内积空间大体概念

1、第四章 Hilbert空间一 内积空间的大体概念设H是域K上的线性空间，对任意x,y H ,有一个中K数 (x,y)与之对应，使得对任意x,y,z H ; K知足D (x,y) 0； (x,y)=0,当且仅当 x 0；2) (x,y) = (y,x)；3) ( x,y) (x,y)；4) (x y,z) = (x,z)+(y,z)；称(，)是H上的一个内积，H上概念了内积称为内积空间。定理设H是内积空间，那么对任意x, y H有：2l(x,y) | (x,x)(y,y)。设H是内积空间，对任意x H ,命l|x|(x,x)则| |是H上的一个范数。例设H是区间a,b上所有复值持续函数全部组成的

2、线性空间，对任意x, y H ,概念b(x,y) a x(t)y(t)dt那么与L2a,b类似，(x,y)是一个内积，由内积产生的范数为1b2|x| (a|x(t)| dt)2上一个内积介不是Hilbert空间定理 设H是内积空间，那么内积(x, y)是x, y的持续函数，即时 xnx, yny, (xn,yn)(x,y)。定理设H是内积空间，对任意x, y H ,有以下关系式 成立，1)平行四边形法那么：2222llx y|十|x y|=2(|x|y|)；2)极化恒等式：1222(x,y) = - ( | x y | - |x y| + i |x iy | -42i |x iy|)定理 设X

3、是赋范空间，若是范数知足平行四边形法那么，那么可在X中概念一个内积，使得由它产生的范数正是 X 中原先的范数。二正交性，正交系1正交性设H是内积空间，x,y H,若是(x,y) 0,称x与y正 交，记为x y。设M是H的任意子集，若是x H与M中每一元正交， 称x与M正交，记为x M ；若是M ,N是H中两个子集， 关于任意x M , y N , x y,称M与N正交，记M N。设M是H的子集，所有H中与M正交的元的全部称为M的正交补，记为M 。定理设H是内积空间1) 若是 x,y,z H,x y z且 y z,那么 |x|2 =22|y| +|z| ；2) 若是L是H的一个浓密子集，即L H

4、 ,而且x L ,那么x 0;3) M是H的任意子集，那么 M 是H的闭子空间。定理 设M是内积空间H中的完备凸集，那么对任意 x H ,存在x M ,使得|x xo |=d(x,M ) inf | x y |定理(正交分解)设 M是Hilbert空间H的闭子空间，那么 对任意x H ,存在唯一的x0 M及y M ,使得x x y2正交系设x , I是内积空间H中的子集，若是时(x ,y ) 0,称x , I是中的一个正交系。设x , I 是一个正交系，若是对每一上I ,| x | 1,称x , I是一个标准正交系。设x , I是H的一个正交系，若是包括它的最小闭子 空间是全空间H ,称x ,

5、 I是的正交基。定理 设e是内积空间H中的标准正交系， x H ,1,., n是n个数，那么当且当仅k(x,ek)(k1,n)时,n| xkek |取最小值。k 1定理(Bessel不等式)设en是内积空间H中的标准正交系，那么对任意x H ,有22k1|(x,ek)| |x|定理 设en是内积空间中的一个标准正交系，那么 en是完备的，当且仅当en张成的子空间L在H中浓密。定理 设H是Hilbert空间，en是H中的标准正交系，那么巳是完备的，当且仅当4是完全的。定理 设H是Hilbert空间，en是H中的标准正交系， n l那么存在x H ,使得k (x,ej(k 1,2,.)而且22k1

6、| k|x|k 1定理(正交化定理)设xn是内积空间H中的可数子集，那 么在H中存在标准正交系0,使得xn与en张成的子空间 相同。3可分空间的同构定理 设H是任一可分的无穷维的 Hilbert空间，那么存在H上到l2同构映射，且维持内积那个定理表示任何一个无穷维中分空间能够表示为“坐标形式”I2三 Riesz表示定理，Hilbert空间的共钝空间1 Riesz表示定理定理(Riesz表示定理)设H是Hilbert空间，f是H上任 意有界限性泛函，那么存在唯一的yf H ,使得关于每一个x H ,有 f (x) (x,yf),而且有 | f | |yf |。2空间的共钝空间设H是Hilbert

7、空间，A (H),于是对任意y H ,易 见(Ax, y)(x H )是H上的一个有界限性泛函，因此由 Riesz 表示定理，存在唯一的z H ,使得(Ax,y) = (x,z) (x H )(1)概念By z。概念 设H是Hilbert空间，A (H ),把(1)式确信的有 界限性算子B称为A的共钝算子。注意区别第三章第四节中概念 H上的有界限性算子 A的共钝4*算子A。以后说到Hilbert空间H上的有界算子的共钝算子 A均指(1) 概念的算子B ,而且把它记为 A ,即A的共钝算子A是由下式概 念的算子：(Ax,y) (x,Ay) (x, y H )。概念 设H是Hilbert空间，A是

8、H上的有界限性算子，若是 A = A,即对任意x,y H(Ax,y) (x,Ay)那么称A是自共钝算子。设A是Hilbert空间H的有界共钝算子，以下是算子 A的一些 简单性质。D 对任意x H , (Ax, x)是实的。2) |A| sup |(Ax,x)|l|x| 13) 算子A的特点值是实的。4) 对应于算子A的不同特点值1, 2的特点向量xi,x2是正交 的。四 Hilbert空间中的自共钝紧算子引理 设H是Hilbert空间，A是H上的有界共钝算子，若 是存在 x0 H,|x0| 1,使得泛函 | (x)| |(Ax,x)/x0 点达到极大，那么由(x0,y) 0可推出(Ax0,y) (x0,Ay) = 0。定理(Hilbert Schmidt)