几何学概论期末试题及答案.

1、几何学概论试题(1)1. 试确定仿射变换，使y轴，x轴的象分别为直线 x y 0 , x_y_1=0，且点(1, 1)的象为原点.(15)2. 利用仿射变换求椭圆的面积.(10 )3. 写出直线2x1 +3x2 - x3 =0, x轴，y轴,无穷远直线的齐次线坐标.(10 )4. 叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15 )5. 已知 A (1,2,3), B(5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5), 验证它们共线，并求(AB,CD)的 值.(8 )6设 P1 (1,1,1),P2(1,-1,1),P4(1,0,1)为共线三点,且(RF2,P3F4)=2,求 P3的坐标.(

2、12)7. 叙述并证明帕普斯(Pappus)定理.(10 )8. 一维射影对应使直线I上三点P (-1), Q (0), R (1)顺次对应直线l上三点P (0), Q (1), R (3),求这个对应的代数表达式.(10 )9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.(10 )高等几何试题(2)1. 求仿射变换 =7-y 1, = 4x 2y 4的不变点和不变直线.(15)2. 叙述笛沙格定理，并用代数法证之.(15 )3. 求证 a(1,2,-1) , b (-1,1,2), c(3,0,-5) 共线，并求 | 的值，使Gmbj(i =1,2,3). ( 10 )4. 已知直线l1,l

3、2,l4的方程分别为2论X2-x3=0,x1-x2，x3=0,2x1 =0，且(dU) ，求丨2的方程.(15 )35. 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系.(10 )6. 试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应.(10 )一 17. 求两对对应元素，其参数为1,0 r 2,所确定对合的参数方程.(10 )28.两个重叠一维基本形 A B,A 、B成为对合的充要条件是对应点的参数与J满足以下方程：a；. ； .亠 b（亠；.）亠 d = 0（ad - b? = 0） （ 15 ）高等几何试题（3）1. 求仿射变换x:7x y 1, y工4x 2y 4的不变点和不变直线.

4、（15 ）2. 求椭圆的面积.（10 ）3. 写出直线2x1 +3x2 - X3=0, x轴，y轴，无穷远直线的齐次线坐标.（10 ）4. 叙述笛沙格定理，并用代数法证之.（15 ）5. 已知直线 h ,12,14 的方程分别为 2xj x2 - x3 = 0 , Xj - x2 x3 = 0 ,2X1 二 0，且（hyj）-，求 * 的方程.（15 ）36. 在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合.（15 ）7. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系，试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系 .（20 ） 2005 2006第二学期期末考试试题高等几何试题（A）

5、一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、直线3x y =0上的无穷远点坐标为 3、过点（1,i,0 ）的实直线方程为 4、二重元素参数为 2与3的对合方程为 5、 二次曲线6x2 - y2 11y - 24 = 0过点P（1,2）的切线方程 判断题（每题2分共10分）1、 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、 一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、 欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5、 共线点的极线必共点， 共点线的极点必共线（）（7分）求一仿射变换，它使直线x 2y

6、 -0上的每个点都不变，且使点（1,-1）变为（-1 , 2）四、（8 分）求证：点 A（1,2,_1）,B（_1,1,2）,C（3,0,5）三点共线，并求 t,S使 g =tai +s b，（i =1,2,3）五、（io分）设一直线上的点的射影变换是X =2证明变换有两个自对应点，且这两自x+4对应点与任一对对应点的交比为常数。六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线2x123x>2x32 -6x2- 2x1x- 4x2x= 0 的极线（2）已知二阶曲线外一点 P求作其极线。（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格

7、定理的逆定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1,b1,5,-1交点且属于二级曲线2 2 24u1U2 -2 U30勺直线十、（10分）已知 A, B,P,Q, R是共线不同点，如果（PA,QB）二1,（QR, AB）二1，求（PR, AB）高等几何试题（B）一、 填空题（每题3分共15分）_L x =7x-v 11、 仿射变换/y 的不变点为、目=4x +2y +42、两点决定一条直线的对偶命题为 3、直线i ,2,1-i上的实点为 4、若交比（AB,CD）=2 则（AD,BC）=5、二次曲线中的配极原则 、判断题（每题 2分共10分）1、 不变直线上的点都是不变点（）2、 在一复直线上有

8、唯个实点（）3、 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群二仿射群二正交群（）5、 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）、（7 分）经过A（-3,2）和B（6,1）的直线AB与直线x，3y-6=0相交于P，求（ABP）四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线 匚丄2, L3,L4的方程分别为：2x _ y 1 二 0,3x y _2 = 0,7x _ y = 0,5x= 0求证四直线共点，并求（L|L2,L3L4）六、（10分）利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于-一占八

9、、七、（10分）求（1） 二阶曲线xj _2 x22 + 3x32 x” =0过点P（2,J|,1）的切线方程2 2 2（2）二级曲线UiU2 -17U3 =0在直线L1 , 4, 1上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法） 九、（10 分）已知二阶曲线（C）: 2xj+4x2+6x,x3+x32 = 0（1）求点P（1,2,1）关于曲线的极线（2）求直线3x, -X2 6X3 =0关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（C）、填空题（每题 3分共15分）f /x = 2x + v 16、直线x + y-2=0在

10、仿射变换§丫 下的像直线 ly =x-y+37、X 轴 Y 轴上的无穷远点坐标分别为 8、过点（1,-i ,2 ）的实直线方程为9、 射影变换2-3 = 0自对应兀素的参数为 2 2 210、二级曲线U1U2 -17U3 =0在直线上1,4,1的切点方程 三、判断题（每题2分共10分）1、 仿射变换保持平行性不变（）2、 射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、 线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过 P点（）5、 不共线五点可以确定一条二阶曲线（）2x 1（7分）已知ox轴上的射影变换 x'，求坐标原点，无穷远点的对应点四、（8分

11、）已知直线 a,c, d的方程分别为 2捲 x2 -X3 = 0,捲一x2 X3 = 0,为=0 且(ab, cd)I求直线b的方程。五、（10分）已知同一直线上的三点 代B,C求一射影变换使此三点顺次变为B,C,A并判断变换的类型,六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。=论 +x2七、（10分）求射影变换丿Px2 = x2的不变点坐标kPX3 = X3八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线a1,3,1,b1,5, -1交点且属于二级曲线III4ui Ui -I U30勺直线十、（10分）试证：双曲型对合的任何一对对应元素P； P',与其两个二重元素

12、 E,F调和共轭即（PP： EF ）=-1参考答案高等几何标准答案（A）一、填空题：（每空3分共15分）1、单比，交比I、（1,-3,0）3、x3 =04、I：；） 1|=05、1Ix1 7x2 -I6x3 二 0二、判断题（每题 I分共10分）1、错，I、错，3、对，4、错，5、对三、 解：在直线 x，Iy-1=0上任取两点 A（1,0）, B（-1,1）I分由 A（1,0）A（1,0）,B（-1,1） > B（-1,1）,（1,-1） > （-1,2）设仿射变换为x =a11x 2y a13将点的坐标代入可解得ly =anx + aiiy+ai3x' -2x 2y -1

13、'3°37分y =_：x_2y+：L 2212-1四、证明：因为-112=0所以三点共线4分30-5由：t _s =3,2t s =0, _t 2s = _5 解得 t =1,s 二-2所以 G -2d,(i =1,2,3)8分五、 证明：令x=x由x'二 一2得x2x-2=0解得捲=1公2=-2x +4即有两个自对应点4分3k +25设k与k'对应，有(1)(-2),kk') 为常数 10 分k +422注：结果 有2也对，不过顺序有别。5六、证明：设两直线为：a:k(x b|,b: k2x b2 ' 's小卄+&亠x =a

14、x +by +c22相似变换为：§',a2+b2式0y -七x ay d将变换代入直线a的方程得：人二桓 b同理可得k2 = b 5分 a炖ak2b二= 即 tan c a,b x tan c a ,b >1 k2 k11 k2k即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、 解：(1)设(5，1，7)为P点坐标，二阶曲线矩阵为广 2-3-1 'A= -33-21-1 -21 丿所以点P的极线为S-02-3-P即Sp =(5,1,7)-33-2%=0 得 x 2=05分<-1-21丿<x3>(2 )略八(在后边)九、解：通过直线 a1,3,1,b1,

15、5, -1的交点的直线的线坐标为1+k,3+5k,1 k2分2 1 11即 27k42k 11 =0 解得 k ,k10分3 9十、解：设 P 二 A *B,Q 二 A kzB, R 二 A ksB(PA,QB) = -1,得(PA,QB) =1 一(PQ, AB)由k1(AB,PQ) =(PQ, AB) =2- ,k 2k2k2由(qr,ab) - -1,得(AB,QR) = 2 - -1= k - -k2ka所以(PR,AB) =(AB, PR) =8 =-210分ka八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。4分证明；如图三点形ABC与A1B1C1的

16、三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点考虑三点形BLB 1与CMC1则有对应顶点连线共点 N，故对应边的交点 A,A1,0共线14、5、如果P点的极线过点Q则Q点的极线也过P点。2二、判断题：(每题2分共10分)1、错，2,对，3、错，4、对 ，5、对三、解：过代B的直线方程为：x，9y-15=02分直线AB与x 3y6=0的交点为P(|,|)所以（ABP ） = - 1x = x + a四、证明：设平移变换的表达式为T: § 'y =y + b设任意两个平移变换为： ' ' x=xgx=x+a2_ x=x+ai+a2T,1,T2< ,-则T2

17、T, + '12仍为一个平移变换 4分y = ybyydy yDSf'f 'x x + ax x a又对任意变换Tj _ '贝UT'：* ,一也是一个平移变换ly =y +by =y _b所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。8分五、解：方程转化为齐次坐标形式：2x, -x2 x3 = 0,3x, x2 -2x3 = 0,7 x, -x2 = OQx, -x3 = 02 分因为：L2L1 L2,LL1 L2 所以:（L2L1 丄 3L4X2故（“21丄3L4） =?10 分六、证明：如图GAHEMC7D:R2 -1 131-231-2=0且7-1071

18、0501=0 所以四直线共点。考虑三点形 PEH与RGM则GH平行BC , RM也平行BC所以GH与RM相交于无穷远处。同理 HE与GM ,PE与GR相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应10分顶点连线共点。即 PR,GE,HM相交于一点。七、(1)因为点P在二阶曲线上，所以切线方程为:10120-20X2103二丿=3x -2 - 10x2 4x3=0Sp=(2,在二级曲线上所以切点方程为10分八、证明：(1)如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。3分同理 0=mB+miBO n C 1 ri C故有 kA KA -(mB m1B1) = 0 即 kA -

19、 mB 二- k1A L同理 mB - nC = -(m<|B<| -'mG) = M nC -'kA = -(mC) -'krAJ = N三式相加得 L M N =0 所以三点共线。10分n00、£Tl=(1,4,1)010U21°0一17(2) 因为直线1,14,=4u2 -17u3 = 00 23、Sp=(1,2,1)2 0 0X22 0 1丿=9xi+2x2+4x3=0九、解：（1） P点的极线为:设直线的极点为（a,b,c）则有23'3、2 0 0b=-1<3 0 h<c>3(2)解方程组可得极点（2,

20、 -丄，-6）210分十、证明：如图EABC为圆内接正方形，P为圆上任意点。因为AD二AB所以PA为角DPB的平分线。同理可证明 PC是角EPB平分线。即 PRPC是角DPB的内外角平分线。所以直线PD, PA, PB, PC构成调和线束。10分高等几何标准答案（C）一、填空题：（每题3分共15分）II1、2x -y 1=02、（ 1，0，0），（0，1，0）3、2为-x3 = 04、-1，35、u1 4u2 T7u3 二 0二、判断题：（每题2分共10分）1、 对，2、错，3、对，4、对，5、错三、 解：变换化为齐次坐标形式：“，二2为-X23分lpX2 =X1 +3X2将坐标原点（0， 1

21、），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为：（-1，3 ）和（2，1）7 分四、解：由题意得d =a c 设b = a kc则(ab, cd)二 k而(ac,bd) =1 _(ab,cd) =153b = 2% 2x2x3(% -x2 x3) = 0整理得：11为-2x2 - 2x3 -0五、解：在直线上建立适当坐标系使代B,C的坐标分别为A(0,1), B(1,1)C(1,0)则有 A(0,1) > B(1,1),B(1,1)C(1,0),C(1,0) > A(0,1)将坐标代入可求得设变换为"'呵咅乜泌J i x2 = a21x1 - a22x2非齐次形式为：xxx 1 = 0因方程 X2 -x1 =0无实数解所以变换是椭圆形。10分六、证明：设两直线为：aiyKx d,b:y= k2x b2相似变换为：x hx Fy飞a2"2"y = -bx ay d将变换代入直线a的方程得：k1'同理可得k2'仁卫a-