二轮复习--数列的应用

1、二轮复习-数列的应用适用学科高中数学适用年级高中三年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点数列求和方法；数列实际应用教学目标掌握数列求和的常用方法，注意数列的综合交汇知识问题，注重方程、分类讨论、转化与化归等数学思想在数列中的应用，掌握新定义类题型以及归纳猜想类题型的证明的解题方法教学重点数列专题与其他知识点的交汇问题，数学思想在本专题中的应用，探究性问题的解题思路及方法，新定义类题型以及归纳猜想类题型的证明的解题方法教学难点方程、分类讨论、转化与化归的数学思想；新定义类题型以及归纳猜想类题型的证明的解题方法教学过程一、 课堂导入高考考情分析一般每年考一个大题，通常与函数、不等式等知识相结合

2、，综合性较强、难度较大，且往往为压轴题具有较高的区分度，与函数、解析几何相结合的点列问题，与不等式结合的证明问题，以增长率、分期付款等实际问题为背景的应用问题等，要理清其解题思路二、复习预习复习整合知识点：数列求和方法；数列实际应用三、知识讲解考点11. 数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和(2)错位相减法这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可

3、用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并 考点22. 数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题

4、转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决. 四、例题精析考点一 等差数列与等比数列的综合应用例1数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式【规范解答】(1)由an22an1an2得an2an1an1an2.即bn1bn2.又b1a2a11.所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.【总结与反思】1在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型

5、，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数2在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解考点二 数列与其他知识交汇命题例2已知函数f(x)在(1,1)上有定义，f1，且满足对任意x、y(1，1)，有f(x)f(y)f，数列xn中，x1，xn1.(1)证明：f(x)在(1,1)上为奇函数；(2)求数列f(xn)的通项公式；(3)求证：>.【规范解答】(1)证明：令xy0，2f(0)f(0)，f(0)0.令yx，则f(x)f(x)f(0)0，f(x)f(x)，f(x)在(

6、1,1)上为奇函数(2)f(x1)f1，f(xn1)ff2f(xn)，2，即f(xn)是以1为首项，2为公比的等比数列，f(xn)2n1.(3)2>2，而2<2.>.【总结与反思】数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系，将所给条件向an与n的关系转化考点三 数列的实际应用例3 政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用an表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用bn表示该企业第n年的产值设a1a(万元)，且以后治理污染的环保费用每

7、年都比上一年增加2a万元；又设b1b(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用Pn表示企业第n年“对社会的有效贡献率”(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”；(2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?【规范解答】(1)a1a，b1b，Pn，P11%，P23.3%.故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意，得数列an是以a为首项，以2a为公差的等差数列，数列bn是以b为首项，以1.1为公比的等比数列，ana1(n1)da(n1)·2a(2n1)a，bnb1(110%)n11.1n1b.又Pn，Pn

8、.×1.1×1.1>1，Pn1>Pn，即Pn单调递增又P617.72%<20%，P723.03%>20%.故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.【总结与反思】用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果考点四 新定义题型 例4 定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数

9、列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2；f(x)2x；f(x)； f(x)ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()ABCD 【规范解答】法1：设an的公比为q.f(an)a，()2q2，f(an)是等比数列，排除B、D.f(an)，f(an)是等比数列，排除A.法2：不妨令an2n.因为f(x)x2，所以f(an)a4n.显然f(an)是首项为4，公比为4的等比数列因为f(x)2x，所以f(a1)f(2)22，f(a2)f(4)24，f(a3)f(8)28，所以416，所以f(an)不是等比数列因

10、为f(x)，所以f(an)()n.显然f(an)是首项为，公比为的等比数列因为f(x)ln|x|，所以f(an)ln2nnln2.显然f(an)是首项为ln2，公差为ln2的等差数列，故选C.考点五 方程思想在数列中的应用例5 已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和为35，求k的值【规范解答】(1) 设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33可得12d3.解得d2.从而，an1(n1)×(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2，进而由Sk35可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5

11、.又kN*，故k7为所求考点六 分类讨论思想在数列中的应用 例6 设函数f(x)lnxp(x1)，pR.(1)当p1时，求函数f(x)的单调区间；(2)设函数g(x)xf(x)p(2x2x1)对任意x1都有g(x)0成立，求p的取值范围【规范解答】(1)当p1时，f(x)lnxx1，其定义域为(0，)所以f (x)1.由f (x)10得0<x1，所以f(x)的单调递增区间为(0,1，单调递减区间为(1，)(2)由函数g(x)xf(x)p(2x2x1)xlnxp(x21)，得g(x)lnx12px.由(1)知，当p1时，f(x)f(1)0，即不等式lnxx1成立当p时，g(x)lnx12p

12、x(x1)12px(12p)x0，即g(x)在1，)上单调递减，从而g(x)g(1)0满足题意；当<p<0时，存在x(1，)使得lnx>0，12px>0，从而g(x)lnx12px>0，即g(x)在(1，)上单调递增，从而存在x0(1，)使得g(x0)g(1)0不满足题意；当p0时，由x1知g(x)xlnxp(x21)0恒成立，此时不满足题意综上所述，实数p的取值范围为p考点七 转化与化归思想的应用例7 设数列an的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成立(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog4|an|，求数列前n项和Tn.【规范解答】(1)

13、当n1时，a15S11，a1.又an5Sn1，an15Sn11，an1an5an1，即.数列an是首项为a1，公比为q的等比数列，an()n.(2)bnlog4|()n|n，所以()，Tn(1)()()1.【总结与反思】给出数列的递推关系求数列的通项、前n项和等一般要化归为基本数列；数列通项或前n项和中含有参数研究数列的单调性及最大(小)项等问题常常要分类讨论；给出某项或项的关系式或给出前n项和的关系等，常借助公式、性质列方程求解考点八 归纳猜想证明题型例8 设数列an的前n项和为Sn，满足Sn2nan13n24n，nN*，且S315.(1)求a1，a2，a3的值；(2)求数列an的通项公式【规范解答】(1)a1S12a23×124×12a27a1a2S24a33×224×24(S3a1a2)204(15a1a2)20，a1a28联立解得，a3S3a1a21587，综上a13，a25，a37.(2)由(1)猜想an2n1，以下用数学归纳法证明：由(1)知，当n1时，a132×11，猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即