片,2_4x+3 .(2 )直线 8Cy = -x+3,设点G(，几一任3),顶点。的坐标为：(2，-1)，OG _yf5'GD2':.4OG2=5GD2 ,.二+(/?-3)2 =5(/n-2)2 +("i-4)2,.,? = 2, m2 = 16.G(2,1)，G(16T).(3 )如图2中，将OCM绕点。顺时针旋转90。得到AOBG . Z MOC+ Z NOB= Z NOB

8、+ Z 80G =45° , Z MON= Z GO/V=45° , ON= ON, OM= OG,：.XONM空MONG i：.MN=NG t N/V8G= N A/8O+N O8G=450+45°=90° ,:.NG=BNBO ,:.M蚌CMB2 ,设平移后的抛物线的解析式为片AMx+B+m, M( X1 ,yi),/V( xz，度), 则MV?=(再一芭)2 =2(再+再了 一4与到，设平移后的抛物线的解析式为y = / - 4x + 3 +加，y = -% + 3叫-4»3 +肛消去y得到33。,内 +x2 = 3xx. = m二 &a

9、mp; ,推出y =孙%=玉，内+b=3x2 + y2 =3.M、N关于直线y = x对称，所以CM = 8M 设CM = BN = a,则MN = 3y/2-2a, A二(3&-2a1 =/+/, . = 371-3(负根已经舍弃)，:.MN = 6-3&(6-35/2)2=2(32-4m),-1- ? = (V2 1).104 .已知二次函数y = / -4x + 3 .y4321- j 二3 二 2 二1 O i 2 3 4 x-1-2-3(1)用配方法将夕=/-4x + 3化成夕=，)2 + 的形式；(2 )在平面直角坐标系*以中，画出该函数的图象.(3 )结合函数图象

10、，直接写出y< 0时自变量”的取值范围【答案】(1) y = (x-2)2-l ;( 2)见解析；(3) l<x<3【解析】【分析】(1)运用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据函数图象的画法画出二次函数图象即可；(3)运用数形结合思想解答即可.【详解】 )，= (%-2万1(2 )在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象如下：(3 ) y < 0即在x轴下方的点，由图形可以看出自变量x的取值范围为：1< x < 3【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式 化为顶点式是解题的关键.105 .如图,抛物线2mx3团(团0)与

11、入轴交于A、 B两点,与),轴交于C点.(1)请求抛物线顶点M的坐标(用含加的代数式表示)及4、3两点的坐 标；(2 )当?取不同值时，试猜想BCM与ABC的面积比是否发生变化？若 不发生变化，请你求出这个比；若发生变化，请说明理由.【答案】(1)顶点M的坐标为(LYi) , A(1,0) , B(3,0) ；( 2 ) &BCM与A3c的面积比不发生变化，S： ：=卜2；【解析】【分析】(1 )利用配方法得到户-4？，顶点M的坐标为(1,-4/),再根 据抛物线与x轴的交点问题求得A(-1,0) , 8(3,0)；(2 )先确定C(。,-而)，根据三角形面积公式可计算出S&m

12、 =6/，作MCX轴于。，如图，利用SziBGM = S梯形0c“0-SBCO可计算出BCM的面积，然后计算它们的比值即可判断是否发生变化.【详解】? ： ( 1 ) V y = /wc2-2/wc-3m = m(x-) -4m ,:抛物线顶点M的坐标为（LT"。.nix2 2mx - 3m = 0 B9解为玉=- 1 , x2=3 , A(-1,O) , 8(3,0).(2 ) BCM与ABC的面积比不发生变化.理由如下:,当 X = 0 日寸，y = nix2 - 2mx - 3m = -3m , C(0,-3/w), S&ABC = ° (3 + l).3?

13、= 6？.则 OQ = 1 , BD = 2 , MD = 4m , e S.abcW = S悌形oc.MO + S&BDM - ABCO= '(3m + 4/7/ )-l + -2-4m -！ 3 3m = 3m2 '722Sbcm - Sabc = 3i: 6m = 1:2 .【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握二次函数由一般式化成顶点式、求 二次函数与X轴的交点坐标和利用坐标求三角形面积的是解决此题的关键.106 .如图，有一座抛物线形拱桥，当水位线在96位置时，拱顶（即抛物 线的顶点）离水面2 m ,水面贲为4 m ,水面下降1 m后，求此时水面的贪.【

14、答案】2瓜.【解析】【分析】以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系，抛物线的解析式为y=ax2将A点 代入抛物线方程求得a ,得到抛物线解析式，再把y二-3代入抛物线解析式求得 xo,进而得到答案.【详解】如图，以拱顶为坐标原点建立平面直角坐标系， j 八 一 一 .设抛物线方程为y=ax2,各 A(2,-2)代入 y 二 ax2,解得：a二一;，4代入D ( xo , -3 )得xo二而,(-而舍去).*水面宽CD为2 #.【点睛】本题主要考查二次函数的应用.建立平面直角坐标系求出函数表达式是解决 问题的关键，考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力.107.已知抛物线y= W+mx10与”轴的一

15、个交点是（ "，0 ）,求 6的值及另一个交点坐标.【答案】m二-小；另一个交点坐标（275 ,0）【解析】【分析】首先将点（-6,0 ）的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得6的值，再 令抛物线中y=0 ,可得出关于x的一元二次方程，即可求得抛物线与x轴的另 一交点的坐标.【详解】解：根据题意得，5 - 777 - 10 = 0 ,所以 m= - y/5 ;得抛物线的解析式为y二/-石* -10 ,Va2 - 6x- 10 = 0 ,解得 X1= - y/5 , X2 = 2y/5 ,抛物线与x轴的另一个交点坐标（2行,0 ）.故答案为：777二-"；另一个交点坐标（2x/

16、5,0 ）.【点睛】本题考查了抛物线与X轴的交点：从二次函数的交点式），= （X-不）"-占） （a,b,c是常数，aWO ）中可直接得出抛物线与x轴的交点坐标（对。）,（勺，0）.108 .每年海鸥飞回昆明，那一定是昆明的一道美丽风景线，某景点商户抓 住商机，向游客推销一种加工好的喂养海鸥的饲料，已知每千克成本为20元, 市场调查发现，在一段时间内，该产品每天销售量卬（千克）随销售单价X（元/千克)的变化而变化，有这样的关系式：W=2*+80.设这种饲料在这段时 间内的销售利润为f(元)：(1)当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(2 )如果物价部门规定该景

17、区这种饲料的销售单价不得高于28元/千克, 该商户每天能否获得比150元更大的利润？如果能请求出最大利润，如果不能， 请说明理由.【答案】(1)销售单价定为30元时每天的销售利润最大，最大利润是200 元；(2 )商户每天能获得比150元更大的利润,最大利润是192元.【解析】【分析】(1)根据销售利润(每千克销售价-每千克进价)x销售量w,列函数 关系式，利用二次函数的性质求最大值；(2 )把y=150代入(2 )的函数关系式中，解一元二次方程求x,根据x 的取值范围求x的值.【详解】解：(1)由题意得：y= ( x - 20 )( - 2x+80 )=-2+80%+40- 1600 =-2

18、A2+120*- 1600= - 2 ( x - 30 ) 2+200 ,Ua= -2<0 z匚抛物线开口向下，且当30时/最大=200 ,即销售单价定为30元时每天的销售利润最大，最大利润是200元；(2)当片 150 时，150= - 2 (x-30 ) 2+200,（X- 30） 2 = 25 ,x - 30 二 ±5 ,x- 30=5 ,所二25,及=35(舍去)，又匚片-2+120% - 1600= - 2 ( x - 30 ) 2+200 ,匚把28 ,匚当x二28时，能取得最大值为192 .答：商户每天能获得比150元更大的利润，最大利润是192元.【点睛】考查了

19、二次函数的运用.关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的 性质解决问题.2109 .如图1所示，抛物线y =尹2 +x+c与x轴交于4 6两点，与y轴7交于点G已知C点坐标为(0,4),抛物线的顶点的横坐标为彳,点。是第四象限内抛物线上的动点，四边形。胡?是平行四边形，设点。的横坐标为6.(1)求抛物线的解析式；(2 )求使4凡7的面积为整数的。点的个数；(3 )当点夕在抛物线上运动时，四边形。必(?可能是正方形吗？若可能， 请求出点夕的坐标，若不可能，请说明理由；(4 )在点Q随点夕运动的过程中，当点Q恰好落在直线VC上时，则称 点Q为“和谐点，如图(2 )所示，请直接写出当Q为“和谐点

20、的横坐标的值.，少【答案】(1)，= *-± + 4;(2)9个；(3)鸿或 I ;(4)3±>/3【解析】【分析】c = 4(1)抛物线与 > 轴交于点c，顶点的横坐标为:，则-,即可求解；2 . 14故抛物线的抛物线为：J = v2-x + 4 ;4(2 ) AAPC的面积s = Sg人+ Swr ,即可求解；(3 )当四边形。尸AQ是正方形时，点尸只能在x轴的下方，此时。4P为等 腰直角三角形,设点POM ,则x + y =。,即可求解;2(4)求出直线4P的表达式为：y = *iXx-6),则直线。的表达式为： y = |(,n-l)x，联立求出。的坐标

21、，又四边形。尸A。是平行四边形，则4。 的中点即为尸。的中点,即可求解.【详解】c = 4解：(1)抛物线与),轴交于点C ,顶点的横坐标为"则-二="解得2 2x- -33 ,c = 4(2 )对于y/一? x + 4，令y =。，贝Jx = l或6 ,故点8、4的坐标分别为(1,。)、(6,0);如图，过点尸作尸"),轴交AC于点,设直线4c的表达式为：、=依+h = 4由点A (6,01 C ( 0,4 )的坐标得 o，解得仁二，9团直线AC的表达式为：y = -QX + 4， 设点产(工|九2-$+4),则点(尤_|入+4),A4PC的面积>A

22、71;M + «c = 1xP/xa4 = ix6x(-|x+4-|x2+x-4) = -2A-2 4 乙乙JJJ当x = l时，S = 10 z 当x = 6时，5=0 ,故使AAPC的面积为整数的。点的个数为9个；(3 )当四边形。尸AQ是正方形时，点P只能在x轴的下方, 此时。4P为等腰直角三角形,设点尸(x,y)，则x+y =。， 即y = Y?x+4 = x ,解彳导：或4 ,故点P的坐标为g ,-或(4,T);(4 )设点(肛，_g+4),为点4(6,0),设直线AP的表达式为： >'=依+ J由点A ,。的坐标可得6k +，= 0f 2 、 14km+t

23、= -""i+ 433解之得:2k -(/n-1)2二6 x-(/n 1)7团直线AP的表达式为：,，=。-1）（工-6）, AP/OQ ,贝I”和。表达式中的k值相同，故直线。的表达式为：y =,6 x = m2联立得:y 二-(/h-1)x，解得:y 二 ”x+4则点唬，T，四边形。"。是平行四边形，则A。的中点即为尸。的中点z如图2,作QC，x轴于点C,切人轴于点D,：.OC = ADt则有，团+，= 6 ,解得：/ = 3±75 ,经检验，加=3±6是原分式方程得跟,则 5 = 3土# ,故。的横坐标的值为3±6.【点睛】本题

24、考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形正方形的性质、面积的计算等，能熟练应用相关性质是解题的关键.110 .大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小颔无息贷款 开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每 件4。元，售价为每件60元时，每月可卖出300件.市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件.为了 获得更大的利润，现将饰品售价调整为x (元/件)，每月饰品销量为y (件), 月利润为w (元).(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定售价才能使月利润最大？求最大月利润；(3 )为了使每月利润不少于6000元应如何控制售价？【答案】(1)-10.r+900(60 <x<90)-20x+1500(40 <%<