初中数学一轮复习 几何与变换篇 第六节 特殊平行四边形导学练-人教版初中全册数学学案

1、特殊平行四边形学习目标：1. 熟练把握矩形的性质与判定；2. 熟练把握菱形的性质与判定；3. 熟练把握正方形的性质与判定；4. 熟练把握特殊平行四边形性质与判定的综合运用复习反馈：abcdo图61abcd图62a图63bcdo1. 矩形：（1）性质：如图61，在矩形abcd中，对角线ac，bd相交于点o. 则图中一定相等的线段共有_组，它们分别是_;（2）判定：如图62，在abcd中，请添加一个条件，使它变成一个矩形，则添加的条件可以是：_.2. 菱形：(1）性质：如图63，在菱形abcd中，对角线ac，bd相交于点o. 写出你能得到的结论：_；（2）判定：下列条件能得到四边形为菱形的有_.有

2、一组邻边相等的平行四边形；四边相等的四边形；对角线互相平分且相等的四边形；对角线互相垂直的四边形；对角线互相垂直且平分的四边形；3. 正方形：（1）性质：正方形四边_, 四角都是_；正方形对角线互相_,并且每一条对角线平分这组对角；（2）判定：有一组邻边相等的_形是正方形；有一个角是直角的_形是正方形；对角线_的四边形是正方形.4. 对称性：下列图形中，即是轴对称又是中心对称有_(填序号).等边三角形；平行四边形；矩形；菱形；正方形；正六边形；正五边形.合作探究：考点1 矩形的性质与判定的运用(1) （2015，广西玉林，11，3分）如图，abcd是矩形纸片，翻折b，d，使ad，bc边与对角线

3、ac重叠，且顶点b，d恰好落在同一点o上，折痕分别是ce，af，则等于（）a b2c1.5d考点：翻折变换（折叠问题）分析：根据矩形的性质和折叠的性质，得到ao=ad，co=bc，aoe=cof=90°，从而ao=co，ac=ao+co=ad+bc=2bc，得到cab=30°，acb=60°，进一步得到bce=，所以be=，再证明aoecof，得到oe=of，所以四边形aecf为菱形，所以ae=ce，得到be=，即可解答解答：解：abcd是矩形，ad=bc，b=90°，翻折b，d，使ad，bc边与对角线ac重叠，且顶点b，d恰好落在同一点o上，ao=ad

4、，co=bc，aoe=cof=90°，ao=co，ac=ao+co=ad+bc=2bc，cab=30°，acb=60°，bce=，be=abcd，oae=fco，在aoe和cof中，aoecof，oe=of，ef与ac互相垂直平分，四边形aecf为菱形，ae=ce，be=，=2，故选：b点评：本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是由折叠得到相等的边，利用直角三角形的性质得到cab=30°，进而得到be=，在利用菱形的判定定理与性质定理解决问题(2) （2015梧州,第11题3分）如图，在菱形abcd中，b=60°，ab=1，延长ad到点e，使d

5、e=ad，延长cd到点f，使df=cd，连接ac、ce、ef、af，则下列描述正确的是（） a 四边形acef是平行四边形，它的周长是4 b 四边形acef是矩形，它的周长是2+2 c 四边形acef是平行四边形，它的周长是4 d 四边形acef是矩形，它的周长是4+4考点： 菱形的性质；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质所有分析： 首先判断其是平行四边形，然后判定其是矩形，然后根据菱形的边长求得矩形的周长即可解答： 解：de=ad，df=cd，四边形acef是平行四边形，四边形abcd为菱形，ad=cd，ae=cf，四边形acef是矩形，acd是等边三角形，ac=1，ef=ac=1，过

6、点d作dgaf于点g，则ag=fg=ad×cos30°=，af=ce=2ag=，四边形acef的周长为：ac+ce+ef+af=1+1+=2+2，故选b点评： 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质及矩形的判定与性质的知识，解题的关键是了解有关的判定定理，难度不大考点2 菱形的性质与判定的运用(1) （2015，广西钦州，6，3分）如图，要使abcd成为菱形，则需添加的一个条件是（）aac=ad bba=bc cabc=90° d ac=bd考点：菱形的判定专题：证明题分析：利用邻边相等的平行四边形为菱形即可得证解答：解：如图，要使abcd成为菱形，则需添加

7、的一个条件是ba=bc，故选b点评：此题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关键(2) （2015福建龙岩10，4分）如图，菱形abcd的周长为16，abc=120°，则ac的长为（）a4b4c2d2考点：菱形的性质分析：连接ac交bd于点e，则bae=60°，根据菱形的周长求出ab的长度，在rtabe中，求出be，继而可得出bd的长解答：解：在菱形abcd中，abc=120°，bae=60°，acbd，菱形abcd的周长为16，ab=4，在rtabe中，ae=absinbae=4×=2，故可得ac=2ae=4故选a点评：此题考查

8、了菱形的性质，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角考点3 正方形的性质与判定的运用(1) （2015湖北十堰，第10题3分）如图，正方形abcd的边长为6，点e、f分别在ab，ad上，若ce=3，且ecf=45°，则cf的长为（）a2b3cd考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：首先延长fd到g，使dg=be，利用正方形的性质得b=cdf=cdg=90°，cb=cd；利用sas定理得bcedcg，利用全等三角形的性质易得gcfecf，利用勾股定理可得ae=3，设af=x

9、，利用gf=ef，解得x，利用勾股定理可得cf解答：解：如图，延长fd到g，使dg=be；连接cg、ef；四边形abcd为正方形，在bce与dcg中，bcedcg（sas），cg=ce，dcg=bce，gcf=45°，在gcf与ecf中，gcfecf（sas），gf=ef，ce=3，cb=6，be=3，ae=3，设af=x，则df=6x，gf=3+（6x）=9x，ef=，（9x）2=9+x2，x=4，即af=4，gf=5，df=2，cf=2，故选a点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键(2) （2015，广西玉林，18，3

10、分）如图，已知正方形abcd边长为3，点e在ab边上且be=1，点p，q分别是边bc，cd的动点（均不与顶点重合），当四边形aepq的周长取最小值时，四边形aepq的面积是考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质专题：计算题分析：根据最短路径的求法，先确定点e关于bc的对称点e，再确定点a关于dc的对称点a，连接ae即可得出p，q的位置；再根据相似得出相应的线段长从而可求得四边形aepq的面积解答：解：如图1所示，作e关于bc的对称点e，点a关于dc的对称点a，连接ae，四边形aepq的周长最小，ad=ad=3，be=be=1，aa=6，ae=4dqae，d是aa的中点，dq是aae的中位线，

11、dq=ae=2；cq=dccq=32=1，bpaa，bepaea，=，即=，bp=，cp=bcbp=3=，s四边形aepq=s正方形abcdsadqspcqsbep=9addqcqcpbebp=9×3×2×1××1×=，故答案为：点评：本题考查了轴对称，利用轴对称确定a、e，连接ae得出p、q的位置是解题关键，又利用了相似三角形的判定与性质，图形分割法是求面积的重要方法考点4特殊平行四边形的探索研究(1) （2015丹东，第7题3分）过矩形abcd的对角线ac的中点o作efac，交bc边于点e，交ad边于点f，分别连接ae、cf若ab

12、=，dcf=30°，则ef的长为（） a 2 b 3 c d 考点： 菱形的判定与性质；矩形的性质分析： 求出acb=dac，然后利用“角角边”证明aof和coe全等，根据全等三角形对应边相等可得oe=of，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形aecf是菱形，再求出ecf=60°，然后判断出cef是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得ef=cf，根据矩形的对边相等可得cd=ab，然后求出cf，从而得解解答： 解：矩形对边adbc，acb=dac，o是ac的中点，ao=co，在aof和coe中，aofcoe（asa），oe=of，又efac，四边形aecf

13、是菱形，dcf=30°，ecf=90°30°=60°，cef是等边三角形，ef=cf，ab=，cd=ab=，dcf=30°，cf=÷=2，ef=2故选a点评： 本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点在于判断出cef是等边三角形(2) （2015梧州,第25题12分）如图，在正方形abcd中，点p在ad上，且不与a、d重合，bp的垂直平分线分别交cd、ab于e、f两点，垂足为q，过e作ehab于h（1）求证：hf=ap；（2）若正方形abcd的边长为12，ap=4，求线段eq的长考点

14、： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理所有分析： （1）先根据eqbo，ehab得出eqn=bhm=90°根据emq=bmh得出emqbmh，故qem=hbm由asa定理得出apbhfe，故可得出结论；（2）由勾股定理求出bp的长，根据ef是bp的垂直平分线可知bq=bp，再根据锐角三角函数的定义得出qf=bq的长，由（1）知，apbhfe，故ef=bp=4，再根据eq=efqf即可得出结论解答： （1）证明：eqbo，ehab，eqn=bhm=90°emq=bmh，emqbmh，qem=hbm在rtapb与rthfe中，apbhfe，hf=ap；（2）解：由勾

15、股定理得，bp=4ef是bp的垂直平分线，bq=bp=2，qf=bqtanfbq=bqtanabp=2×=由（1）知，apbhfe，ef=bp=4，eq=efqf=4=点评： 本题考查的是正方形的性质，熟知正方形的性质及全等三角形的判定与性质是解答此题的关键形成提升：1. （2015葫芦岛）（第16题，3分）如图，在菱形abcd中，ab=10，ac=12，则它的面积是 2. （2015辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=7，点e为bc上一动点，把abe沿ae折叠，当点b的对应点b落在adc的角平分线上时，则点b到bc的距离为（）a1或2b2或3c3或4d4或

16、53. （2015贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形abcd是菱形，ac=8，db=6，dhab于h，则dh=（）a bc12d244. （2015黔西南州）（第3题）如图，在菱形abcd中，ac与bd相交于点o，ac=8，bd=6，则菱形的边长ab等于（） a 10 b c 6 d 55. （2015内蒙古赤峰12，3分）如图，m、n分别是正方形abcd边dc、ab的中点，分别以ae、bf为折痕，使点d、点c落在mn的点g处，则abg是 三角形6. （2015齐齐哈尔,第18题3分）菱形abcd的对角线ac=6cm，bd=4cm，以ac为边作正方形acef，则bf长为 7. （2015

17、齐齐哈尔,第20题3分）如图，正方形abcb1中，ab=1ab与直线l的夹角为30°，延长cb1交直线l于点a1，作正方形a1b1c1b2，延长c1b2交直线l于点a2，作正方形a2b2c2b3，延长c2b3交直线l于点a3，作正方形a3b3c3d4，依此规律，则a2014a2015= 8. （2015齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形abcd和正方形cgef中，点b、c、g在同一条直线上，m是线段ae的中点，dm的延长线交ef于点n，连接fm，易证：dm=fm，dmfm（无需写证明过程）（1）如图2，当点b、c、f在同一条直线上，dm的延长线交eg于点n，其余条件不变，试

18、探究线段dm与fm有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点e、b、c在同一条直线上，dm的延长线交ce的延长线于点n，其余条件不变，探究线段dm与fm有怎样的关系？请直接写出猜想【归纳总结】【形成提升参考答案】1. （2015葫芦岛）（第16题，3分）如图，在菱形abcd中，ab=10，ac=12，则它的面积是96考点：菱形的性质分析：首先根据勾股定理可求出bo的长，进而求出bd的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解解答：解：四边形abcd是菱形，acbd，ac=12，ao=6，ab=10，bo=8，bd=16，菱形的面积s=acbd=×16

19、15;12=96故答案为： 96点评：本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键2. （2015辽宁省朝阳,第题3分）如图，在矩形abcd中，ab=5，bc=7，点e为bc上一动点，把abe沿ae折叠，当点b的对应点b落在adc的角平分线上时，则点b到bc的距离为（）a1或2b2或3c3或4d4或5考点：翻折变换（折叠问题）分析：如图，连接bd，过点b作bmad于m设dm=bm=x，则am=7x，根据等腰直角三角形的性质和折叠的性质得到：（7x）2=25x2，通过解方程求得x的值，易得点b到bc的距离解答：解：如图，连接bd，过点b作bmad于m

20、点b的对应点b落在adc的角平分线上，设dm=bm=x，则am=7x，又由折叠的性质知ab=ab=5，在直角amb中，由勾股定理得到：am2=ab2bm2即（7x）2=25x2，解得x=3或x=4，则点b到bc的距离为2或1故选：a点评：本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题）解题的关键是作出辅助线，构建直角三角形amb和等腰直角bdm，利用勾股定理将所求的线段与已知线段的数量关系联系起来3. （2015贵州省黔东南州,第6题4分）如图，四边形abcd是菱形，ac=8，db=6，dhab于h，则dh=（）a bc12d24考点：菱形的性质分析：设对角线相交于点o，根据菱形的对角线互相垂直平分

21、求出ao、bo，再利用勾股定理列式求出ab，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可解答：解：如图，设对角线相交于点o，ac=8，db=6，ao=ac=×8=4，bo=bd=×6=3，由勾股定理的，ab=5，dhab，s菱形abcd=abdh=acbd，即5dh=×8×6，解得dh=故选a点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程4. （2015黔西南州）（第3题）如图，在菱形abcd中，ac与bd相交于点o，ac=8，bd=6，则菱形的边长ab等于（

22、） a 10 b c 6 d 5考点： 菱形的性质分析： 根据菱形的对角线互相垂直平分求出oa、ob，再利用勾股定理列式进行计算即可得解解答： 解：四边形abcd是菱形，oa=ac，ob=bd，acbd，ac=8，bd=6，oa=4，ob=3，ab=5，即菱形abcd的边长是5故选：d点评： 本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记性质是解题的关键5. （2015内蒙古赤峰12，3分）如图，m、n分别是正方形abcd边dc、ab的中点，分别以ae、bf为折痕，使点d、点c落在mn的点g处，则abg是等边三角形考点：翻折变换（折叠问题）；等边三角形的判定；正方形的性质分

23、析：由折叠的性质可知ag=ad，bg=bc，然后根据正方形的性质可知：ad=ab=bc，从而可知：ag=ab=bc解答：解：由折叠的性质可知ag=ad，bg=bc，四边形abcd是正方形，ad=ab=bcag=ab=bcabg是等边三角形故答案为：等边点评：本题主要考查的是翻折的性质、等边三角形的判定和正方形的性质，由折叠的性质证得：ag=ad，bg=bc是解题的关键6. （2015齐齐哈尔,第18题3分）菱形abcd的对角线ac=6cm，bd=4cm，以ac为边作正方形acef，则bf长为5cm或cm考点： 菱形的性质；正方形的性质专题： 分类讨论分析： 作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平

24、分求出ao、bo，然后分正方形在ac的两边两种情况补成以bf为斜边的rtbgf，然后求出bg、fg，再利用勾股定理列式计算即可得解解答： 解：ac=6cm，bd=4cm，ao=ac=×6=3cm，bo=bd=×4=2m，如图1，正方形acef在ac的上方时，过点b作bgaf交fa的延长线于g，bg=ao=3cm，fg=af+ag=6+2=8cm，在rtbfg中，bf=cm，如图2，正方形acef在ac的下方时，过点b作bgaf于g，bg=ao=3cm，fg=afag=62=4cm，在rtbfg中，bf=5cm，综上所述，bf长为5cm或cm故答案为：5cm或cm点评： 本题

25、考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象直观7. （2015齐齐哈尔,第20题3分）如图，正方形abcb1中，ab=1ab与直线l的夹角为30°，延长cb1交直线l于点a1，作正方形a1b1c1b2，延长c1b2交直线l于点a2，作正方形a2b2c2b3，延长c2b3交直线l于点a3，作正方形a3b3c3d4，依此规律，则a2014a2015=2（）2014考点： 相似三角形的判定与性质；正方形的性质专题： 规律型分析： 由四边形abcb1是正方形，得到ab=ab1，abcb1，于是得到

26、aba1c，根据平行线的性质得到ca1a=30°，解直角三角形得到a1b1=，aa1=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，找出规律anan+1=2（）n，答案即可求出解答： 解：四边形abcb1是正方形，ab=ab1，abcb1，aba1c，ca1a=30°，a1b1=，aa1=2，a1b2=a1b1=，a1a2=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，anan+1=2（）n，a2014a2015=2（）2014，故答案为：2（）2014点评： 本题考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，平行线的性质，熟记各性质并求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键8. （2015齐齐哈尔,第26题8分）如图1所示，在正方形abcd和正方形cgef中，点b、c、g在同一条直线上，m是线段ae的中点，dm的延长线交ef于点n，连接fm，易证：dm=fm，dmfm（无需写证明过程）（1）如图2，当点b、c、f在同一条直线上，dm的延长线交eg于点n，其余条件不变，试探究线段dm与fm有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图3，当点e、b、c在同一条直线上，dm的延长线交c