第二章导数和微分

1、第二章导数和微分微分学是微积分的重要组成部分微分学的基本概念是导数和微分，导数反映函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则是描述当自变量有微小改变时，函数改变量的近似值本章我们将详细讨论导数、微分的概念，建立导数与微分的基本公式和运算法则，解决 初等函数的求导与微分问题第一节导数的概念引例1. 变速直线运动的速度设某质点沿直线运动，在时刻t时,质点所在位置S=S（t）,当时间从时刻to变化到t :t时，质点经过的路程为=s（to迸）s（to）,则质点在to到to .迸时间段内的平均速度为-也ss（to +At） _s（to）VtAt丄s当氏很小时，可用V近似表示物体在to时刻的速度当厶t &

2、gt; 0时，如果极限lim 存在,At则称此极限为质点在时刻t0的瞬时速度，即.也SS（to+豪）一 S（to）v = lim lim -.AtoAt2. 切线问题设曲线y = f （x）的图形为图 2-1，点M （xo,y。）为曲线上一定点，在曲线上另取一点N（x。y。勺）作割线MN ,当点N沿曲线趋于 M时,如果割线 MN绕点M旋转而趋于极限位置 MT，直线MT就称为曲线 目二f （x）在点M处的切线.当MN趋向MT时,其倾角也趋向切线倾角：，因此切线MT的斜率为f(X。. ：x) f (Xg)LX、导数的定义上面的两个问题，虽然实际意义各不相同，但讨论方法是一致的，所求量都归结为x &

3、gt; 0时卫的极限一般地，我们有如下导数的概念.X定义设函数y二f(X)在点Xg的某邻域内有定义，若极限映0二 lXm0f (Xg：x) - f(Xg)存在，则称函数f (X)在点X0处可导，并称这个极限值为函数y二f (x)在点Xg处的导数，记f'(Xg)，y' xdydxr df x±X)或 .dxXNgf (小讥 UXg"f(Xg)令X =Xg=X，则-X g时有X Xg，因此(X。)J叹f (X)- f(Xg)X Xg如果 lim © rx)-f(x。)Axlim心冈-论)、,此时.j0LX不存在,则称函数y=f(x)在x0处不可导.如果

4、y = f (x)在x0处不可导,但通常也说函数y = f (x)在x0处导数为无穷大F面利用导数的定义计算:例1解:已知f(X。)"求肌.0f x0 - 2L X - f x0xf X0 -2Lx - f X0x=2 limx0f X0 -心-f X0TX-_2 f x0 = -2.如果函数y= f(x)在开区间I内每一点处都可导，就称函数f(x)在I内可导，这时对于个函数称为原来函数f (X)的导函数，简称为导数，记作'dy 卡 df f (x)，y，或.dx dx导函数定义为f (x ：x) - f (x)f(X)二妁0X.任意x三I，都对应着f (X)的一个确定的导数

5、值，这样的对应关系就构成了一个新的函数函数f(x)在X0处的导数f(X0)就是导函数f'(x)在X0处的函数值，即f 认)=f'(X)X下面根据导数的定义求一些简单函数的导数例2求函数f(x)二C(C为常数)的导数.y 二 f (x ：x)f (x)二 CC 二 0，y' = lim 乜 二 lim -0，收，-X收0 J . x(C)' =0.例3求函数f (x) = xn ( n为正整数)的导数.n 12 n 2n=.：x nx - CnX 一 . ：x |C ：x),lim 卫=limx-0 . ix7nxn 二 C：xn，：x 川（：x）n(xn)n_1

6、二 nx后边我们将证明对一般幕函数y为任意实数）也有（X） = lx. ,C、x)' =(x2)'工1_ .x2 x1例如，当 x = 0时，（一），=（x），二-x2x求函数f（x） =si nx的导数.cy = sin(x lx) -sin x 二 2cos(x x)sin 空,2 2.也xsin - yx 2y = lim lim 2cos(x )cosx,0 Ax 02Ax(sin x) = cos x.同理可得(cosx)二-sinx.求函数y二ax（a 0,1）的导数.人X地x X/心 A 一y = a -a a (a -1),ixxln a'y x a 1

7、 x e 1y = lim a lima lim鼻o . :x-x 10-Xj0. ':xXXlnax,二 a lima lna.0 氐 x(ax)二 ax In a .特别地，当a =e时有X 'x(e ) =e .极限lim © "f(xo)存在的充分必要条件是lim f(xo)及Ax弹弓一Sxlim f (x0x) - f (x°)都存在且相等，这两个极限分别称为函数f(x)在点X。处的左导数.x Xx和右导数，记作f(X0)划二f （x。. ：x） f （x。）Axf（X。. ：x） - f（x。）左导数和右导数统称为单侧导数由函数极限与其

8、左、右极限之间的关系可知,定理 函数f (x)在点X。处可导的充分必要条件是左导数f_(x。)和右导数f.(x。)都存在且相等如果函数f (x)在开区间(a,b)内可导，且f'(a)及f(b)都存在，则称f (x)在闭区间 a,b上可导.三、导数的几何意义函数y = f (x)在点x。处的导数f '(x。)在几何上表示曲线y = f (x)在点M(x。，f(x。)处切线的斜率.即f (x。)=tan ：其中是切线的倾角 参见图2-1.如果y二f (x)在点x。处可导，则曲线在点M (x。，f (x。)处切线方程为y - f (x。)= f'(x°)(x -X。

9、).过切点M (x。，f (x0)且与切线垂直的直线叫做曲线y = f (x)在点M处的法线，如果f'(x。)= 0,则法线方程为1y-f(x。)； (x-x。).f (Xo)特别地，若f'(x°)=。，则曲线在点 M(x°，f(x。)处的切线方程为 y二f(Xo)，法线方程 为x=x。；若y=f(x)在Xo处的导数为二，则切线方程为x=x。,法线方程为yfd。).例6求曲线y =，fX在点(1,1)处的切线方程和法线方程.” ' 1 ' 1解y =产，则在点(1,1)处切线斜率k = y x_4= ,所以切线方程为2丘-21即法线方程为即y

10、 一匕(x1),x -2y 1 = 0.y-1 = -2(x-1),2x y -3 = 0.四、函数的可导性与连续性的关系定理 如果函数y二f (x)在点X。处可导，则它在点X。处一定连续证因为f (x)在点x0处可导，即Ly '毗"(X。),所以 3 ="山。-y lim =x = f'(x0) 0 = 0,故y = f (x)在点x°处一定连续.定理证毕.注意 这个定理的逆命题不成立，即函数f(x)在某一点处连续，则在该点处f(x)未必可导.请看下面的例子.例7设函数f(X)= X，讨论f (x)在X = 0处连续性及可导性.解 因为lim f

11、 (x)二=0 且 f(0)二0，所以f (x)二x在x = 0处连续.由于d(0"f(0)4,所以xxxf_(0) = lim - = lim 一也 x=lim X.J0_八 x皿2此+鬟妁烂=lim =1,.X 2 工 x显然f_(0)式仃0)，因此f (x) = x在x = 0处不可导.由以上讨论可知，函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件习题2-11.2.设 f (x) =4x2,按定义求 f'(-1).一物体的运动方程为 S =t3,求该物体在t = 3时的瞬时速度.3.求下列函数的导数：(1)y 二：”x(4) y=x3_x.4. 求曲线y =

12、sinx在点(一，丄)处的切线方程和法线方程6 25. 讨论下列函数在指定点处的连续性与可导性(1)f(x)X， x0,在 x = 0 处;x, x 0f(x)1 xarcta n-,x0，x 一0,在 x=0处;x = 0f(x)2 1 x sin , x0,X 0,在 x=0 处.x = 06设函数f(X)=叫r 2x ,ax b,x1,若函数f(x)在点x=1处连续且可导，则a和b应取x 0，何值？7.已知函数f(X)二Sinx，lx,x：0，求 f'(x).X - 0,8单项选择题.(A)f (xo -.：x) f (xo)Axf (Xo h) _ f (Xo _ h)2hf

13、(Xo) - f (Xo 2x)2X(D) lim函数f (x)在点X 处连续是f (x)在点x=xo处可导的.(A)必要条件；(C)充分必要条件(B)充分条件；(D)既非充分又非必要条件第二节 函数的求导法则用导数的定义求函数的导数是复杂的和困难的，从本节开始将介绍函数的求导法则，利用这些求导法则和基本初等函数的导数公式，可以比较方便地求出常见初等函数的导数、导数四则运算法则定理1设函数u =u(x)及v二v(x)都在点X处可导，那么它们的和、差、积、商(分母 不等于o)也均在x点可导，且u(x)二v(x)二u(x)二v(x).(2.1)u(x) v(x)二 u(x)v(x) u(x)v(x

14、)(2.2)v(x)Ju (x)v(x) - u(x)v (x)v2(x)(2.3)设f(x)在点X =X°处可导,则f'(Xo)=证只证明(2.1)式，(2.2)和(2.3)可同样证明令 y 二u(x) _v(x)，则：y u(x：x) _v(x：x) _u(x) _v(x)XXu(x ： =x) _u(x) v(x ： =x) _v(x)=土咲X所以y y = limAxu(x +山 x)u(x)v(x + Ax)v(x)=limlimLXLXx0x .=u (x) _ V (x).定理证毕.公式(2.1)，(2.2)可推广到有限多个函数的情况，如推论1设有限多个Uj(x

15、)(i =1,2川|,n)在X处均可导，则(5(x) U2(x)| Un(x) =5 (x) U2(x)川 Un(x).推论2设U = U(X), v = v(x), w = w(x)在点x处均可导，则(uvw) = u vw uvw uvw .推论3设U(x)在点x处可导，C为常数，则Cu(x) -Cu (x).2 '=3xcosx-In 2,求 y .y = (3x2) (cosx) -(ln 2)=6x sin x =exsin x，求 y .y = (ex) sin xex(sin x)xx=e sin x e cosx=ex(sin x cosx).设 y = tanx，求

16、y sin x 'y =(ta nx)=()cosx(sin x) cosx - sin x(cosx)2cos x2 . . 2_ cos x sin x _ 2cos x1 2 厂二 sec x . cos x' 2(tan x) = sec x .类似可求得2(cot X)= - CSC x.例41设 y 二 secx,求 y .解1、，'z 1' -(cosx)si nxy -(sec) -()22cosxcos xcos x=secx ta nx,即1(secx) = secx ta nx.类似可得1(csc x) - - cscxcot x .、反函

17、数的求导公式定理4设函数y=f(x)在区间Ix上单调、可导且f(x)=O,则它的反函数x=f'(y)在对应区间Iy上也单调、可导，且_1'1dx1f(y)'或f (x)dydydx证 任取y I y,给y以增量 y - 0 ,由y二f (x)的单调性知x二f J(y)在I y上也单调，从而x = f '(y " =y) - f J(yp?j 0,于是x 1y 2Y .因为y二f (x)连续，所以x二f，(y)也连续，故l.im x = 0.0从而4'x11f (y)叽厂f，(x).ljmxT = X定理证毕.例 5 y=arcsinx,x(_1

18、,1),求 y'.解 y =arcsi nx,xw(_1,1)是 x=s iny,y. (_一，一)的反函数，故 2 21 1 1 1y7(siny)cosy 1sin2 y . Cx2(arcsin x)1类似可得下列导数公式(arccosx)=11 - x2(arctanx)二11 x2(arccot x)=11 x2 .例6求函数y = log a x (a 0, a = 1)的导数.解 函数y =logax是函数x =ay的反函数，因为(ay)' =ayln a ,故1 1 (log ax) 頁a In a xln a即(log ax)'1 .xl n a1 特

19、别地，当a = e时,(ln x) .x三、复合函数的求导法则定理5设函数u=g(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u = g(x)处可导，则复 合函数y二f (g(x)在点x处可导，且其导数为dy 八、n、亠 dy dy du f (u)g (x)或dxdx du dx证 设x取得增量 x，则u取得相应的增量，从而y取得相应的增量 勺,即=g(x . ：x) _g(x),=y = f (u =u) _ f (u),当u - 0时，有.yy . u.x : u x因为u = g(x)可导，则必连续，所以 x 0时0,因此字二 f'(u)g'(x).dx当U = 0时,可

20、以证明上述公式仍然成立定理证毕2 ,例7设函数y =ex，求y .2解y =ex是由y =eu,u =x2复合而成的，因为dydu&弘 2x,dx2x-2xx2 2当复合函数求导法则应用比较熟练后，可以不写出复合过程所以也二也包=eu2x = 2xe：dx du dx例8设函数y =|n(x2 2)，求y'.解y = ln(x2 2)是由y = ln u , u = x2 2复合而成的，故dy dy du 1=dx du dx u例9设函数y = 丁1 -2x，求y'.'1 2 ' 1 2y (1-2x)n(1-2x)(1-2x) = (-2)33-23

21、3；(1-2x)2sin-,例10设函数y =e x ,求y .12x.1 .' sin_1y =e X(cos-)(x1sin12e xcos-.xx例 11 设函数 y = In cos(ex)，求 y'.1xcos(e )(_sin(ex) ex二 _extan(ex).例12设x 0,证明：(xV -5心(其中为任意实数).证由于xeE,所以(x与=(斟%)，=e训X(p |n x)，= x电x=Ax.例 13 设函数 y = In(x 1 x2),求 y，.1X 、1x2(12x2*1x21j1 + x2 +xx . 1 x2T x2四、基本导数公式与求导法则1. 基

22、本导数公式(1) (C)，=0;丄,(x)x.' .1 1 '(x )二七°,特别地(一) x(sin x)=cosx；(cosx)= sin x ；(tan x)=sec x；(cot x)=-csc2 x ；(secx)二 secxtan x ；(8)(cscx)二-csc x cot x ；(11) (l n x) ;x(12)(logaX)1xln a(13) (arcsin x)11(14) (arccosx)；W x2(15) (arctanx)11x2(16)(arc cotx)=2. 函数的和、差、积、商的求导法则设u =u(x), v =v(x)均可

23、导，则(2) (uv) = u v uv ;(1) (u 二 v) = u 二 v ；Is 、 c '川' u v_uv(Cu)二 Cu ；()2vv3. 复合函数的求导法则设 y = f (u) ,u = g(x)，且 f (u), g(x)均可导，则dy dy du 亠dTd； dx或y(x) = f(u)g(x).例14设函数x(1 x ) ,求 y .2y2-x22 2、a2 - x2(0_2x)x _4 Ja2 _x2-2x2a -2x2例15设函数y =sin2，求y .1 +xx2)'=(cos*)(严)21 x -x 2x二(cos1 + x 1 +x-

24、x2-(1 X2)2cos习题2-21求下列函数的导数：(1)= 3x2-x 5;1 -X31 2(2) y = 2 i x2 ;x x(4) y = xln x ;(9)二 x cosx;x -1sin xsin xxe(6) y 2 ln 3；x(8)5x1 x22 ,(10) y = x ln xcos x.2求下列函数在给定点的导数(1) y 二 sin x -cosx ,64(2) f (x)二，求 f'(0)和 f'(2).3求曲线y = x2 x - 2的切线方程，使该切线平行于直线 x y - 3 = 0.4求下列函数的导数(1) y =(3x 5)7;2x y

25、 = . 1 In2 x ;(3) y =e ;2(5) y = cos x;(7) y = arctan ex;5求下列函数的导数/X 2(1) y =(arccos§);(2) y = sin(2 -4x); y 二 ln(a2 -x2);(6) y = ： a2x2 ;(8) y = (arcsin x).x(2) y = ln cot ;arctan、x(4) y =e(5)y =助 +cos2x ； y = In In In x;2 3(6) y = (ln X);, x(8) y =ln tan;tan丄(10)y=e x6求下列函数的导数(I) y = xarctanx

26、-x exey xex、 f (x)(2) y = f(e )e7.设f (x)可导，求d . dx(1) y = f (arcs in-);x2 2(3) y 二 f (sin x) f (cos x).第三节高阶导数设一物体作直线运动,其速度v(t)是位移s(t)对时间t的导数,而加速度a(t)又是速度v(t)的变化率，即dvd dsa(t)().dtdt dt我们把导数的导数称为二阶导数.一般地，函数y=f(x)的导数y'二f'(x)仍是x的函数，因此，如果f'(x)在点x处仍然可导，则f'(x)在点x处的导数称为f (x)在点x处的二阶导数，记为y或d2

27、ydx2，即= (y)或dx类似地,二阶导数y"的导数称作f (x)的三阶导数，三阶导数的导数称为 四阶导数，分别 记为y"',y.y(n的导数称作f(x)的n阶导数，记作(n)y(n), f (n)(x),d_y 或拾 f(x).dx dx二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,相应地f(X)称为一阶导数.例1求函数y =3x2 2x 5的各阶导数2y = (3x 2x 5) = 6x 2 ,y'' =(6x 2)' =6, y(n) =0 (n _3).般地，若 y =Pn(x) =a°xn+qxn+ 川+anx + an (a&#

28、176;H0),则(n)y=n !ao, y(k) =0 (k> n +1).求函数y二ax(a 0, a = 1)的n阶导数.y =ax| na,y = ax I n2a,y =ax| n3a,y=axln4 a , y(n)= ax lnna.特别地,ex(n) x =e .求y = sin x的n阶导数.n=cosx 二 sin(x ),” .， 二 2 二y =si n(x+) =cos(x + §)=si n(x + -),2 兀3ti二 cos(x )=si n(x ),IIy = (si n x)Illy2兀'珂sin(x 石)3兀'=s in (

29、x 2)3兀4兀=cos(x ) =si n(x),y(n)(cosx)(n) = cos(x ).例4求y = In(1x)的n阶导数.y 胡n(1X)'二1 +xy'' (1 x)，.Hl2y = 1 2 (1 x),y=(-1) 2 3(1 x)*,(n)(-1)2( n-1)!'(1 x)n .如果函数u=u x及v=vx都在点x处具有n阶导数，那么显然 u x v x及 u x -v x也在点x处具有n阶导数，且(u 土v f)=u(n)土v(n)但乘积u x v x的n阶导数并不如此简单.由Fuv = u v uv首先得出uv = u v 2u v

30、uv ,Jl"*,“丄 c *1*uv = u v 3u v 3u v uv .用数学归纳法可以证明u v n =unv nunJui 川2!n nT 川 Z 1 u川 uv nk!n八 C：u"vkk =0上式称为莱布尼兹(Leibniz )公式.例 5 y = x2e2x,求 yf°)解设 u 二e2x,v = x2,则uk = 2ke2xk =1,2,111,20 ,v = 2x,v = 2,v=0k =3,4,|(|,20 ,代入莱布尼兹公式，得y x2e2x 20小20 2x 219 2x 小 20 1918 2x 小=2 e x 20 2 e 2x2

31、e 22!= 2 20 e2x x20x 95 .习题2-31求下列函数的二阶导数2 y = 2x In x;(3) y 二 tan x ；2xy ;1 -x2 3x(7)y=xe ;x -(2) y = e sin x; y = ln(x. 1 x2)；2(6) y = (1 x )arccot x;2(8) y = cos xln x.2求下列函数的导数值： f (x) =(x(1) y = f(x )；10)(3) y Tn f (x);4.验证函数y =ex cosx满足关系式：y' _ 2 y 2 y = 0.,求 f (0);x2'' f (x)二 xe ,

32、求 f (1)；xe f (x)，求 f (2).x1 y = f ();x.f (x) y = e (;.3.设f (u)二阶可导，求d-y dx2第四节 隐函数和参数方程所确定的函数的导数、隐函数的导数函数y二f (x)表示两个变量 y与x之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方 式表达，如 y二sinx, y二 Ex2 ,这样的函数称为 显函数.有些函数的表达式却不是这样的 , 例如方程x2 y3=0表示一个函数 y =3-匸x,但这个函数关系是隐含在这一方程中的 ,这样的函数称为隐函数.一般地，如果变量x和y满足一个方程 F(x, y) =0,在一定条件下，能确定y是x的函数,那么

33、称方程F(x, y)=0确定了一个 隐函数与此相对应，具有y二f(x)形式的函数称为 显函 数把一个隐函数化为显函数，称为 隐函数显化.但有些隐函数显化是相当困难的，如2sin(xy ) -1n(x y) = 0.下面通过具体例子说明不进行显化的隐函数求导方法例1求由方程xy -ex ey =0确定的隐函数y = y(x)的导数.解 方程两边对x求导并注意y = y(x),则得'x y 'xy y_e e y =0,解得x' e y yy y(ey x = 0).e +x例2求由方程y5，2xy-x-3x? =0所确定的隐函数在 x=0处的导数dydx解方程两边对x求导

34、，有5y4业 2y 2x业-21x0,dxdx由此得64(5y2 = 0).dy 121x -2y_4dx 5y 2因为当x = 0时，由原方程得y = 0，所以dy_1+21x°2y_ 1dxdy 1d y 小cosy 0.dx 2dx于是dy 2dx 2 -cosy上式两边对x再求导，仍注意y = y(x)，得dy2sin y -dx _-4sin y -5y+2y 2例3求曲线x3 (2-cosy)(2-cosy)例 5 设函数 y = xsinx(x 0)，求 y .解在y二Xslnx两边取对数，得 xy y4在点(2, -2)处的切线方程解方程两边对x求导，有2x xy y

35、 2yy 二 0,-(2x y)x 2yI,y(2, N) = 1.于是曲线在点(2, -2)处的切线方程为y-(-2) =1 (x-2),即d2ydx2(2 - cos y 0).x _ y _4 = 0 .1例In y = sin xln x.将上式两边对x求导，有求由方程x-ysin y = 0所确定的隐函数的二阶导数2d2y dx2 .解由原方程得1 ' 1 y 二 cosxln x (sin x).yx于是/,sinx、y 二 y(cosxlnx)x= xsinx(cosxlnxx例6设护XRX2)，求'.Vx+3解两边取对数，得1 In y ln(x 1) In(x

36、 2) -1n(x 3),3两边对x求导，得1 Jy 3x1 x 2 x 3y =13(xt1)(xt2)(丄 +3 x 3 x 1 x 2 x 3这种先取对数再求导的方法称为 对数求导法一般地,对幕指函数，以及经多次乘、除、乘 方和开方运算构成的函数，用对数求导法比较简便、由参数方程所确定的函数的导数X = ® (t)若y与x的函数关系是由参数方程.确定的，则称此函数为 由参数方程所确定X (t)的函数.在实际问题中，需要计算由参数方程所确定的函数的导数，但从参数方程中消去参数 t,有时会很困难下面给出直接由参数方程求出它所确定的函数导数的方法设：(t)(t)均可导，且;:(t)有

37、反函数t二：J(x)，则由参数方程所确定的函数就是复合函数y =：'(X)，利用复合函数及反函数的求导法则，得dy _dxdl dy i ' (t) dx dt dx dt dx '(t) dtdy '(t) 心一(t)”x = ®(t),如果x=W(t),y =屮住)是二阶可导的，则由新的参数方程dy屮(t)可得 dx 一 毋'(t)d2ydx2dx'(t)"(t) '(t) - "(t) '(t)3dydx1x = t -，亠7设t求y =1 t,空1 dydtt2 dt二1，于是dydy _ d

38、tdx dxdtt28已知椭圆的参数方程t2t2 -1(t = -1).ix 二 a cost,二'求椭圆在t=处的切线方程.y = bsi nt,4当t 时，得点M (上2 a,二2 b)，在M点处切线斜率为422JTdy(bs in t)'bcostdx(a cost)'4t 兀-asintt -一4K -，椭圆在M点处的切线方程为2 b 2y b (x a)2 a 2或bx"：,求 d-yy = cost, dxdydy _dtsintdx dx2tdtd2ydx2(弓)'(1t2)'sin t -t cost4t3sintt cost4

39、t3习题2-41求下列方程所确定的隐函数的导数dydx2y _2xy 9 = 0;y = cosx 6n y ;222x .x y -esin y ;xyx=y .2求由方程sin(xy) In( yx)二x所确定的隐函数y(x)在x = 0处的导数 空dxx=0y =y/Z(1 x)31y = (1 cosx)x.5求下列参数方程所确定函数的导数dydxx = t(1 - si nt), y 二 t cost;x = g sin t, etcost .2x =2t -t , (1)3ly =3t t ;丄x = acost,=atsi nt;6求下列参数方程所确定的函数的二阶导数dx2Ix=

40、at2,x = l n(1+t2),(1) 2 3 <y =bt ；y = t - arctant.k =2et7求曲线在t = 0处的切线方程及法线方程.丄y =e第五节函数的微分、微分的定义引例 如图2-2所示，设有半径为x0的圆形金属薄片，受温度影响，半径改变了厶X,这时面 积的增量为lS =二（x0，=x）2 -mx： = 2二 x0lx 二（lx）2,其中2：Xo，X是Ax的线性函数，二（Ax）2是Ax的高阶无穷小，因此，当Ax很小时，金属薄片的面积改变量.s ： 2二x0 ：x.图2-2定义 设函数y = f （x）在某区间内有定义，如果在点x0处给自变量一增量x，函数的增量

41、 :y = f（x0：x） - f （沧）可表示为y = A x o( ：x),其中A是不依赖于x的常数,则称函数f (x)在x0处是可微的,而A x叫做函数f (x)在点X。处相应于自变量增量ix的微分,记作dy ,即dy 二 Alx .定理 函数y = f (x)在点X。处可微的充分必要条件是函数y二f (x)在点X。处可导,且A 二 f(X。).证必要性设函数y = f (x)在点x0处可微，即Ly = f (x0 =x) - f (x0) = Alx o(lx).上式两边同除以LX，得LXLX所以即函数f (x)在点X。处可导且f(X。)=A.充分性 设函数y = f (x)在点x0处

42、可导,即L V '毗"I由极限与无穷小的关系，有.：v 'f (X。)：,X其中lim0，故-y = f，(x。)二x ；lx.X因为f(X。)与lx无关，且驭。,所以函数y = f (x)在点Xo处可微，且dy 二 f，(x。)x定理证毕.通常把自变量的增量 x称为自变量的微分，记作dx,则函数y二f (x)在x处的微分dy = f (x)dx,从而有轧 f(x).dx因此，导数也叫做微商.微分的几何意义曲线y=f(x)在点皿(沧，£(沧)处的切线MT的方程为y - f (xo) = f (xo)(x -xo).由于f'(xo)(x-x。)=dy

43、,所以dy = y- f(xJ,即dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，见图2-3.当f (x0)严0，且卜x很小时，有y dy .例1求函数y = f (x)解函数的微分为dy = f '(x) ：x = 2x x .由已知条件x =1,，x =0.01，故dy x：=2 1 0.01=0.02.心=0.01f (x)，再乘以dx即可.、基本初等函数的微分公式与微分运算法则由dy = f (x)dx可知,求微分dy,只要求出导数1.基本初等函数的微分公式(1)d(C) =0 (C为常数)；(3) d(sin x)二 cosxdx ；2(5) d(tan x)二 sec xdx ；

44、(2) d(x ")二"xSx ;(4) d(cos x)二-sin xdx;2(6) d(cot x)二-csc xdx(7) d(secx)二 secxtan xdx ；(8) d(csc x)二- cscx cot xdx ；(9) d(ex)二 exdx；(10) d(ax) = ax ln adx ；(ll)d(ln x-dx; x(12)d(logaX)1xln adx;1(13) d(arcsin x)dx ；-x2(14) d(arccos x)二(15) d(arctanx)2 dx；1 +x2.函数和、差、积、商的微分法则(1) d(u 二 v) = d

45、u 二dv ；(16) d(arccotx)二(2) d(Cu) = Cdu ;(3) d(uv) = vd u udv；11 x2dx.“u、 vdu udv d()二v2三、微分的形式不变性设y = f (u)可导，这里u是自变量，则微分Idy = f (u)du;另一方面，若y = f (u)及u=g(x)均可导，这里u是中间变量，则复合函数y = fg(x) 的微分为dy = f '(u)g'(x)dx,由于g'(x)dx二du，所以Idy = f (u)du .由此可见，无论u是自变量还是中间变量，微分形式dy = f (u)du保持不变.这一性质称为微分的形

46、式不变性例 2 设 y = eax :求 dy.解因为 y'=eax_b (ax+b)'=eax_ba ,所以dy =aeax也dx .或者由微分的形式不变性，有dy =eaxHbd(ax +b) = aeax_bdx.例3求y = e2xsin 3x的微分.解dy=d(e2xsi n3x)2 x 2 x=sin 3xd(e ) e d(sin 3x)=sin3 x 2e2xdx e2x 3cos3 xdx二 e2x(2sin 3x 3cos3 x)dx.四、微分在近似计算中的应用如果y = f (x)在点xo处可导，且 f'(X。)式0,则当#x很小时，有y = f(

47、X。：x) - f(X。)： f (Xo) ：x ,即f(X。：X)： f(xo) - f (xo) ：X .例4利用微分求sin 290的近似值.解令 f (x)二 sin x ,取 x0，二x，由 f (x)二 cosx 得6 180sin 29° ： f (x0)f'(x0/ xJTtJE二 si n (cos)()661801 , 3 二0.484 .2 2 180例5证明当x较小时，sin x x .证取 f (x)二 sin x， f (0) =0， f (0) =cos x=0 =1，则sin x ： f(0) f (0)x ,sin x ： x.当x很小时，类

48、似有下列近似公式(1) In(1 x) : x(3) tan x ： x(2) ex ： 1 x(4) (1 X)： ： 1: X1.求下列函数的微分:(1)习题2-52 2（5） y = tan （1 2x ）；2. 设 y2 - 2xy 9 = 0，求 dy .3. 计算下列函数值的近似值：（1）. 105 ；4. 证明当x很小时下列近似公式成立:(1) ln(1 x) : x ；(2) y 二 xsin 2x ；(4) y =arcsin 1 - x2 ；sin x2(6) y=e(2) sin 30 30.(2) n 1 x : V .n总习题二(A类)x1.设函数 f（x：x.b,X

49、 一0,在点x = 0处可导，求a和b.x ： 02.讨论下列函数在指定点处的连续性及可导性f(x) =(1+x)，lx，X 一°在X =0处;x 0 f (x) = sin x 在 x= 0处.23在抛物线y=x上过横坐标为xi=1及X2=3的两点作割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？4证明：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于2a2.(1)y = ta n x;(2)xsin x 吃y 二a;(4)2 2y = (arcsin x );(6)x +1 y = arcta n( );x1(8)(9)y = x. 1 - x2 arcs inx;(10)5求下列函数的导数26求下列函数的导数y 二 a