第一部分仿射几何学的概念

1、高等几何需掌握的基本概念与方法第一部分仿射几何学的概念一、平行投影与仿射对应1说明在一般情况下，仿射对应时对应点的连线不都是平行的。2在什么情况下，一般仿射对应时对应点的连线都互相平行。3两相交平面间的透视仿射对应有对应轴，如果有对应轴一般仿射对应时没有对应轴，那 么这个仿射对应实质上仍然是透视放射对应。二、仿射对应的不变性质与不变量1证明：三角形的重心是仿射对应下的不变性质。2证明：平行四边形的中心是仿射对应下的不变性质。3证明：梯形在仿射对应下仍是梯形。4说明：两个全等的矩形在仿射下对应于两个等积的平行四边形。三、平面内的仿射变换及其决定1给出透视放射变换的对应轴即对应点P,P;求作已知三

2、角形的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P ； 求作：ABC的对应图形。2在第一题条件下，求作已知正方形的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P ； 求作：正方形ABCD的对应图形3在题一条件下，做已知圆的对应图形。已知：对应轴L及一对对应点P，P ；求作：圆0的对应图形。4给定由两个三角形 P , P2, P3为Pi, P2 , P3所决定的仿射变换，求做在此仿射变换下平面内任意一点 A的对应点A。5给定一个梯形 ABCD，并且已知梯形中的三角形 ABC在仿射变换 ABC在仿射变换下 的对应三角形 abc。求做这梯形第四点 D的对应点。6给定一个正五角形，而且已知定点A， B,C在

3、仿射变换下的对应点 A,B,C，求作D,E两点的对应点D与E 。AA四、仿射变换的代数表示1. 证明：在仿射坐标系下直线的方程是一次方程。2. 在仿射变换下，试求向量的变换式。3. 试利用代数方法证明：三对对应点决定一个仿射变换。4. 欧氏几何学里的圆在仿射变换下变为怎样的图形？5. 在仿射变换下，三角形的面积是怎样改变的？五、6试从仿射变换式说明直线上三点所成的简比是仿射不变量。 仿射变换的特例1求仿射变换式(2,3),(2,5),(3, 7)三点。(5, 1), (3,8), (4,7)三点。(1 )使 (0,0),(1,1),(1, 1)三点变到(2)使(2,5), 4,7 ,(3,4)

4、三点变到2证明：平移可以当作是以两根平行直线为轴的轴对称积。3证明：两个相似变换之积仍是一个相似变换。，但两个对称变化之积一般不是对称变换。4求一般对称变换成为轴对称的条件。5证明：使两个向量的数量积不变的仿射变换式运动变换或对称变换。6.证明：仿射变换成为：(1)运动变换的条件是(2)相似变换的条件是7证明：两条二次曲线ax2 2hxy by22h x y b22yx 2fy2yx2ya11 a12a21a222a120a22 12a112a21a11 a12a21a2202222a11a21a12a22c0(1)2f1 1yc 0成位似对应的条件是一、中心投影二、理想元素三、齐次坐标四、对

5、偶原则五、复元素六、射影几何学的基本内容第三部分一维影射几何学一、一维影射几何学的对象二、列点与线束三、交比四、一维几何学你的影射对应五、透视对应六、对合对应第四部分几个点与线所成的图形一、三点形与三线形二、四点形与四线形三、巴卜氏定理四、应用第五部分射影坐标系一、一维射影坐标系二、平面内的射影坐标系三、射影坐标的特例四、坐标变换第六部分射影变换一、射影变换的规定二、射影变换的特征三、射影变换的固定元素四、射影变换的特例第七部分变换群与几何学一、变换群的意义二、变换群的例证三、变换群与几何学第八部分欧氏 仿射 射影三种几何学的比较一、欧氏几何学和二、仿射几何学三、射影几何学四、三种几何学的比较五、几何学与坐标系第九部分二次曲线的射影定义一、二阶曲线和二级曲线二、二次曲线的是射影定义三、巴斯卡与布利安香定理第十部分二次曲线上的射影对应一、二次曲线上的射影点列二、二次曲线上的对合对应三、直线和二次曲线上的射影对应第十一部分有关二次曲线的配极对应一、极点与极线* 士土titI二、赫舍疋理三、配极对应四、点线对应第十二部分二次曲线的射影分类一、二阶曲线的奇异点与二级曲线的奇异线二、二阶曲线的射影分类三、二次曲线的射影分类第十三部二次曲线间的相互关系一、两条二次曲线的交点与二次曲线束二、二