学高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末综合测评含解析新人教A版选修

1、（三）数系的扩充与复数的引入章末综合测评（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1.已知a, bCC,下列命题正确的是（A. 3i<5iB.C.若 | a| = | b|,则 a= ± bD.a= 0?| a| = 0a2>0【解析】 A选项中，虚数不能比较大小;B选项正确；C选项中，当a, bCR时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|-J22-13或2-与；D选项中，当aeR时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2=- 1<0.2. i是虚数单位，则1 A.

2、iB.1.2iD.i?1 i?1+i 11 + i ?1 + i?1 i?3.百厂（B. 2D. 1A. 2 2C. .22?1-i?1+i ?1 + i?1 -i?2-2i=1i,|1 -i| =啦.故选C.4.z是z的共轲复数.若 z+ z =2(z z )i = 2(i为虚数单位），则z=()A.B.C.D.1-i【解析】 法一：设 z=a+bi, a, b 为头数，则 z = a-bi, . z+z=2a=2, a =21.又(zz)i = 2bi =2b=2,b= 1.故 z= 1 i.、r .法一：: (z- z )i =2, . z- z =-T= - 2i.又 z+ z = 2

3、,.(z z) + (z+ z) = 2i +2,2z=- 2i +2,z= 1 - i.5复数占的共轲复数为（）i iA 一尹 2i1 1叼+习1 1.2. 2i【解析】i?1 +i?1-i ?1 - i?1 +i?-1 + i21 1，其共轲复数为2-2i.故选D.6.卜面是关于复数pi：|z| =2;S：z2= 2i ;6： z的共轲复数为P4： Z的虚部为一1.其中的真命题为（A. P2, P3B.Pl P2C. P2, P4D.P3, P4-1?2+?- 1?2 =y/2, .P1是假命题；z2= ( 1 i) 2= 2i , P2是真命题;z = 1 + i ,P3 是假命题;z的

4、虚部为一1,，P4是真命题.其中的真命题为P2, P4.7.复平面上平行四边形ABCD勺四个顶点中，A B, C所对应的复数分别为2+3i,3 +2i , 23i ,则D点对应的复数是()A. 2+3iB. 3- 2iC. 2-3iD. 3-2i2+?2? 3+xI 2= 2，【解析】设D(x, y),由平行四边形对角线互相平分得 c3+?3? 2+y22= 2，x= - 3,J 2，D(3, 2), 对应复数为3-2i.【答案】B8.若复数(a2a 2)+(| a1| 1)i( aC R)不是纯虚数，则()A. a= 1B. aw 1 且 aw2C. aw 1D. aw2【解析】要使复数不是

5、纯虚数，则有解得 aw 1.【答案】C9 .若 a, bCR,则复数(a26a+10)+ ( b2+4b5)i 对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】复数对应点的坐标为(a26a+10, b2+4b5),又a 6a +10 = (a 3) +1>0,一 b + 4b- 5 = 一(b-2) - 1<0.所以复数对应的点在第四象限.故选 D.【答案】D10 .如果复数z= 3+ai满足条件|z2|<2,那么实数a的取值范围是()A. ( -2 2, 2 2)B. (-2,2)C. (-1,1)D.(一m，小)【解析】 因为 | z 2| = |3

6、 + ai 2| = |1 + ai| = M1 + a2<2,所以 a2+1<4,所以 a2<3, 即一13<a< , 3.【答案】D11.若1 + 42i是关于x的实系数方程x2+bx+ c=0的一个复数根，则()A. b=2, c= 3B. b= 2, c= 3C. b= 2, c= 1D. b=2, c=- 1【解析】因为1 + #i是实系数方程的一个复数根，所以1y2i也是方程的根，则1+阴 +1 姆i =2 = b, (1 +姆i)(1 娘i) =3= c, 【答案】 B解得 b=- 2, c=3.12.设z是复数，则下列命题中的假命题是A.B.C.D

7、.z2>0,则z是实数z2<0,则z是虚数2z是虚数，则z >0z是纯虚数，则z2<0【解析】 设z= a+bi(a, bCR),选项 A, z2= ( a+ bi) 2=a2b2 + 2abi >0,则at)= 02、Ja >b故b=0或a, b都为0,即z为实数，正确.选项B, z2=(a+ bi) 2= a2b2+2abi<0 ,则“ab= 0, a2<b2,a= 0 则.bw0故z一定为虚数,正确.选项由于C,若 z 为虚数，则 bw0, z2 = (a+bi) 2=a2b2+2abi , a的值不确定，故 z2无法与0比较大小，错误.选

8、项D,若a= 0, z为纯虚数，则b"则 z2=- b2<0,正确.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上 )13.已知一1 - i是虚数单位，计算本色=1 一 i 1 一 i 一 i?1 一 i?_ 22?1+i? 1 + 2i+i 2i2i2i 1 _1 12 2一2i.a+ i14. a为正实数，i为虚数单位，- =2,则a=a+i?a+i? - ?- i?i - ?- i? = 1 ai，则 a- = |1 -ai| =1a2+ 1 = 2,所以 a2= 3.又a为正实数，所以a=V3.,315.设 abe R, a+bi =1（i为虚

9、数单位），则a + b的值为 1 2i【解析】a+ bi =11-7i ?117i?1 + 2i?25+ 15i12i ?1 2i?1 +2i?=5+ 3i ,依据复数相等的充要条件可得a= 5b= 3.从而a+ b= 8.【答案】816 .若复数z满足|z i| w42（i为虚数单位），则z在复平面内所对应的图形的面积为【解析】设 z = x+yi（ x, yC R）,则由 | z-i| 斓可得x2+ ?y 1?2<2,即 x2 +（y1）2W2,它表示以点（0,1）为圆心，陋为半径的圆及其内部，所以z在复平面内所对应的图形的面积为2兀.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出

10、文字说明，证明过程或演算步骤）17 .（本小题满分10分）计算：(1)(小+#) 2(4+5i)；【解】(1)(小+i) 2(4+5i) =2(1 +i) 2(4+5i)= 4i(4 +5i) = 20+ 16i.c 2+ 2i2 2016(2) ?1T+ 币2+2i 工 1 0081 008=- 1+i + ( i)=1+ i + 1=i.?2x- 1?+i =y-?3-y?i ,18 .(本小题满分12分)已知关于x, y的方程组:c ,?2x+ay?4xy + b?i =98i ,有实数解，求实数 a, b的值.【解】由得2x-i = y, y-3=1,x=5解得，2 y=4,将 x,

11、y 代入得(5 + 4a) (6 + b)i = 9 8i ,所以5 + 4a=9,-?6+b?= 8,所以 a= 1, b= 2.19 .（本小题满分12分）实数k为何值时，复数 z=（k2-3k-4） + （k2-5k-6）i是: 实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.【解】（1）当k2 5k6=0,即k=6或k=1时，z是实数.(2)当 k25k 6w0,kw6且kw 1时，z是虚数.k23k4=0k25k6W0即k= 4时，z是纯虚数.k2-3k-4=0 闩 k2-5k-6=0即k= 1时，z是0.20 .(本小题满分12分)已知复数z满足|z|=V2, z2的虚部是2.(1)求复

12、数z;(2)设z, z2, z-z2在复平面上的对应点分别为A, B, C,求 ABC勺面积.【解】(1)设2=2 + 5(a, be R),则 z2=a2b2+2abi ,由题意得 a2+b2=2 且 2ab=2,解得 a= b= 1 或 a= b= 1,所以 z=1 + i 或 z = 1 i.(2)当 z=1 + i 时，z2=2i , z-z2=1-i ,所以 A(1,1) , B(0,2) , Q1 , 1),所以军 AB= 1.当 z = 一 1 i 时，z2 = 2i , zz2= 1 3i ,所以 A( 1, -1), R0,2) , C -1, -3), 所以 Sk ABC=

13、 1.21 .(本小题满分 12 分)已知复数 z1 = 45i , z2=q2 y3i , z3= 2 i , z4= ,5在复平 面上对应的点分别是 A, B, C, D.(1)求证：A, B, C, D四点共圆； (2)已知AB= 2 AP,求点P对应的复数.【解】(1) -1 | zi| = | z2| = | z3| = | z4| = 5,即|OA=| OB = |OC = | OD,.A,B,C,D四点都在圆x2+y2=5上，即A,B,C,D四点共圆.(2) . A：0, ® 曰® - V3), .Ab=(班，-出-南).设 P(x, y),则AP= (x, y洞,77.LLLL若AB= 2 AP,那么(艰，p p=(2x,2y2p,：* = 2x,-$巾=2丫 2木,x=解得I y=V5 V32，点P对应的复数为22.（本小题满分12分）设O为坐标原点，已知向量 OZi, OZ2分别对应复数 zi, Z2,且zi =(10 a2)i , Z2=，一+(2 a5)i , aCR若Z1+Z2可以与任意实数比较大小,a十 5i - a求OZi OZ2的值.【解】 由题意，得z i = 7r7-(i0 -a2)i ,a十5则 z i + Z2 = 一 (i0 - a )i