推广的F-展开法在求解BBM方程精确解中的应用

1、2012年度本科生毕业论文（设计）推广的F-展开法在求解BBM方程精确解中的应用院 系： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2008级 学生姓名： 唐荣贵 学 号： 200805050215 导师及职称： 李绍林（副教授） 2012年6月 2012Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate The application of F-expansion method for solving the exact traveling wave solutions of BBM equationDepart

2、ment: College of MathematicsMajor: Mathematics and Applied MathematicsGrade: 2008Students Name: Tang RongguiStudent No.:200805050215Tutor: Li Shaolin( Associate Professor )June, 2012毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个

3、人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期： 毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。 作者签名： 指导教师签名：日期： 日期： 唐荣贵 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注芮伟国教授红河学院数学学院组长李绍林副教授红河学院数学学院何振华副教授红河学院数学学院林

4、 羽讲师红河学院数学学院红河学院本科毕业论文（设计）摘要本文利用推广的F展开法，通过引入三个辅助方程对BBM方程进行了研究，得到方程的一些精确行波解.这些精确解的类型主要包括：有理函数，三角函数，指数函数，Jacobi椭圆函数，双曲函数和Weierstrass椭圆函数六种类型.为了解这些精确解的性质，利用数学软件（Mathematica）对部分精确解进行图象模拟.关键词：BBM方程；推广的F展开法；辅助方程；精确解红河学院本科毕业论文（设计）ABSTRACT Using extend F-expansion method and introducing three auxiliary equa

5、tions,the nonlinear partial differential BBM equation is studied,some exact traveling wave solutions are obtained.According to function types,these exact solutions are classified as the following six types:the rational type,triangular type,exponential type,Jacobi elliptic type,hyperbolic type and We

6、ierstrass elliptic type.Understanding the properties of the exact traveling wave solution,the images of some exact solutions are simulated by the mathematical software- Mathematica.Keyword:BBM equation;Extend F-expansion method;Auxiliary equation;Exact solution 红河学院本科毕业论文（设计）目录第一章 引言1第二章 预备知识32.1 预备

7、知识一32.2 预备知识二52.3 预备知识三6第三章 BBM方程的精确行波解83.1 结合辅助方程（2.1）求解BBM方程的精确行波解83.2 结合辅助方程（2.2）求解BBM方程的精确行波解123.3 结合辅助方程（2.3）求解BBM方程的精确行波解143.4 图象模拟16第四章 小结18参考文献19致谢21红河学院本科毕业论文（设计）第一章 引言一个系统，如果输出与输入不成正比，则它是非线性的，在实际现象中，弹簧受力伸长（产生位移），当位移较小时，力与位移成正比，力与位移的关系为线性关系，即Hooke定律，当位移很大时，Hooke定律失效，弹簧变为非线性振子；又如一个介电晶体，当输入光强

8、不再与输出光强成正比时，都是非线性的.众所周知，自然科学或社会科学几乎所有的已知系统，当输入较大时，都是非线性的.因此，非线性系统远比线性系统多得多.可以说，客观世界本来就是非线性的，线性只是一种近似.描述这些非线性系统行为的方式就是非线性微分方程，非线性方程很多，如非线性常微分方程（组），非线性偏微分方程（组），函数方程与差分方程(组)等. 非线性偏微分方程是现代数学的一个重要分支，无论在理论中还是在实际应用中，非线性偏微分方程均被用来描述力学、控制过程、生态与经济系统、化工循环系统及流行病学等领域的问题.利用非线性偏微分方程描述上述问题并充分考虑到空间、时间等因素的影响，因而更能准确的反映

9、实际.20世纪60年代以来，非线性科学得到了飞速的发展，在非线性偏微分方程中一方面研究偏微分方程解的存在性1，精确解2，稳定性3，唯一性4等；另一方面研究非线性偏微分方程的求解方法，探索解的不同结构与演化规律是非线性研究中的重要内容.在此期间专家学者在求解非线性发展方程的精确解方面做了大量而有效的工作，构造了很多有效的求解方法，如指数展开法5-6，Jacobi椭圆函数展开法7-8，Hirota 方法9,齐次平衡法10-11，F展开法11-13等. 但由于非线性方程的复杂性，这些方法都只适用某些类型的方程，没有一种方法能求解普遍的非线性偏微分方程，所以寻找更加行之有效的解法 ，成为人们关注的热点

10、问题.本文将研究如下的非线性偏微分方程，即Benjamin- Bona-Mahony方程14（简称为BBM方程）.该方程由Benjamin，Bona和Mahony于1972年研究非线性水波时建立的,他们的研究结果表明KdV 方程作为流体中长波单向传播模型方程的缺点,进而提出了另一1第一章 引言个更合适的非线性色散介质中长波单向传播的模型方程（BBM方程）15.对于BBM方程的研究，据查阅文献，王明亮16通过给出Lagrange密度函数,由变分原理引出了BBM方程,解析地研究了该方程的孤立波解及其互相作用.尚亚东，钮鹏程17用行波方法研究了BBM方程,求出了方程的一些精确孤立波解.黄正洪，夏莉1

11、8利用椭圆函数积分法求出了BBM方程的椭圆余弦波解等精确解.尚亚东19研究了一类广义BBM 方程的基本守恒律.在文献20，21和22的基础上，我们应用推广的F-展开法结合三个辅助方程来求解BBM方程.接下来的内容里，我们作如下安排，在第二章中介绍本文需要用到的三个辅助方程及辅助方程解的情况；在第三章中具体利用推广F-展开法并结合三个辅助方程对BBM方程进行求解，借助于数学软件（Mathematica）对方程的部分行波解的图像进行模拟；最后对我们所做的工作做了小结，并提出了一些可以进一步深入研究的方面.2红河学院本科毕业论文（设计）第二章 预备知识在本章中，我们介绍一下在论文中所需要的三个辅助方

12、程20-22 ， （2.1）， （2.2）， （2.3）其中，.2.1 预备知识一文献20中，当 ，取不同的值时，（2.1）具有如下解： （1）当时，（2.1）有双曲函数解，三角函数解和有理函数解:，,. （2.4） ，,. （2.5） ，,. （2.6）（2）当，时，（2.1）有双曲函数解，三角函数解和有理函数解: ，,. （2.7） ，,. （2.8） ，,. （2.9）（3）当时，（2.1）有三种Jacobi椭圆函数：，. （2.10）3 第二章 预备知识，. （2.11） ，. （2.12）其中是Jacobi椭圆函数（2.10）、（2.11）、（2.12）的模，且Jacobi椭圆函数有

13、下面的关系：，.当时， ，.当时，.（4）当时，（2.1）有双曲函数解，三角函数周期解和有理函数解： ，. （2.13） ，. （2.14） ，. （2.15）（5）当，时，（2.1）有Weierstrass 椭圆函数解： ，. （2.16）（6）当时，（2.1）具有如下解： ，. （2.17） ，. （2.18）（7）当时，（2.1）具有如下有理函数和指数函数解：4 红河学院本科毕业论文（设计） ，. （2.19） ，. （2.20）（8）当时，（2.1）具有如下指数函数、三角函数、双曲函数解： ，. （2.21） ，. （2.22） ，. （2.23） ，. （2.24） ，. （2.25

14、）（9）当，时，（2.1）具有如下形式的解： ，. （2.26） ，. （2.27） ，. （2.28）2.2 预备知识二据文献21，辅助方程（2.2）式的解有以下几种情况：（1）当，时， . （2.29）（2）当，时，5 第二章 预备知识 . （2.30）（3）当，时， ，或. （2.31）（4）当，时， ，或. （2.32）（5）当，时，或. （2.33）（6）当，时，或. （2.34）（7）当，时，. （2.36）（8）当，时，. （2.37）（9）当，时，. （2.38）2.3 预备知识三据文献22，辅助方程（2.3）的精确行波解有如下五种情况：（1）当，时， . （2.39）（2）当

15、，时， . （2.40）（3）当，时，6 红河学院本科毕业论文（设计）. （2.41）（4）当，时，. （2.42）（5）当时， . （2.43）7第三章 BBM方程的精确行波解第三章 BBM方程的精确行波解3.1 结合辅助方程（2.1）求解BBM方程的精确行波解考虑如下BBM方程 ， （3.1）其中，为任意常数.引入行波变换，令，则方程（3.1）可以转换为 ， （3.2)其中，为常数，表示行波的波速.假设（3.2）的解为， （3.3）其中，且满足如下的辅助方程 ， （3.4）其中和都为待定的正整数.根据齐次平衡法，平衡（3.2）中最高阶非线性项与最高阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相

16、应的取值.结合预备知识一，特别地取，相应地，则（3.3）可化为 ， （3.5）（3.4）可化为. （3.6）把（3.5）和（3.6）代入（3.2），将（3.2）转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组：8红河学院本科毕业论文（设计） （3.7）求解（3.7），得到如下三组解： （3.8） （3.9） （3.10）（1）把（3.8）代入（3.5）得 . （3.11）根据（3.8）和（3.11），为得到BBM方程（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数须满足如下：，为任意非零常数.由，可知，.由（2.28）可知，方程（3.1）有如下精确行波解： ， （3.12）其中.（2）把

17、（3.9）代入（3.5）得9第三章 BBM方程的精确行波解. （3.13）根据（3.9）和（3.12），为得到（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由（2.4）、（2.5）、（2.6）可知，方程（3.1）有如下双曲函数解，三角函数和有理数解：, （3.14）其中,., （3.15）其中,., （3.16）其中,.根据（3.9）和（3.13），为得到（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由（2.7）、（2.8）、（2.9）可知，方程（3.1）有如下双曲函数解，三角函数和有理函数解： ， （3.17）其

18、中，.， （3.18）其中，.， （3.19）其中 ，.根据（3.9）和（3.13），为得到（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数满足如下：10红河学院本科毕业论文（设计），为任意非零常数.由（2.10）、（2.11）、（2.12）可知，方程（3.1）具有三种Jacobi椭圆函数解： ， （3.20）其中，. ， （3.21） 其中，. ， （3.22）其中，. 当时，（3.20）退化为双曲函数解（3.14），（3.21）退化为双曲函数解（3.17）.当时，（3.20）和（3.22）退化为常数解，（3.21）退化为，. （3.23）（3）把（3.10）代入（3.5）得 . （3.24）

19、根据（3.10）和（3.24），为得到（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由（2.13）、（2.14）、（2.15）可知，方程（3.1）具有如下解：，. （3.25），. （3.26）. （3.27）11第三章 BBM方程的精确行波解根据（3.10）和（3.24），为得到（3.1）的非常数解，辅助方程（2.1）的参数满足如下：，为任意非零常数，为任意常数.由（2.16）可知，方程（3.1）具有Weierstrass椭圆函数解， （3.28）其中，. 3.2结合辅助方程（2.2）求解BBM方程的精确行波解假设（3.2）的解为 ， （3.29）其中

20、，且满足如下的辅助方程， （3.30）其中的和都为正整数.根据齐次平衡法，平衡（3.2）中最高阶非线性项与最高阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相应的取值.结合预备知识二，特别地取，相应地，则（3.29）可化为， （3.31）（3.30）式可化为. （3.32）把（3.31）和（3.32）代入（3.2），将（3.2）转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组： （3.33）12红河学院本科毕业论文（设计）求解（3.33），得到如下解： （3.34） 把（3.34）代入（3.31）得 .（3.35）结合（3.34）、（3.35）和（2.29）-（2.38）可知，方程（3.1）

21、具有如下的精确解：（1）当，时，. （3.36）（2）当，时， . （3.37）（3）当，时， ， （3.38）. （3.39）（4）当，时， （3.40）. （3.41）（5）当，时， （3.42）. （3.43） （6）当，时， （3.44）. （3.45）13第三章 BBM方程的精确行波解（7）当，时， . （3.46）（8）当，时，. （3.47）（9）当，时，. （3.48）3.3 结合辅助方程（2.3）求解BBM方程的精确行波解假设（3.2）的解为 ， （3.49）其中，且满足如下的辅助方程. （3.50）其中和都为待定的正整数.根据齐次平衡法，平衡（3.2）中最高阶非线性项与最高

22、阶线性项，得.取定不同的，由上式即可确定相应的取值.结合预备知识三，特别地取，相应地，考虑到计算时的方便，取，则（3.49）式化为 ， （3.51）（3.50）可化为. （3.52）把（3.51）和（3.52）代入（3.2），将（3.2）转化为关于的多项式，令的各次幂系数为零，得到如下的方程组14红河学院本科毕业论文（设计） （3.53）求解（3.51），得到如下解： （3.54）把（3.54）代入（3.2）得. （3.55）结合（3.54）、（3.55）和（2.39）-（2.43）可知，方程（3.1）具有如下的精确解：（1）当，时， （3.56）其中.（2）当，时，. （3.57）（3）当，

23、时，. （3.58）（4）当，时，. （3.59）（5）当时， （3.60）其中.15第三章 BBM方程的精确行波解3.4 图象模拟为理解这些精确行波解的函数性质，我们选取部分精确解（，），利用数学软件（Mathematica）对它们进行了图像的模拟.在图像模拟的过程中，我们选取如下参数的取值:图3-1 中的参数取为，,.图3-2到图3-4中的参取为，.在图3-5至图3-8中的参数取为，.图3-9中的参数取为，.图3-10中取参数为，. 图3-1 的三维波形图 图3-2 的三维波形图 图3-4 的三维波形图 图3-4 的三维波形图16红河学院本科毕业论文（设计） 图3-5的三维波形图 图3-6

24、的三维波形图 图3-7 的三维波形图 图3-8的三维波形图 图3-10的三维波形图 图2-11 的三维波形图17第四章 小结第四章 小结本文利用推广的F展开法，并结合以下的三个辅助方程，,得到了BBM方程的33个解.其中有11个双曲函数解，11个三角函数解，6个有理数解，3个Jacobi椭圆函数解，1个指数函数解，1个Weierstrass 椭圆函数解.通过对部分精确行波解所进行的图像模拟，以便于我们进一步了解这些行波解的函数性质.在本文中，我们认为可在以下方面进行扩展：（1）扩展方程所设的解（3.2）为.（2）辅助方程（2.1），（2.2），（2.3）进一步扩展为，其中，其中，其中，.据查文

25、献，上述辅助方程的研究结果较少，因此，这是一个值得继续深入研究的问题.由文中的求解过程不难发现，辅助方程的形式在求解过程中至关重要.因此，我们打算把其它方法（如指数函数法，方法）等用于考上述辅助方程的扩展形式上，期望得到它们的更多解，以进一步丰富F展开法的内容.18红河学院本科毕业论文（设计）参考文献1 王广西,许又军.一类P-Laplace方程正解的存在性J.数学理论与应用2007, 27(3):65-69.2 李志斌，姚若侠.非线性耦合微分方程组的精确解析解J.物理学报，2001，50(11):2062-2066.3 从福仲,李通.广义Hamilton系统的有效稳定性J.中国科学:A辑，2

26、004，34(4):407-417.4 王定江,非线性年龄结构种群发展方程解的存在唯一性J.生物数学学报，1994,9(2):39-42.5 刘玉堂,李富志.指数函数法及其在非线性发展方程中的应用J.计算机工程与应用,2009,45(2):65-70.6 徐桂琼,李志斌.构造非线性发展方程孤波解的混合指数方法J.物理学报,2002,51(5):946-950.7 刘式适.Jacobi椭圆函数展开法及其在求解非线性波动方程中的应用J.物理学报,2001,50(11):2068-2073.8 李德生若干非线性演化方程精确求解法的研究D大连：大连理工，20049 Hirota R.Exact sol

27、utions of the Korteweg-de Vries equation for multiple collisions of solitonsJ.Phys Rev Lett,1971,27:1192-1194.10 范恩贵,张鸿庆.非线性孤子方程的齐次平衡法J.物理学报,1998,47(3)：353-361.11 Wang Mingliang.Homogeneous balance method and applicationsJ.Phys Lett.A,1993,213(2):279-284.12 李向正,王明亮,李晓燕.应用F展开法求Kdv方程的周期波解J.应用数学,2005(18):303-307.13 李向正,刘玉晓.F展开法综述和两个广义Kdv方程的孤立波解J.平顶山工学院学报,2006(5):42-45.14 范恩贵.可积系统与计算机代数M.北京:科学出版社,2004:145-145.15 李保安,尤国伟,秦青.BBM 方程的周期波解和孤立波解J.河南科技学19学报(自然科学版),2004,25(5):70-73. 16 王明亮.BBM方程的孤立波解及其互相作用J.兰