圆锥曲线大题题型归纳

1、圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数 a、b、c、e、 p等等；2齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注 意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标 公式两个、斜率公式一个共五个等式；5距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1“常规求值”问题需要找等式， “求范围”问

2、题需要找不等式；2“是否存在”问题 当作存在 去求，若不存在则计算时自然会无解；3证明“过定点”或“定值” ，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再 说明与此变量 无关；4证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5有些题思路易成，但难以实施。这就要 优化方法 ，才能使计算具有 可行性，关键是积累“转化”的经验；6大多数问题只要真 实、准确 地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题2 y 2例1、 已知 F1， F2为椭圆 x + y =1的两个焦点， P在椭圆上，

3、且 F1PF2=60，则 F1PF2的面积为多少？100 64点评： 常规求值问题的方法 ：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。变式 1、已知 F1,F2 分别是双曲线 3x2 5y2 75的左右焦点， P是双曲线右支上的一点，且F1PF2 =120 ，求 F1PF2 的面积。22变式 2、已知 F1，F2为椭圆 x y2 1（0b b 0）的离心率为 焦距为 2ab（1）求椭圆的方程；精心整理 ，求 b的值3 题型二过定点、定值问题例 2（淄博市 2017届高三 3月模拟考试）已知椭圆 C： x2 y2 1（a b 0）经过点 （1, 3），离心 a2 b22率为 3 ，点 A为椭圆 C的

4、右顶点，直线 l与椭圆相交于不同于点 A的两个点 P（x1,y1）,Q（x2, y2） .2（）求椭圆 C 的标准方程；（）当 AP AQ 0时，求 OPQ 面积的最大值；（）若直线 l的斜率为 2，求证： OPQ 的外接圆恒过一个异于点 A的定点.处理定点问题的方法 ：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。22例3、（聊城市 2017届高三高考模拟（一） ）已知椭圆 C:x2 y2 1 a b 0 的离心率为 3，一个 a b 2 顶点在抛物线 x2 4 y的准线上 .（）求椭圆 C 的方程；（）设 O为坐标原点， M,N

5、为椭圆上的两个不同的动点，直线 OM,ON 的斜率分别为 k1 和k2，是否存在常数 p ，当 k1k2 p 时 MON 的面积为定值？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由 .22变式 1、已知椭圆 C:x2 y2 1 a b 0 的焦距为 2 3，点A1, A2为椭圆的左右顶点，点 M为椭圆 ab（2）过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆于 P，Q两点， C，D为椭圆上位于直线 PQ异侧的两 个动点，满足CPQ=DPQ，求证：直线 CD的斜率为定值，并求出此定值22变式 3、（临沂市 2017届高三 2月份教学质量检测（一模）如图，椭圆C： x2 y2 1 a b 0 的 ab离心

6、率为 3，以椭圆 C的上顶点 T为圆心作圆 T:x2 y 12 r2 r 0 ，圆T与椭圆 C在第一象 限交于点 A ，在第二象限交于点 B.（I）求椭圆 C 的方程；uur uur（II）求TA TB的最小值，并求出此时圆 T 的方程；（III）设点 P是椭圆 C上异于 A ，B的一点，且直线 PA，PB分别与 Y轴交于点 M，N，O为坐标原 点，求证： OM ON 为定值22例 4、设椭圆 C： x2 y2 1（ab0）的一个顶点与抛物线 C：x2=4 3y 的焦点重合， F1，F2 分别 ab是椭圆的左、右焦点，且离心率 e=1 且过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C交于 M、N两

7、点21）求椭圆 C的方程；2）是否存在直线 l ，使得若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由3）若 AB是椭圆 C经过原点 O的弦， MNAB，求证：为定值22变式 1、（烟台市 2017届高三 3月高考诊断性测试（一模）如图，已知椭圆 C:x2 y2 1（a b 0） a2 b2的左焦点 F 为抛物线 y2 4x 的焦点，过点 F 做 x 轴的垂线交椭圆于 A,B 两点，且 AB 3.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若 M , N为椭圆上异于点A的两点， 且满足 AM AF AN AF ，问直线 MN 的斜率是否为定 |AM | |AN|值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理

8、由 . 题型三“是否存在”问题22例 5、（泰安市 2017 届高三第一轮复习质量检测（一模） ）已知椭圆 C：x2 y2 1 a b 0 经过点ab2,1 ，过点 A（0，1）的动直线 l 与椭圆 C交于 M、N 两点，当直线 l 过椭圆 C的左焦点时，直线l 的斜率为 22.精心整理（I）求椭圆 C 的方程；（）是否存在与点 A 不同的定点 B，使得 ABMABN恒成立?若存在，求出点 B 的坐标；若不存在，请说明理由变式 1、在平面直角坐标系 xOy中，点 B与点 A（-1 ，1）关于原点 O对称， P是动点，且直线 AP 与 BP的斜率之积等于 13（）求动点 P 的轨迹方程；（）设直

9、线 AP和 BP分别与直线 x=3交于点 M，N，问：是否存在点 P使得 PAB与 PMN的面积 相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由题型四最值问题例 6.【2016高考山东理数】平面直角坐标系 xOy中，椭圆 C：x2 y2 1 ab0 ?的离心率是 3 ， a b 2抛物线 E：x2 2y的焦点 F是 C的一个顶点 .（I ）求椭圆 C 的方程；（II）设 P是 E上的动点，且位于第一象限， E在点 P处的切线 l与 C交与不同的两点 A，B，线段AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x轴的直线交于点 M.（i）求证：点 M在定直线上 ;（ii）直线l与y轴交

10、于点 G，记PFG的面积为S1， PDM 的面积为S2，求S1的最大值及取得S2最大值时点 P的坐标 .例7、（滨州市 2017届高三下学期一模考试） 如图，已知DP y轴，点D为垂足，点M 在线段DP的延长线上，且满足 DP PM ，当点 P在圆 x2 y2 3上运动时 .（1）当点 M 的轨迹的方程；（2）直线l : x my 3（m 0）交曲线C于A,B两点，设点 B关于x轴的对称点为 B1（点B1与点 A不 重合），且直线 A与 x 轴交于点 E. 证明：点 E 是定点； EAB 的面积是否存在的最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由 .例 8、（潍坊市 2017届高三下学

11、期第一次模拟）已知椭圆 C 与双曲线 y2 x2 1有共同焦点，且离 心率为 6 3（I）求椭圆 C 的标准方程；（）设A为椭圆 C的下顶点， M、N为椭圆上异于 A的不同两点，且直线 AM 与AN的斜率之积为 3（i）试问 M、N 所在直线是否过定点 ?若是，求出该定点；若不是，请说明理由； （ii）若P为椭圆 C上异于 M、N的一点，且 MP NP ，求 MNP的面积的最小值点评： 最值问题的方法 ：几何法、配方法（转化为二次函数的最值） 、三角代换法（转化为三角函 数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。变式 1、（2015?高安市校级一模）已知方向向量为 （1， 3）的直线

12、 l 过点（0，-2 3）和椭圆C：12A、B，F 为椭圆 C的左焦点，求三角形 ABF22ax 2 by2 1 （ab0）的右焦点，且椭圆的离心率为 （1）求椭圆 C的方程；（2）若过点 P（-8 ，0）的直线与椭圆相交于不同两点 面积的最大值2变式 2、 （青岛市 2017年高三统一质量检测）已知椭圆: x2 y2 1（a 1）的左焦点为 F1，右顶点为 A1，a23 2 1 6 上顶点为 B1，过 F1、 A1、 B1三点的圆 P的圆心坐标为 （ ,）1 题型五求参数的取值范围 例 9、（济宁市 2017届高三第一次模拟（3月）如图，已知线段 AE，BF为抛物线 C:x2 2py p 0

13、的两条弦，点 E、F不重合函数 y ax a 0且a 1 的图象所恒过的定点为抛物线 C 的焦点 （I）求抛物线 C 的方程； （）已知 A 2,1 、B 1， ，直线 AE与 BF的斜率互为相反数，且 A ，B两点在直线 EF的两侧 4问直线 EF 的斜率是否为定值 ?若是，求出该定值；若不是，请说明理由求 OE OF 的取值范围22变式 1、（德州市 2017届高三第一次模拟考试）在直角坐标系中，椭圆 C1： x2 y2 1（a b 0）的 a 2 b2左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，其中F2也是抛物线 C2：y2 4x的焦点，点 P为C1与C2在第一象限的 1 1 2 2 （）求椭圆

14、的方程；（）若直线 l:y kx m（k,m为常数， k 0）与椭圆 交于不同的两点 M 和N （）当直线 l过E（1,0） ，且 EM 2EN 0时，求直线 l的方程；（）当坐标原点 O到直线 l的距离为 3时，求 MON 面积的最大值2交点，且 |PF2 | 53（）求椭圆的方程；）过 F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于 M 、 N两点，若线段 OF 2上存在定点 T（t,0） 使得以TM 、TN 为邻边的四边形是菱形，求 t的取值范围 小结解析几何在高考中经常是两小题一大题： 两小题经常是常规求值类型， 一大题中的第一小题也 经常是常规求值问题， 故常用方程思想先设后求即可。 解决第二小题时常用韦达定理法结合以上各 种题型进行处理，常按照以下七步骤：一设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在； 设为 y=kx+b 与 x=mmy+n的区别） 二设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它 , 即“设而不求”）三则联立方程组；四则消元韦达定理； （提醒： 抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反 而简单）五根据条件重转化；常有以下类型：“以弦 AB为直径的圆过点 0” OA OB K1 K2 1 （提醒：需讨论 K是否存在） OA OB 0 x1x2 y1 y2 0“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题”“向量的数量积大于、等于、小于