换元积分法(第二类换元法)(精选、)

1、word.§4.2 换元积分法(第二类) 授课题目(章节) ：§4.2 换元积分法 (第二类换元 积分 法) 教学目的与要求：1. 了解第二类换元法的基本思想2. 掌握几种典型题的第二类换元积分法解法 教学重点与难点： 重点：第二换元法中的三角代换及根式代换 难点：积分后的结果进行反代换 讲授内容：第一类换元积分法的思想是：在求积分g( x)dx时 如果函数 g(x)可以化为 f (x) (x) 的形式 那么g(x)dx f (x) (x)dx f (x)d (x)u (x) f (u)duF(u) C F (x) C所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出形如

2、 f (x) (x)函数来 .对于某些函数第一换元积分法无能为力，例如a2 x2dx .对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要学习的第二类换元积分法。第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换 x (t )将无理函数 f(x)的积分 f (x)dx化为 有理式 f (t) (t) 的积分 f (t) (t)dt 。即f (x)dx f (t) (t)dt(t) C若上面的等式右端的被积函数 f (t) (t) 有原函数 (t) ，则 f (t) (t)dt然后再把 (t)中的 t还原成 1 (x) ，所以需要一开始的变量代换 x (t )有反函数。定理 2 设x(t)是单调、可导的函数，且(t

3、) 0，又设 f (t) (t) 有原函数 (t)，则1f (x)dx f (t) (t)dt(t) C 1(x) C分析 要证明 f ( x)dx 1(x) C ，只要证明 1(x) 的导数为 f(x) ，d 1 d dt (x) dx dt dx证明 x (t) 单调、可导，dt ?dxx (t) 存在反函数 t(x)，且 dx1dxdt1(t)ddx1 1(x)d dtdt dxf (t)(t) 1(t)f(x)11 1(x)是 f (x)是一个原函数 f(x)dx 1(x) C .第二换元法，常用于如下基本类型类型 1 ：被积函数中含有 a2 x2 (a 0),可令 x asint (

4、并约定 t ( , )则 2222 a2 x2 acost ， dx a costdx ，可将原积分化作三角有理函数的积分.例 1 求a2 x2dx(a 0)22解 令 x asint ， t ( , )，则 a2 x2acost dx a costdta2 x2dxa costa costdt2 a2 atsin2t C24a2 (1 1 cos2t )dt227 / 7§ 4.2 换元积分法32at22asin t cost22ax x2 2arcsin a x C .2a 2借助下面的 辅助三角形 把sin t ， cost用 x表示.x2例 2 求dx4 x2解 令 x 2s

5、int ， t( , ) ，则 4 x2222cost ， dx 2costdt24sin 2 t2cost2costdt= 41 cos2t dt2word.§ 4.2 换元积分法9(2 2cos2 t) dt 2tsin2t C2t2sin t cost C2arcsin x2类型2：被积函数中含有2 x2 (a 0)可令 x atant 并约定 t ( 2 ,2)，则22 axasect ；2dx asec tdt；可将原积分化为三角有理函数的积分dxx2 a2(a 0)解 令 x atant， t, ) ，则 x2 a2 asect ， dx asec2 tdt22dx se

6、ctdt22xaln sect tant CClnaa4解 令 x2tant则(1222sec2 tdx x2 4x2 a2 xx2 2sect ，例 4 求dxx2 4 x22 dt4tan2 t 2sectsec2t dttan2 t2dx 2sec tdt1 cos2t dt sin2t cos2t1 cost2 dt4 sin2 t12 dsint sin2t4 sint4x4 x2 Cdx例 5求 (x2dx9)2分母是二次质因式的平方22解 令 x 3 tant ，则 x2 9 9sec2 t， dx23sec2 tdt练习：1求 2 12dx (第二换元积分法分)(x2 2x 5

7、)2解 (x2 2x 5) 222 (x 1)22 ，令 x 1 2tantt ( 2, 2)则dx22 (x2 2x 5) 222sec t4424 sec4 tdt1 (1 cos 2t) dt t16 16sintcost C16dx3sec2tdt1cos2 tdt(x2281sec49)t271(1cos 2t ) dtt1t1cos 2tdtcos2td 2t54545454 2 54t1 sin2tt1sin t cost C5425454541x13xCarctan2543 54 x291x 1 1 x 1arctan 2C162 8 x2 2x5类型3 被积分函数中含有x2

8、a2 (a 0) ，当xa 时，可令 x asect ，并约定t (0, ) ，则 x2 a2 atant ，dx asect tantdt ，当 x a时，可令 u x，则 u a，可 将原积分化为三角有理函数的积分。dx(a 0)解 被积函数的定义域为 (a) (a, ) ，当x (a, )时，令 x asect ， t (0, ) ，2则 x2 a2 atant，dx a sect tantdt 有dxx2 a2a sect tan t dt atantsectdtx ln(sec t tant) C ln(aln(xa2 ) C1.当 x (, a) 时，令xudxdux22 a22

9、ualn1C1lnxx22 a(ln xx22 aC1ln(2aln( xx2a2)C2x(, a)(a,)时，例 7 求dxx2 x21xx解 x (1, ) 时，令，则 u (a,ln(u ux sect , tdt)有222 a2 ) C122 x x ax2 a2 )(C1ln(x2 a2 )ln a2)x2 a2 ) C1C1x2dx a2 lnxa22 xa(0, ) 则 x22tant , dx sect tantdt ，有dx则usect tantcostdt sint(1, ) 有x2 1 C ，u u2 1u2 1 C2x1Cxword.7 / 7§ 4.2 换元

10、积分法13无论 x1 或 x 1 均有dxx注意： (1) 以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分(2) 在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原为 x 的函数时， 常常用到同角三角函数的关 系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”(3) 在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁 .dx(a 0)例 8 求 dx22x x a解法一(用第一换元法)dxx a 时 x x2xxdxd(ax)xx22a2 x(ax)2x1a arccos aC， xx a 时，令 ux则dx x x2du( u) u 21arccosu1 arcco

11、sa两式合并dx22x x a1arccosa解法第二换元法)1)当 x a 时，asect ,t (0, 2)则 x2atant , dx asect tantdtdxx x2a2a sect tan tdta secta tan t1 1dt t aa1 arccosa C. ax2)当 xa 时，dxdudux x2u u2u u21 arccos au1 arccos ax由(1)(2) 两种情况可得dxx x21 arccosa 归纳总结1、第二类换元积分法的思想若 f (x)dx中的被积函数 f(x) 为无理函数，可以选择适当的变量代换 x(t ) ，将无理函数f (x) 的积分f (x)dx 化为有理式的积分f(t)(t)dt.f (x)dxx(t) f (t) (t)dt(t)C 1(x) C2、第二类换元积分法适用的被积函数类型类型 1 ：被积函数中含有 a2 x2(a0), 可令 x asint (并约定 t ( , ) )则22a2 x2 acost ； dx a costdx 可将原积分化作三角有理函数的积分类型 2 ：被积函数中含有a2 x2 (a 0)可令x atant 并约定 t ( , ) ，则22a2 x2 asect ； dx a sec2 tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分 .类型 3被积分函数中含有x22 a(a 0