高考文科数学复习专题极坐标与参数方程

1、1.曲线的极坐标方程.(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O,自点O引一条射线Ox,同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标 系.其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴.(2)极坐标(p, 9 )的含义：设M是平面上任一点，p表示 OM的长度，。表示以射线 Ox为始边，射线。汕终边所成的角.那么，有序数对(p, 8 )称为点M的极坐标.显然， 每一个有序实数对(p , 8 ),决定一个点的位置.其中 p称为点M的也叁，。称为点M的 极角.极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之 间的对应关系是一一对应的，而

2、在极坐标系中，对于给定的有序数对(p , 0),可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的.(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线 C上的任意一点的极坐 标满足方程f( p , 0)=0,并且坐标适合方程f( p , 0)=0的点都在曲线C上，那么方程 f(p, 8 )=0叫做曲线C的极坐标方程.2 .直线的极坐标方程.(1)过极点且与极轴成 小0角的直线方程是0 = () 0和0 =冗一 ()0,如下图所示.(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a , 0)的直线的极坐标方程是p cos 8 = a,如下图所示.(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的

3、直线的极坐标方程为 p sin 8 = a,如下图所示.3 .圆的极坐标方程.(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为p =匚，如图1所示.(2)圆心在极轴上且过极点，半径为 r的圆的方程为p= 2rcos 如图2所示. 兀 (3)圆心在过极点且与极轴成 万的射线上，过极点且半径为r的圆的万程为 。2rsin_9 ,如图3所示.4.极坐标与直角坐标的互化.若极点在原点且极轴为 x轴的正半轴，则平面内任意一点M的极坐标M(p, 8)化为平面直角坐标M(x, y)的公式如下:x= p cos 0 ,-2或者 p = x + y , tan 9y= p sin 0y_y其中要结合点所在的象限确定角9

4、的值.1.曲线的参数方程的定义.在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x, y都是某个变数t的函数，即x=f (t),并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点 y=g (t),M(x, y)都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x, y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.2.常见曲线的参数方程.(1)过定点P(x。，y。)，倾斜角为a的直线:x= x。+ tCOSa ,y(t为参数)'其中参数t是以定点P(x。，y。)为起点，点M(x, y)为终点的有向线段PM的数量，又称 为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论:设A, B是直线上任意两

5、点，它们对应的参数分别为tA和tB,则|AB| =|t B tA| =l( t B + t A)- 4t A ts ；线段AB的中点所对应的参数值等于t(2)中心在P(x。，y。)，半径等于r的圆:x= x0 + rcos 0 ,x= acos 0 , y= bsin 0中心在点P（x%y0）,焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程为x = xo+ acosy = yo+bsin（9为参数）y=yo + rsin 0 中心在原点，焦点在 x轴（或y轴）上的椭圆:x = bcos(9为参数)或y = asin（a为参数）. 中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线:x=asec 0y=bta

6、n 0（9为参数）或x = btany = asec（5）顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上的抛物线:x=2p, y=2p（t为参数,p>0).注：sec10 ="cos 03.参数方程化为普通方程.由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元 法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x, y的限制.1 .已知点A的极坐标为4, 7 ,则点A的直角坐标是（2 , 2131.2 .把点P的直角坐标（、底一啦）化为极坐标，结果为 讨2,一放.3 .曲线的极坐标方程 p = 4sin 。化为直角坐标方程为 x2 + （y 2）2 = 4.

7、,，一九.一. 冗4 .以极坐标系中的点1,为圆心、1为半径的圆的极坐标万程是q = 2cos e J .x= t ,x = 3cos 0 ,5 .在平面直角坐标系xOy中，若直线l :（t为参数）过椭圆C:y=t ay = 2sin 0x = 3cos 0y = 2sin 022彳吟，.所以椭（9为参数）的右顶点，则常数a的值为3.解析：由直线l: x t' 得y = xa.由椭圆C: y = t a,圆C的右顶点为（3, 0）.因为直线l过椭圆的右顶点，所以 0 = 3a,即a=3.一、选择题1.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为（1,木）.若以原点。为极点，x轴正半轴为极

8、轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是（C）九4死A. 1,一万 B. 2 可九4死C. 2,一万 D. 2, 一 三x = 2cos 0 ,x=t +1,2 .若圆的方程为（9为参数），直线的方程为（t为参数），y = 2sin 0y = t 1则直线与圆的位置关系是（B）A.相离B.相交C.相切D.不能确定3 .以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标x= t + 1,系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方y=t -3程是p = 4cos 9 ,则直线l被圆C截得的弦长为（D）A. 14B. 25C.啦D. 2亚解析：由题意可

9、得直线和圆的方程分别为xy 4 = 0, x2+ y2=4x,所以圆心C（2 , 0）,半径r=2,圆心（2, 0）到直线l的距离d=2,由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4 .已知动直线l平分圆C: （x2）2+（y1）2=1,则直线l与圆Q x 3cos °（0 y = 3sin 0为参数）的位置关系是（A）A.相交B.相切C.相离D.过圆心x=3cos 0y=3sin 0解析：动直线l平分圆C: （x2）2+（y1）2=1,即圆心（2, 1）在直线l上，又圆O:的普通方程为x2+y2 = 9且22+12<9,故点（2, 1）在圆O内，则直线l与圆O的

10、位置关系是相交.、填空题5.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是y= sinx= cos82、.（0是参数）， 92若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标万程可写为 P+4）sin 0+3 = 0.y = sin 02,y + 2=sin 0,解析：在平面直角坐标系xOy中，(9是参数)，根x = cos 0x = cos 0 .据 sin 2e + cos2 8 = 1,可得 x2+(y +2)2= 1,即 x2+y2 + 4y+3 = 0.，曲线 C的极坐标方程2为 p +4 p sin 0 + 3= 0.x= 2cos 0 ,6 .在平面直角坐标系中圆 C的参数方

11、程为（9为参数），以原点O为极y= 2+ 2sin 0,，一，冗点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的圆心的极坐标为2 =.三、解答题17 .求极点到直线 42 P =（ p G R）的距离.71sin 9 + 4故d=_1Tt sin 0 +p sin0 + p cos 0 = 1? x + y= 1,|0十0一1| 班 %TT? - 2 .8 .极坐标系中，A为曲线p2 + 2pcos 83=0上的动点，B为直线p cos 6 + p sin 87 = 0上的动点，求|AB|的最小值.x = cos 0 ,9 . (2015 大连模拟)曲线C的参数方程为( 9为参数)，将曲线Ci上

12、所y = sin 0有点的横坐标伸长为原来的 2倍，纵坐标伸长为原来的/3倍，得到曲线C2.以平面直角坐 标系xOy的原点。为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系， 已知直 线 l : p ( cos 0 2sin 0) = 6.(1)求曲线G和直线l的普通方程；(2)P为曲线G上任意一点，求点P到直线l的距离的最值.解析：(1)由题意可得G的参数方程为x = 2cos 0 , y = 3sin 0(9为参数)，即C2:1,直线l : P (cos 9 - 2sin 8)=6化为直角坐标方程为 x 2y 6=0.(2)设点P(2cos 8,、3sin 8),由点到直线的距离公

13、式得点P到直线l的距离为12cos e 243sin e 6|6+4 13sin10 一二 cos 0256+4sinTt°-66+ 4sin71所以乎W d<2X5,故点P到直线l的距离的最大值为2邓，最小值为x = 1 + 4cos 0 ,10.已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(6为参数),y = 2+4sin 0 一.一. ,.一 兀直线l经过定点P(3 , 5),倾斜角为-y.(1)写出直线l的参数方程和曲线 C的标准方程.(2)设直线l与曲线C相交于A, B两点，求|PA| |PB|的值.x = 1 + 4cos 0 ,解析：(1)由曲线C的参数方程(9为参数)，得普通方程为(x -1)y = 2 + 4sin 0十 (y2)2=16,即 x2+y2