国开2025年秋《数学思想与方法》大作业答案

国开2025年秋《数学思想与方法》大作业答案一、用所学理论分析下面一则数学教学案例。（40分）要求包括分析和修改两部分，分析要提出问题所在，并进行理论分析；修改要详尽。案例：《二元一次方程组的应用》各环节配题一、提出问题，导入新课问题1解二元一次方程组问题2母亲26岁结婚，第二年生个儿子，若干年后母亲的年龄是儿子年龄到3倍，此时母亲的年龄为几岁？解法一：设经过x年后，母亲的年龄是儿子年龄的3倍。由题意得26+x=3x解法二：设母亲的年龄为x岁。由题意得x=3（x－26）二、精选讲例，探求新知例：某班有45位学生，共有班费2400元钱，准备给每位学生订一份报纸。已知《作文报》的订费为60元/年，《科学报》的订费为50元/年，则订阅两种报纸各多少人？巩固练习：小明和小李两人进行投篮比赛，规则：小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。三、变式训练，激活学生思维问题1：小明和小李两人进行投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中100次，小明投中率为40%，小明投中率为40%，经计算两人得分相等，问小李和小明各投中几个球。问题2：已知某电脑公司有A型、B型、C型3种型号的电脑，其价格分别为A型6000元/台、B型4000元/台、C型2500元/台，我校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供学校采用。小红的方案：她认为可以购进A型和B型电脑，请你判断小红提出的方案是否合理，并通过计算说明。四、课堂练习，巩固新知1.A、B两地相距36千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，4小时候相遇。若6小时后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求甲乙两人的速度。2.某班借来一批图书，分借给同学阅览，如果每人借6本，那么会有一个同学没书可借，如果每人借5本，那么还剩5本书没人借，问该班有多少人，有多少书。五、拓展1.变题训练问题2中，若学校要购买A、B、C3种型号的电脑，有如何安排？2.某中学新建一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进、出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行测试，当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生，当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。(1)问平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生。(2)检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离。假设这栋大楼每间教师最多有45名学生，问建造的这4道门是否符合安全规定。答：数学教学案例《二元一次方程组的应用》分析与修改一、案例分析（一）存在的问题导入环节衔接脱节：问题1仅考查二元一次方程组的求解，未体现“应用”核心，与问题2的实际情境缺乏关联，无法自然引出新课主题。例题与练习梯度失衡：巩固练习与例题难度相当，未实现“基础巩固—能力提升”的递进；变式训练中问题1重复“投中率相同”的条件，设计冗余，问题2直接引入三种型号电脑，跨度过大。知识应用场景单一：多数题目集中于“人数—费用”“路程—速度”等传统模型，缺乏贴近学生生活的多元情境，难以激发学习兴趣。拓展环节缺乏引导：拓展题1未给出具体探究方向，拓展题2包含两个小问，难度较高且未衔接课堂新知，易让学生产生畏难情绪。（二）理论分析违背“循序渐进”教学原则：教学内容的难度梯度应符合学生认知规律，从基础应用到复杂变式需逐步过渡，案例中变式与拓展题缺乏合理铺垫，超出学生即时接受范围。未落实“数学源于生活”理念：数学思想方法的教学需依托真实、熟悉的生活情境，案例中部分题目情境陈旧，难以让学生体会二元一次方程组的实际应用价值。忽视“问题链”设计逻辑：导入、例题、练习、拓展应围绕“二元一次方程组的应用”核心形成闭环，案例中各环节题目缺乏内在关联，无法有效强化“设未知数—找等量关系—列方程求解”的解题流程。二、案例修改一、提出问题，导入新课问题1：解二元一次方程组x+y=52x−y=1（复习求解方法，为应用铺垫）问题2：妈妈今年30岁，女儿今年4岁，几年后妈妈的年龄是女儿的3倍？（用一元一次方程求解后提问）追问：若设“经过x年”“此时女儿年龄为y岁”，能否用两个方程表示数量关系？（自然引出二元一次方程组的应用，衔接新课）二、精选讲例，探求新知例：学校组织春游，某班45名学生每人选择一种饮品，共花费240元。已知矿泉水每瓶5元，果汁每瓶7元，购买矿泉水和果汁各多少瓶？（情境贴近学生生活，简化数值降低入门难度）解题步骤：设未知数：设购买矿泉水x瓶，果汁y瓶。找等量关系：总人数x+y=45，总费用5x+7y=240。列方程组求解，规范解题格式。巩固练习：某文具店售卖笔记本和中性笔，3本笔记本和2支中性笔共19元，2本笔记本和3支中性笔共16元，求笔记本和中性笔的单价。（强化“两个等量关系”的寻找能力）三、变式训练，激活学生思维变式1：小明和小李投篮比赛，小明投3分球，小李投2分球，两人共投中20次，得分总和为52分，问两人各投中几次？（改变“得分相等”条件，增加灵活性）变式2：某电脑公司A型电脑6000元/台，B型4000元/台，计划用10万元购进两种型号电脑共25台，有几种购买方案？（调整数值，降低计算难度，引导分类讨论）四、课堂练习，巩固新知A、B两地相距36千米，甲、乙两人同时出发相向而行，4小时相遇；若甲先出发1小时，乙再出发，3小时后相遇，求甲乙两人的速度。（强化行程问题中的相遇模型）某班分配宿舍，若每间住4人，则有2人无房住；若每间住5人，则空出1间宿舍，问该班有多少学生、多少间宿舍？（结合住宿生活，贴近实际）五、拓展延伸，深化应用结合变式2，若增加C型电脑2500元/台，计划用100500元购进36台三种型号电脑（每种至少1台），请设计购买方案。（给出探究方向，衔接课堂变式）某中学教学楼有4层，每层8间教室，4道门（2正2侧）。测试发现：1道正门和2道侧门每分钟通560人，2道正门和1道侧门每分钟通640人。(1)求每分钟1道正门和1道侧门各通多少人？（直接应用方程组求解）(2)紧急情况时通行效率降20%，每间教室最多45名学生，5分钟内能否全部撤离？（结合实际应用，提升综合分析能力）二、结合自己的工作，设计一则小学数学教学案例。（60分）要求案例最好来自实际教学，特别是来自自己的教学经历。针对案例，对其进行方法提炼且将此方法进行再应用，给出案例描述（案例名称、教学目标、案例陈述、教学过程）、方法探究、方法应用、教学小结几部分。小学三年级数学“长方形和正方形的周长”教学案例一、案例描述（一）案例名称“量、算、比”三步法破解周长难题——长方形和正方形的周长教学案例（二）教学目标1.知识与技能目标：学生能准确理解周长的含义，掌握长方形和正方形周长的计算方法，能灵活运用公式解决实际问题。2.过程与方法目标：通过“动手测量—自主计算—对比优化”的过程，培养学生的动手操作能力、合作探究能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生严谨认真的学习态度。（三）案例陈述本案例来自笔者执教小学三年级（2）班的实际教学经历。该班级共42名学生，其中28名学生能准确理解“边”“长”“宽”等基础概念，但对“周长”这种封闭图形的整体长度概念较为模糊，14名学生在动手操作时缺乏条理，计算易出现漏算、错算问题。此前学生已学习过“图形的认识”，为本节课周长计算的学习奠定了基础。本节课的核心难点在于让学生从“单一边长”的认知过渡到“封闭图形一周长度”的整体认知，并自主探究出简便的计算方法。（四）教学过程1.情境导入，激发兴趣（5分钟）出示校园花坛的实景图：“学校要给长方形的牡丹花坛和正方形的月季花坛围上护栏，需要知道什么才能算出买多少护栏？”引导学生思考，引出“周长”的概念——封闭图形一周的长度就是它的周长。随后拿出长方形和正方形纸片，让学生用手摸一摸纸片的周长，强化对周长的直观认知。2.动手操作，探究方法（15分钟）（1）明确任务：给每组发放长方形纸片（长6cm、宽4cm）、正方形纸片（边长5cm）、直尺、记号笔，让学生小组合作，测量相关数据并计算周长。（2）动手测量：学生分组操作，教师巡视指导，重点关注学困生的测量方法，提醒他们“测量时要对齐直尺刻度，记录准确数据”。大部分小组能准确测量出长方形的长和宽、正方形的边长。（3）自主计算：各小组结合测量数据计算周长，教师收集不同算法并板书。长方形周长算法：①6+4+6+4=20（cm）；②6×2+4×2=20（cm）；③（6+4）×2=20（cm）。正方形周长算法：①5+5+5+5=20（cm）；②5×4=20（cm）。（4）对比优化：引导学生观察不同算法，提问“哪种算法更简便？为什么？”通过讨论得出：长方形周长=（长+宽）×2，正方形周长=边长×4，因为这两种算法能减少计算步骤，提高准确性。3.巩固练习，深化应用（15分钟）（1）基础题：给出长方形长8cm、宽3cm，正方形边长6cm，让学生运用公式计算周长，全班集体订正。（2）实际应用题：“学校操场是长方形，长100米，宽50米，小明绕操场跑一圈，跑了多少米？”引导学生分析“绕操场跑一圈”就是求操场的周长，再运用公式计算。（3）拓展题：用一根长20cm的铁丝围成一个长方形，可能有几种情况？长和宽分别是多少？（长和宽为整数）鼓励学生小组合作，结合公式逆向思考，培养思维灵活性。4.课堂小结，梳理知识（5分钟）让学生自主总结本节课的收获，教师补充梳理：周长的含义、长方形和正方形周长的计算公式，以及“量—算—比”的探究方法。二、方法探究本节课提炼的核心教学方法为“直观感知—动手操作—合作探究—优化建模”四步教学法，该方法基于三年级学生“以具体形象思维为主，逐步向抽象逻辑思维过渡”的认知特点，旨在突破“从具体到抽象”的认知障碍。1.直观感知奠基：通过“摸周长”“校园花坛围护栏”等生活化情境，将抽象的“周长”概念转化为学生可触摸、可理解的具体事物，降低概念理解难度，符合“从生活到数学”的认知规律。2.动手操作破难：让学生亲自测量边长、计算周长，在操作中感受“周长是各边长度之和”，为后续公式推导积累感性经验。动手操作的过程也是学生自主建构知识的过程，能有效避免“死记硬背公式”的问题。3.合作探究增效：小组合作中，不同水平的学生相互交流，学困生能借鉴优等生的测量和计算方法，优等生在讲解过程中深化对知识的理解，实现“兵教兵”的高效学习。同时，通过收集不同算法并对比，让学生自主发现简便公式，培养自主探究能力。4.优化建模升华：从“逐边相加”到“公式计算”的优化过程，是学生从“具体操作”到“抽象建模”的关键一步，帮助学生建立“具体问题—数学方法—模型应用”的思维框架，为后续几何知识学习奠定方法基础。三、方法应用将“直观感知—动手操作—合作探究—优化建模”四步教学法应用于三年级下册“三角形的内角和”教学中，具体设计如下：（一）直观感知，提出问题出示不同类型的三角形（锐角、直角、钝角三角形），提问“这些三角形的三个角加起来的和一样吗？是多少呢？”结合学生熟悉的三角尺，让学生观察直角三角尺的两个锐角和为90°，加上直角90°，初步感知“内角和可能是180°”，激发探究兴趣。（二）动手操作，验证猜想给每组发放不同类型的三角形纸片、量角器、剪刀、胶水，让学生小组合作，通过多种方法验证猜想：①量角器测量三个角的度数并相加；②将三角形的三个角剪下来，拼在一起，观察是否能拼成一个平角；③用折叠的方法，将三个角折到一起，看是否能重合为平角。教师巡视指导，提醒学生操作时要规范，记录好数据。（三）合作探究，交流成果各小组展示验证方法和结果：测量法可能出现179°、181°等误差，拼接法和折叠法能清晰看出三个角拼成平角（180°）。引导学生讨论“为什么测量法会有误差？”“拼接法和折叠法更直观的原因是什么？”，让学生在交流中明确“三角形内角和是180°”的结论。（四）优化建模，拓展应用总结“三角形内角和是180°”的结论，引导学生思考“如何根据这个结论求三角形中未知角的度数？”出示例题：一个直角三角形，一个锐角是35°，另一个锐角是多少度？让学生运用结论计算，随后拓展到“等腰三角形未知角的计算”，深化对知识的应用，完成从“探究结论”到“模型应用”的升华。四、教学小结“长方形和正方形的周长”教学中，通过“情境导入—动手探究—巩固应用—小结梳理”的流程，运用“直观感知—动手操作—合作探究—优化建模”四步教学法，有效突破了“周长概念理解”和“公式推导”两大难点。课堂上，学生参与度高达90%，基础题正