单元8+++梁的弯曲

1、单元8 梁的弯曲 知 识 点：梁弯曲变形的概念；梁平面弯曲时横截面上的内力弯矩和剪力、内力正负号规定；截面法求指定截面上的内力；用剪力方程、弯矩方程作简单梁的剪力图和弯矩图；荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系及其在绘制内力图上的应用；叠加法绘制弯矩图；区段叠加法绘制弯矩图。 梁纯弯曲时的正应力分布规律及正应力计算公式；梁的正应力强度条件及强度计算；矩形截面与工字形截面梁剪应力的计算公式、常用截面梁的最大剪应力公式；梁的剪切强度条件；梁的合理截面形状、提高梁抗弯强度的措施。梁变形的概念；挠曲线近似微分方程；抗弯刚度；叠加法求梁的变形；梁的刚度条件；提高梁刚度的措施。 一点处的应力状态、

2、单元体、平面应力状态、主应力、主平面，最大切应力；梁的主应力迹线；强度理论简介。教学目标：理解梁平面弯曲的概念及其受力特点、变形特点；掌握用截面法计算梁的剪力和弯矩；掌握画梁的内力图的基本方法及其规律；理解荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系；理解叠加原理；掌握用叠加法画弯矩图。 掌握正应力分布规律及横截面上任一点的正应力计算公式；理解正应力强度条件，熟练对梁进行正应力强度计算；了解剪应力的分布规律及剪应力强度条件；掌握梁的变形及刚度条件。 掌握用叠加法求梁的变形、理解梁的挠度与转角的概念；了解梁的挠曲线近似微分方程、了解刚度条件及刚度计算；了解提高梁抗弯刚度的措施。 理解应力状态、单元体的概念

3、；掌握平面应力状态分析的解析法；掌握主应力、主平面、最大剪应力的概念及其计算；了解梁的主应力迹线；了解强度理论。 课题1 平面弯曲1.1 平面弯曲 当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(下图)时，杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如下图所示。               

4、0;  工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，这根对称轴与梁轴线所组成的平面，称为纵向对称平面（见下图）。如果作用在梁上的外力(包括荷载和支座反力)和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨论等截面直梁的平面弯曲问题。 1.2 单跨静定梁的几种形式 工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式：(1)悬臂梁梁的一端为固定端，另一端为自由端（见下图a）。(2)简支梁梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（见下图b）。 (3)外

5、伸梁梁的一端或两端伸出支座的简支梁（见下图c）。 课题2 梁的弯曲内力剪力和弯矩  为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁的内力。下面将着重讨论梁的内力的计算方法。2.1 截面法求内力 2.1.1 剪力和弯矩 下图（a）所示为一简支梁，荷载F和支座反力RA、RB是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面mm上的内力。假想将梁沿优m一m截面分为两段，现取左段为研究对象，从图96可见，因有支座反力RA作用，为使左段满足y=O，截面mm上必然有与RA等值、平行且反向的内力Q存在，这个内力Q，称为剪力；同时，因RA对截面mm的形心。点有一个力矩RA&

6、#183;a的作用，为满足三眠截面mm上也必然有一个与力矩RA·a大小相等且转向相反的内力偶矩M存在，这个内力偶矩M称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力素，即剪力和弯矩。 （a）  剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m或kN·m。 剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得，即：   如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面mm上的Q和M，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出mm截面上的Q和M大小相等，方向相反,(c)图所示。 2.1.2 剪力和弯矩的正、负号规定 为了使从左、右两段梁求得同一截面

7、上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定： (1)剪力的正负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负(下图a、b)。 (2)使梁段产生下侧受拉的弯矩为正,反之为负(下图a、b)   2.1.3 用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩 用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下：(1)计算支座反力；(2)用假想的截面在需求内力处将梁截成两段，取其中任一段为研究对象；(3)画出研究对象的受力图(截面上的Q和M都先假设为正的方向)；(4)建立平衡方程，解出内力。 【例1】 简支梁如图所示。已知F1=30kN，F2=30kN，试求截面

8、11上的剪力和弯矩。    【解】 (1)求支座反力，考虑梁的整体平衡如取1-1截面右段梁为研究对象如上图b,可得出同样的结果               课题3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图  为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，从而找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。 3.1 剪力方程和弯矩方程 从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩

9、一般随截面的位置而变化。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标x来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标x的函数，即： Q=Q(x)， M= M (x) 以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。 3.2 剪力图和弯矩图 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩，在土建工程中，习惯上把正剪力画在x轴上方，负剪力画在x轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在x轴下方，负弯矩画在x轴上方，如图912所示。 【例2】

10、 简支梁受均布荷载作用如下图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】 (1)求支座反力因对称关系，可得   根据这两个截面的剪力值，画出剪力图。 由式(2)知，M(x)是x的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值，才可描绘出曲线的大致形状。 根据以上计算结果，画出弯矩图。 从剪力图和弯矩图中可得结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。在剪力等于零的截面上弯矩有极值。 【例3】 简支梁受集中力作用如图所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。 【解】 (1)求支座反力 由梁的整体平衡条件   计算无误。 (2)列剪力方程和弯矩方程 梁在C

11、处有集中力作用，故AC段和CB段的剪力方程和弯矩方程不相同，要分段列出。 AC段：在距A端为X1的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：  (1) (1)  (2)  画剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图。 Q图：AC段剪力方程Q(x1)为常数，其剪力值为Fb/L，剪力图是一条平行于x轴的直线，且在x轴上方。CB段剪力方程Q(x2)也为常数，其剪力值为一Fb/L，剪力图也是一条平行于x轴的直线，但在x轴下方。画出全梁的剪力图。 M图：AC段弯矩M(x1)是x1的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只要计算两个截面的弯矩值，

12、就可以画出弯矩图。 由上面两个弯矩值，画出CB段弯矩图。整梁的弯矩图如上图所示。 从剪力图和弯矩图中可得结论：在无荷载梁段剪力图为平行线，弯矩图为斜直线。在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。 【例4】 如图915所示简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。【解】 (1)求支座反力由整梁平衡得：  (2)列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面有集中力偶m作用，应分两段列出剪力方程和弯矩方程。 AC段:在A端为x1的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则剪力方程和

13、弯矩方程为： (3)画剪力图和弯矩图 Q图：由式(1)、式(3)可知，梁在AC段和CB段剪力都是常数，故剪力是一条在x轴上方且平行于x轴的直线。画出剪力图如上图所示。 M图：由式(2)、式(4)可知，梁在AC段和CB段内弯矩都是x的一次函数，故弯矩图是两段斜直线。 AC段：   画出弯矩图如上图所示。 由内力图可得结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。 课题4 用叠加法画弯矩图4.1 叠加原理 由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。

14、所以，梁在几个荷载共同作用时所引起的某一参数(内力、支座反力、应力和变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理，见下图所示。 4.2 叠加法画弯矩图 根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法。由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制。下面只讨论用叠加法作梁的弯矩图。其方法为：先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图，然后将各弯矩图中同一截面上的弯矩代数相加，即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。为了便于应用叠加法绘内力图，在下表中给出了梁在简单荷载作用下的剪力图和弯矩图，可供查用。 单跨梁在简单荷载作用下的弯矩图 【例8-9】 试用叠加

15、法画出下图所示简支梁的弯矩图。【解】 (1)先将梁上荷载分为集中力偶m和均布荷载q两组。(2)分别画出m和q单独作用时的弯矩图(图b、c)，然后将这两个弯矩图相叠加。【例题】 试作出下图外伸梁的弯矩图。【解】 (1)分段将梁分为AB、BD两个区段。 （2）计算控制截面弯矩。(3)作M图，如下图所示。 由上例可以看出，用区段叠加法作外伸梁的弯矩图时，不需要求支座反力，就可以画出其弯矩图。所以，用区段叠加法作弯矩图是非常方便的。  【例题】 绘制下图所示梁的弯矩图。 【解】 此题若用一般方法作弯矩图较为麻烦。现采用区段叠加法来作，可方便得多。 (1)计算支座反力。  (3)把整

16、个梁分为CA、AD、DE、EB、BF五段，然后用区段叠加法绘制各段的弯矩图。方法是：先用一定比例绘出CF梁各控制截面的弯矩纵标，然后看各段是否有荷载作用，如果某段范围内无荷载作用(例如CA、DE、EB三段)，则可把该段端部的弯矩纵标连以直线，即为该段弯矩图。如该段内有荷载作用(例如AD、BF二段)，则把该段端部的弯矩纵标连一虚线，以虚线为基线叠加该段按简支梁求得的弯矩图。整个梁的弯矩图如上图所示。 其中AD段中点的弯矩为：  课题5 梁弯曲时的应力及强度计算 由于梁横截面上有剪力Q和弯矩M两种内力存在，所以它们在梁的横截面会引起相应的剪应力和正应力，5.1 梁横截面上正应力

17、1、正应力分布规律（1）平面假设 各横向线代表横截面，变形前后都是直线，表明截面变形后仍保持平面，且仍垂直于弯曲后的梁轴线。（2）单向受力假设 将梁看成由无数纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。从上部各层纤维缩短到下部各层纤维伸长的连续变化中，必有一层纤维既不缩短也不伸长，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称中性轴，中性轴通过横截面形心，且与竖向对称轴垂直，并将横截面分为受压和受拉两个区域。由此可知，梁弯曲变形时，各截面绕中性轴转动，使梁内纵向纤维伸长和缩短，中性层上各纵向纤维的长度不变。通过进一步的分析可知，各层纵向纤维的线应变沿截面高度应为线性变化规律，从而由虎克定

18、律可推出，梁弯曲时横截面上的正应力沿截面高度呈线性分布规律变化。 2、正应力计算公式  如下图所示，根据理论推导(推导从略)，梁弯曲时横截面土任一点正应力的计算公式为：式中M横截面上的弯矩； y所计算应力点到中性轴的距离； Iz截面对中性轴的惯性矩。由式(9-4)说明，梁弯曲时横截面上任一点的正应力口与弯矩M和该点到中性轴距离y成正比，与截面对中性轴的惯性矩Iz成反比，正应力沿截面高度呈线性分布；中性轴上(y=o)各点处的正应力为零；在上、下边缘处(y=ymax；)正应力的绝对值最大。用上式计算正应力时，M和y均用绝对值代入。当截面上有正弯矩时，中性轴以下部分为拉

19、应力，以上部分为压应力；当截面有负弯矩时，则相反。  5.2 梁横截面上的剪应力 1剪应力分布规律假设 对于高度h大于宽度b的矩形截面梁，其横截面上的剪力Q沿y轴方向，如下图所示，现假设剪应力的分布规律如下： (1)横截面上各点处的剪应力都与剪力Q方向一致； (2)横截面上距中性轴等距离各点处剪应力大小相等，即沿截面宽度为均匀分布。 2、矩形截面梁的剪应力计算公式 根据以上假设，可以推导出矩形截面梁横截面上任意一点处剪应力的计算公式为： 式中V横截面上的剪力； IZ整个截面对中性轴的惯性矩； b需求剪应力处的横截面宽度； SZ横截面上需求剪应力点处的水平线以上(或以下)部分的面积A。

20、对中性轴的静矩。 I用上式计算时，V与SZ均用绝对值代人即可。 现求上图所示矩形截面上任意一点的剪应力，该点至中性轴的距离为y，该点水平线以上横截面面积A对中性轴的静矩为： 上式表明剪应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。在上、下边缘处，剪应力为零；在中性轴上(y=0)，剪应力最大，其值为： 由此可见，矩形截面梁横截面上的最大剪应力是平均剪应力的15倍，发生在中性轴上。 3工字形截面梁的剪应力 工字形截面梁由腹板和翼缘组成腹板是一个狭长的矩形，所以它的剪应力可按矩形截面的剪应力可按矩形截面的剪应力公式计算，即：式中d腹板的宽度； S横截面上所求剪应力处的水平线以下(或以上)至边缘部分面积A”对中

21、性轴的静矩。 由上式可求得剪应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如上图所示。最大剪应力发生在中性轴上，其值为： 5.3 梁的强度条件 1梁的正应力强度条件 (1)最大正应力 在强度计算时必须算出梁的最大正应力。产生最大正应力的截面称为危险截面。对于等直梁，最大弯矩所在的截面就是危险截面。危险截面上的最大应力点称为危险点，它发生在距中性轴最远的上、下边缘处。 对于中性轴为截面对称轴的梁，其最大正应力的值为： 式中Wz抗弯截面系数(或模量)，它是一个与截面形状和尺寸有关的几何量，其常用单位为m3或mm3。对高为h、宽为b的矩形截面，其抗弯截面系数为： 对直径为D的圆形截面，其抗弯截面系数为： 

22、; 对工字钢、槽钢、角钢等型钢截面的抗弯截面系数眠可从附录型钢表中查得。 (2)正应力强度条件 为了保证梁具有足够的强度，必须使梁危险截面上的最大正应力不超过材料的许用应力，即： 上式为梁的正应力强度条件。 根据强度条件可解决工程中有关强度方面的三类问题。 1)强度校核在已知梁的横截面形状和尺寸、材料及所受荷载的情况下，可校核梁是否满足正应力强度条件。  2)设计截面当已知梁的荷载和所用的材料时，可根据强度条件，先计算出所需的最小抗弯截面系数： 然后根据梁的截面形状，再由w。值确定截面的具体尺寸或型钢号。 3)确定许用荷载已知梁的材料、横截面形状和尺寸，根据强度条件先算出梁所能承受的

23、最大弯矩，即： 然后由M之；与荷载的关系，算出梁所能承受的最大荷载。 2梁的剪应力强度条件 为保证梁的剪应力强度，梁的最大剪应力不应超过材料的许用剪应力即：上式称为梁的剪应力强度条件。 在梁的强度计算中，必须同时满足正应力和剪应力两个强度条件。通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后按剪应力强度条件进行校核。对于细长梁，按正应力强度条件设计的梁一般都能满足剪应力强度要求，就不必作剪应力校核。但在以下几种情况下，需校核梁的剪应力：最大弯矩很小而最大剪力很大的梁；焊接或铆接的组合截面梁(如工字型截面梁)；木梁，因为木材在顺纹方向的剪切强度较低，所以木梁有可能沿中性层发生剪切破坏。  &

24、#160;【例题】一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为N022a，梁上荷载如下图所示。已知L=6m F=30kN，q=6kNm，=170MPa，=100Mpa,检查此梁是否安全。  【解】(1)绘剪力图、弯矩图如上图所示 (2) (2)  (3)  由型钢表查得有关数据  d=0.75cm    ：3)校核正应力强度及剪应力强度 所以，梁是安全的。 3梁的合理截面 设计梁时，一方面要保证梁具有足够的强度，使梁在荷载作用下能安全的工作；同时应使设计的梁能充分发挥材料的潜力，以节省材料，这就需要选择合理的截面形状

25、和尺寸。 梁的强度一般是由横截面上的最大正应力控制的。当弯矩一定时，横截面上的最大正应力max。与抗弯截面系数wz成反比，Wz愈大就愈有利。而Wz的大小是与截面的面积及形状有关，合理的截面形状是在截面面积A相同的条件下，有较大的抗弯截面系数wz，也就是说比值wzA大的截面形状合理。由于在一般截面中，Wz与其高度的平方成正比，所以尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较远的地方，这样在截面面积一定的情况下可以得到尽可能大的抗弯截面系数而使最大正应力max减少，或者在抗弯截面系数wz一定的情况下，减少截面面积以节省材料和减轻自重。所以，工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面立放比平放合理，正方形截面

26、比圆形截面合理。 梁的截面形状的合理性，也可从正应力分布的角度来说明。梁弯曲时，正应力沿截面高度呈直线分布，在中性轴附近正应力很小，这部分材料没有充分发挥作用。如果将中性轴附近的材料尽可能减少，而把大部分材料布置在距中性轴较远的位置处，则材料就能充分发挥作用，截面形状就显得合理。所以，工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面面形式。工程中常用的空心板、薄腹梁等就是根据这个道理设计的。 此外，对于用铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的抗压强度比抗拉强度大得多，所以，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘部分置于受拉侧。为了充分发挥材料的潜力，应使最大拉应力和最大压应力同时达到材料相应的许用应力

27、。     课题6 梁的变形  为了保证梁在荷载作用下的正常工作，除满足强度要求外，同时还需满足刚度要求。刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形在一定限度内，否则会影响结构的正常使用。例如，楼面梁变形过大时，会使下面的抹灰层开裂、脱落吊车梁的变形过大时，将影响吊车的正常运行等等。 6.1 挠度和转角 梁在荷载作用下产生弯曲变形后，其轴线为一条光滑的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线或梁的弹性曲线。如下图的悬臂梁所示。AB表示梁变形前的轴线，AB/表示梁变形后的挠曲线。  (1)  挠度 梁任一横截面形心在垂直于梁轴线

28、方向的竖向位移CC/称为挠度，用y表示，单位为mm，并规定向下为正。 (2)  转角 梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的转角，用表示，单位为rad(弧度)，并规定顺时针转为正。 6.2 用叠加法求梁的变形 由于梁的变形与荷载成线性关系。所以，可以用叠加法计算梁的变形。即先分别计算每一种荷载单独作用时所引起梁的挠度或转角，然后再将它们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作用下的挠度或转角。这种方法称为叠加法。 梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从表82中查得。          

29、60;    梁在简单荷载作用下的挠度和转角 表8-2 例题： 6.3 梁的刚度条件 f/l=ymax/lf/l例题： 一简支梁由NO.28工字钢制成，跨中承受一集中荷载，如下图所示，已知F=20KN, L=9m, E=210Gpa,=170Mpa, f/L=1/500.试校核梁的强度和刚度。   6.4 提高梁刚度的措施 要提高梁的刚度，需从以下几方面考虑。 6.4.1 提高梁的抗弯刚度EI 梁的变形与EI成反比，增大梁的EI将使梁的变形减小。由于同类材料的E值不变，因而只能设法增大梁横截面的惯性矩I。在面积不变的情况下，

30、采用合理的截面形状，例如采用工字形、箱形及圆环形等截面，可提高惯性矩I，从而也就提高了EI 6.4.2 减小梁的跨度 梁的变形与梁的跨长L的n次幂成正比。设法减小梁的跨度，将会有效地减小梁的变形。例如将简支梁的支座向中间适当移动变成外伸梁，或在梁的中间增加支座，都是减小梁的变形的有效措施。6.4.3 改善荷载的分布情况 在结构允许的条件下，合理地调整荷载的作用位置及分布情况，以降低最大弯矩,从而减小梁的变形。例如将集中力分散作用，或改为分布荷载都可起到降低弯矩，减小变形。           &

31、#160;    课题7 梁的应力状态 7.1 应力状态的概念 1.1.1 应力状态的概念 在分析轴向拉压杆内任一点的应力时，我们知道，不同方位截面的应力是不同的。一般地讲，在受力构件内，在通过同一点的不同方位的截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不同而按一定的规律变化的。因此，为了深入了解受力构件内的应力情况，正确分析构件的强度，必须研究一点处的应力情况，即通过构件内某一点所有不同截面上的应力情况集合，称为一点处的应力状态。 研究一点处的应力状态时，往往围绕该点取一个微小的正六面体，称为单元体。作用在单元体上的应力可认为是均匀分布的。 7.

32、1.2 应力状态分类 根据一点处的应力状态中各应力在空间的位置，可以将应力状态分为空间应力状态、平面应力状态和单向应力状态。单元体上三对平面都存在应力的状态称为空间应力状态；只有两对平面存在应力的状态称为平面应力状态；只有一对平面存在应力的状态称为单向应力状态。下图a所示的应力状态属空间应力状态，图b、c所示的应力状态属平面应力状态和单向应力状态。若平面应力状态的单元体中，正应力都等于零，仅有剪应力作用，则称为纯剪切应力状态图d. 本节主要研究平面应力状态。 7.2 7.2 应力分析 分析平面应力状态的方法有解析法和图解法两种， 7.2.1 平面应力状态分析的解析法 设从受力构件中某

33、一点取一单元体置于xy平面内，如下图所示，已知x面上的应力x及x，y面上的应力有y及y，。根据剪应力互等定理x=y。现在求任一斜截面BC上的应力。用斜截面BC将单元体切开，斜截面的外法线n与x轴的夹角用表示，(以后BC截面称为截面)，在截面上的应力用及表示。规定角由x轴到n轴逆时针转向为正；正应力以拉应力为正；压应力为负；剪应力“以对单元体顺时针转向为正，反之为负.取BC左部分为研究对象,设斜截面上的面积为dA，则BA面和AC面的面积分别为dAcos和dAsina。建立坐标，取n和t为两参考坐标轴列出平衡方程分别为 （8-1） （8-2） 例题：单元体各面应力如下图所示，试求斜截面上

34、的应力及。   7.2.2平面应力状态分析的图解法应力圆 分析平面应力状态下任意截面上的应力，还可应用图解法应力圆求得。图解法的优点是简明直观，其精度能满足工程中要求。(1)应力圆方程现将式(81)进行移项、两边平方后，再与式(82)两边平方后相加，整理得： （8-3）上式是一点的坐标就代表单元体中与其相对应的斜截面上应力。因此，这个圆称为应力圆，式(6-3)就称为应力圆方程。(2)应力圆的做法 实际作应力圆时，并不需要先计算圆心坐标和半径大小，而是由单元体(下图a)上已知的应力x、y、x的值直接作出。应力圆的具体做法如下： 1)建立坐标 以为横坐标，以为纵坐标，

35、建立直角坐标系0，选定比例尺； 2)确定基准点D1、D2 将单元体上x平面和y平面分别作为两个基准面，相对应面上的应力值定为两个基准点D1(x、x)、D2(y、y)； 3)确定圆心位置及半径 连接D1、D2两点，其连线与横坐标轴相交于C点，C点即为圆心；以CDl或CD2为半径作圆，即为应力圆(下图b)。   (3)应力圆与单元体的对应关系（见下图）1)点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体上某一斜截面上的正应力和剪应力值。如D1点的坐标(x、x)对应着x面上的正应力和剪应力值。 2)转向对应 应力圆上由基准点D1到点E的转向和单元体上由x面到面的转向一致。 3)倍角对

36、应 应力圆上两点间圆弧的圆心角是单元体上相应的两个面之间夹角的二倍。 7.2.3主平面和主应力利用应力圆可以分析单元体上任意斜截面生的应力，尤其是可以方便的确定单元体上应力的极值及其作用面的方位。我们将正应力的极值称为主应力，主应力的作用面称为主平面。下面就由应力圆给出计算单元体的主应力、主平面位置及最大剪应力的计算式。(1)主应力 由上图 (b)可见，在应力圆的横坐标轴上A1、A2两点的正应力是max和min，这两点的纵坐标都等于零，即表示单元体上对应的截面上剪应力=0。因此A1，、A2两点的正应力就是两个主应力，即（8-4）(2)主平面的方位 圆上D1点到A1点为顺时针转旋转20，在单元体上由x轴按顺时针旋转o。便可确定主平面的法线位置。顺时针旋转的角度为负角，从应力圆上可得主平面的位置为 t