利用法向量解立体几何题

1、利用法向量解立体几何题、运用法向量求空间角向量法求空间两条异面直线a, b所成角0 ,只要在两条异面直线a, b上各任取一个向量AA和 BB',那么角 <AA',BB'>=.或兀-.,由于0是锐角,所以 cos.=AA' BB',不需AA'-BB要用法向量.1、运用法向量求直线和平面所成角I线AB和平面a所成的角0的正弦值为设平面的法向量为n = (x, y, 1),那么直nt rsin 9 = cos( - - 0 ) = |cos<AB , n >| =2、运用法向量求二面角5 八 MV人J日、,TT设一面角的两个面的

2、法向量为n,n2 ,那么< n1,n2 >或兀-< 口,% >是所求角.这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角,来决定T TT T<四,% >是所求,还是 兀-< n1,明 >是所求角.、运用法向量求空间距离1、求两条异面直线间的距离设异面直线a、b的公共法向量为n =(x, y, z),在a、b上任取一点A、B,那么异面直!4线 a、b 的距离d =AB - cos/ BAA = | AB n |n|略证：如图,EF为a、b的公垂线段,a为过F与a平行的直线,在a、b上任取一点 A、B,过A作AA ' & EF,交a于A,-?

3、, r ./ TT7 F 那么AA / n ,所以/ BAA =< BA, n > (或其补角)一,异面直线a、b的距离d =AB - cosZ BAA = | Ag-n I * |n|其中,n的坐标可利用a、b上的任一向量a,b (或图中的ae,bf),及n的定义得n-a ln*a=01.解方程组可得n.n - b n *b = 02、求点到面的距离4求A点到平面E的距离,设平面E的法向量法为n =(x, y,1),在a内任取一点B,那么A1AB |点到平面的距离为d =|AB n|, n的坐标由n与平面a内的两个不共线向量的垂直关系, |n|得到方程组(类似于前面所述,假设方程

4、组无解,那么法向量与 XOY平面平行,此时可改设4n =(1,y,0),下同).3、求直线到与直线平行的平面的距离求直线a到平面a的距离,设平面a的法向量法为n = (x, y,1),在直线a上任取一点A ,T彳在平面a内任取一点B ,那么直线a到平面a的距离d = 1AB *n|n|4、求两平行平面的距离设两个平行设平面 a、3的公共法向量法为 n = (x, y,1),在平面a、3内各任取一点 A、T彳1ABin|B,那么平面a到平面3的距离d = -H|n|三、证实线面、面面的平行、垂直关系T T设平面外的直线a和平面a、3 ,两个面a、3的法向量为R, n2 ,那么Ta=a _ n1a

5、 _ := a/n1R TR T T二 - u n1 / n21匕 n1 _ n2四、应用举例:例1： (04年高考广东18)如右下列图,在长方体 ABCD A1B1C1D1中,AB= 4, AD =3,AA 1= 2. E、F分别是线段 AB、BC上的点,且 EB= FB=1.(1)求二面角 CDECi的正切值；(2)求直线EC1与FDi解：(I)以A为原点,鸣3风 .AB, AD,AA1分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,那么 D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)DE = (3,-3,0)严=(1,3,2), FD1 =(

6、Y,2,2)设法向量n=(x,y,2)与平面CDE垂直,那么有AlBDEcn _ DE I _ 3x-3y =0I-x J x = y - -1nEGx 3y 2z =0DB,n =1-1,2),向量aa1 =(0, 0,2)与平面 CDE垂直,二n与AAi所成的角6为二面角C-DE-Ci的平面角AlCAEIcosr .AA . cos|n| | AAi |2.tan1=2-1 0 -1 0 2 2、J114 <004,63(II)设EC1与FD1所成角为3 ,那么II1 (Y) 3 2 2 2|EG | |FDJI'.'I2 -32 -22 .(一4)22222,211

7、4例2: (04年高考辽宁卷17)如图,四棱锥 P-ABCD,底面ABCD是菱形,/ DAB=60 °,PDL平面 ABCD , PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证实平面 PEDL平面 PAB;(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值证实：(1)二.面 ABCD 是菱形,/ DAB=60 0,ABD是等边三角形,又E是AB中点,连结BD ./EDB=300, /BDC=60 0, . ./EDC=90 0,如图建立坐标系 D-ECP,设AD=AB=1 ,那么 PF=FD= L ED= 7P (0, 0, 1), E (立2,0, 0), B (超2.耳=(立2L

8、-1), PE = 2平面PED的一个法向量为 DC= (0,1, 0),设平面PAB的法向量为n = (x, y, 1)n.PB(x,y,1),(T由一 T2、.3 (x,y,1)*(.3 110,0, -1)=0囱 1x y -1 = 02 2.3x-1 =0,22x = 二 ,- 3y =0 n = (, 0, 1) ; DCn =0平面 PED,平面 PAB(2)解：由(1)知：平面PAB的法向量为n= (-2=, 0, 1),设平面FAB的法向量为,一 3n 1= (x, y, -1),由(1)知：F (0, 0,1),FB =(T 3),FE =( 20,-),2,311(x,y,

9、 -1)*( -,-,-) =0=2_2 2 =(x, y, -1) *(-3,0, -1) =0221y =0n 1= (-, 0, -1),二面角 P-AB-F的平面角的余弦值 cos 0 = |cos< n , n 1>| =n * n114例3: (04江苏高考18)在棱长为4的正方体ABCD-A 1B1C1D1中,O是正方形A1B1C1D1的中央, 点 P在Cg上,且 CCi=4CP.(I)求直线AP与平面BCCiBi所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)(n)设O点在平面DiAP上的射影是H,求证：DiHAP;(m )求点P到平面ABD i的距离.解：(I)如图建立坐

10、标系 D-ACD i, .棱长为 4 .A (4, 0, 0), B (4, 4, 0), P (0, 4, i)AP = (-4, 4, i), 显然 DC= (0, 4, 0)为平面 BCCiBi的一个法向量,直线AP与平面BCCiBi所成的角.的正弦值sin 0 = |cos< Pi6 4 3342 42 i 、42330为锐角,直线 AP与平面BCCiBi所成的角 0为arcsin 4A33 33(m)设平面ABD i的法向量为n = (x, y, i), Ab= (0, 4, 0), Ad1= (-4, 0, 4)由"AB,得y=0-4x 4 = 0n = (i, 0

11、, i),点 P到平面 ABD1的距离 d例4:在长、宽、高分别为 2, 2, 3的长方体 ABCD-A iBiCiDi中,O是底面中央,求AiO与BiC的距离.解：如图,建立坐标系 D-ACD1,那么 O (i, i, 0), A1(2, 2, 3), C (0, 2, 0)AO =(-i,i, -3)RC=(-2,0, 3) ABi =(0,2,0)设AiO与BiC的公共法向量为n =(x, y,i),那么43x 二 二一空(x,y,1)(1,1,-3) =0 _x y_3 = 0_2n_Bic" (x,y,1)*(-2,0, -3)=0=-2x-3=0 =323-2,3 - 2-/V-n为离巨品的C1 B 与 O1 A例5:在棱长为1的正方体 ABCD-A iBiCiDi中,E、F分别是BiCi、C1D1的中点,求解：如图,建立坐标系 D-ACD(1,0,1),E(1,1,2BE =S量为nJ nn ,1c/、(2,0,1) AB=(0,匕 1)面 BDFE 的法向= (x, y,1),那么A1到面BDFE的距离.1,那么