第九章 噪声中信号的检测 - search readpudncom

1、第9章 噪声中信号的检测前一章学习了经典假设检验理论，本章将要运用假设检验理论讨论噪声中信号的检测问题或最佳接收机的设计问题，在这里信号检测的含义是指从含有噪声的观测过程中判断是否有信号存在或区分几种不同的信号；而接收机实际上是对观测过程实施的数学运算。为了设计最佳接收机，首先需要指定设计准则，这可以采用第8章介绍的判决准则，然后相对于选定的准则来设计接收机，在设计通信系统的接收机时，通常采用最小错误概率准则，而对于雷达和声纳系统则采用纽曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）准则。本章只介绍高斯白噪声环境下信号的检测问题，高斯有色噪声以及非高斯噪声环境下的检测问题请读者参看其它相关教材。9

2、.1 高斯白噪声中确定性信号的检测 考虑一个简单的二元通信系统，系统发送信号或，两个信号是完全已知的，假定接收机的观测时间间隔为(0,T)，由于信道噪声的影响，接收到的信号受到噪声的污染，因此接收机观测到的过程为： (9.1.1)其中噪声假定是零均值的高斯白噪声，功率谱密度为。现在要设计一种接收机，通过对观测过程的处理，对(9.1.1)式的两种假设作出判决。 由假设检验理论可知，最佳接收机的结构由似然比计算器与一个门限比较器组成，然而在第8章，涉及的观测数据都是离散的，因此要运用假设检验理论来解决噪声中信号的检测问题。首先需要将连续的观测过程离散化，然后再计算似然比。 假定噪声为一带限噪声，功

3、率谱密度为 (9.1.2)很显然，当W®¥时，带限过程趋于白噪声。带限过程的相关函数为 (9.1.3)噪声的方差为 当时，即是相互正交的随机变量序列，由于是高斯的，故是相互独立的。因此，如果以Dt=的间隔对观测过程进行均匀抽样，所得的观测值是相互独立的，且 i=0,1 (9.1.4) (9.1.5)其中F为常数，同理， (9.1.6) (9.1.7) (9.1.8)所以判决表达式为 (9.1.9)或 (9.1.10)从(9.1.10)式可以看出，在白噪声环境下二元已知信号的检测可用相关接收机实现，接收机结构如图9.1所示。此外，根据3.6节介绍的匹配滤波理论，对信号y1(t

4、)的匹配滤波器的冲击响应为 (9.1.11)观测过程z(t)通过匹配滤波器后，输出为 当t=T时， (9.1.12)可见，相关积分可以用匹配滤波器来实现。同理，对信号y0(t)的匹配滤波器的冲击响应为 (9.1.13)观测过程z(t)通过匹配滤波器后，在t=T时的输出为 (9.1.14)采用匹配滤波器的最佳接收机结构如图9.2所示。9.2 最佳接收机的性能 为了分析最佳接收机性能，定义一个检测统计量， (9.2.1)那么判决表达式(9.1.10)可表示为 (9.2.2)虚警概率和漏警概率分别为 ， (9.2.3)因此要确定接收机的性能关键是要确定检测统计量I在不同假设下的概率分布密度。可以证明

5、(参见习题9.1)： (9.2.4) (9.2.5)其中， , , (9.2.6)和分别代表信号,的信号能量及它们的平均能量， (9.2.7)为归一化相关系数，则虚警概率为 (9.2.8)在上式中令，则 (9.2.9)其中 (9.2.10)漏警概率为 (9.2.11)其中 (9.2.12)从(9.2.9)(9.2.12)式可以看出，接收机的性能与信号的平均能量、归一化相关系数、噪声的强度以及判决门限有关，而与信号的波形是无关的。 如果采用最小总错误概率准则，且假定先验概率相等，即，则，因此 (9.2.13)这时，总的错误概率 (9.2.14)当，也即时， (9.2.15)这时总的错误概率是最小

6、的，称这样的系统为理想二元通信系统。 例9.1 二元通信系统的检测性能分析解 采用最小总错误概率准则讨论一下常见的二元通信系统的性能。对于相干相移键控(CPSK)系统，信号为 ， 由于，所以这是一个理想的二元通信系统。总的错误概率为 对于相干频移键控系统(CFSK)，二元信号为 ，适当地选择角频率w0、w1，例如，其中m和n是正整数，那么两个信号是正交的，即，这时总的错误概率为 对于启闭键控系统(OOK)，二元信号为 ，显然，而，因此总的错误概率为 二元通信系统的检测性能曲线如图9.3所示。 例9.2 雷达信号检测性能分析。 解 雷达信号的检测是一个二元假设检验问题， (9.2.16)既相当于

7、(9.1.1)式中y0(t)=0的情况，那么，由(9.2.9)和(9.2.10)可得 (9.2.17)雷达信号检测经常采用纽曼-皮尔逊准则，门限由给定的虚警概率确定，因此，由(9.2.17)可得 (9.2.18)由(9.2.11)和(9.2.12)式可得检测概率为 (9.2.19)将(9.2.18)式代入，得 (9.2.20)由上式可以看出，在高斯白噪声环境下，检测概率只与信号的能量和噪声谱密度之比有关，与信号的波形无关。图9.4画出了以PF为参数的曲线，这一曲线称为雷达系统的检测性能曲线。9.3高斯白噪声背景下随机信号的检测在前面两节讨论的检测问题中，信号是完全已知的，在实际中遇到的信号通常

8、具有确定的形状，但信号的某些参数是未知的，某些参数甚至是随机的。例如，在高频无线电通信系统中，由于电离层反射或散射体的随机运动，接收信号的幅度将随机变化，接收信号的频率或相位也有可能是随机的。因此，有必要研究含有随机参数信号的检测问题，8.4节中讨论的复合假设检验理论是研究这一问题的理论基础。本节重点介绍实际中常见的含有随机参数的正弦信号的检测问题，既信号检测的统计模型如下： (9.3.1)其中A、w0、F可能是随机的，噪声v(t)是零均值高斯白噪声，功率谱密度为N0/2，其它问题可以采用类似的方法进行研究。9.3.1 随机相位信号的检测在(9.3.1)式中，假定信号的幅度和频率是已知的，而相

9、位是(0,2p)上均匀分布的随机变量，是2p的整数倍。这是一个复合假设检验问题，由(8.4.2)(8.4.4)式可知，判决表达式为 (9.3.2)由(9.1.5)式可知， (9.3.3) (9.3.4)而由(9.1.6)式可知， (9.3.5)代入到似然比的计算中，经化简后得（参见习题9.2） (9.3.6)其中 (9.3.7) ， (9.3.8) (9.3.9)而是第一类零阶修正贝塞尔函数。判决表达式为 (9.3.10)由于I0(x)是单调上升函数，所以根据进行判决和根据M进行判决是等价的，因此，判决表达式可化为 (9.3.11)对于纽曼-皮尔逊准则，门限g由给定的虚警概率确定。检测器的结构

10、如图9.5所示，该结构通常称为正交接收机。图9.5的正交接收机还可以进一步简化。考虑一个对如下信号的匹配滤波器：它的冲击响应为 观测过程z(t)通过该匹配滤波器后，输出为 输出的包络为 其中 ， 当t=T时，输出的包络 可见正交接收机可以用一个匹配滤波器加一个包络检波器来实现，采用匹配滤波器加包络检波器的最佳接收机结构如图9.6所示。为了分析最佳接收机的性能，需要确定检验统计量M的概率密度，在两种假设下，M分别服从瑞利分布和莱斯分布（广义瑞利分布）（证明留作习题，参见习题9.3），即 (9.3.12) (9.3.13)其中，。那么，虚警概率为 (9.3.14)检测概率为 令，则上式可以化简为

11、(9.3.15)9.3.2 随机相位及幅度信号的检测在(9.3.1)式中，假定A和F是相互独立的随机变量，且F 在(0,2p)上均匀分布，幅度A服从瑞利分布，概率密度为 (9.3.16)上式中用(9.3.6)式代入，利用等式 (9.3.17)得 (9.3.18)所以，判决表达式为 或者 (9.3.19)与(9.3.11)进行比较可以看出，最佳检测器的结构与随机相位信号检测器的结构是一样的。9.4 信号处理实例9.4.1 加性高斯信道中基带数字传输在二元通信系统中，传输的是数字“0”、“1”序列，数字“0”、“1”分别用信号“y0(t)”、“y1(t)”来表示，假设数据传输率为R比特/秒(bit

12、/s)，对每比特数据按如下规则发送信号： (9.4.1)其中T=1/R为每比特时间间隔，假定信道为功率谱密度为N0/2的加性白噪声高斯信道，那么，接收信号波形为 (9.4.2)其中v(t)为高斯白噪声，接收机的任务就是要根据在(0,T)的间隔内接收到的观测信号z(t)来判断发送的是“0”还是“1”。二元通信系统通常采用最小错误概率准则，且假定发数字“0”和数字“1”的概率相等，由（9.1.10）式可知，最佳判决表达式为 (9.4.3)接收机的结构如图9.7所示。假定y0(t)和y1(t)信号如图9.8所示，很显然，这两个信号是正交的，且信号能量e0=e1=e=TA2，那么，在两种假设下，统计量

13、均服从正态分布，且 (9.4.4) (9.4.5)由(9.2.14)式可得错误概率为 (9.4.6)图9.9给出了误码率曲线，图中同时给出了用蒙特卡洛方法仿真在不同信噪比下发送10000比特数据的误码率曲线。9.4.2 双门限检测器 双门限检测是一种简单的常用检测器，在许多领域都有应用，本节以雷达系统中的双门限检测为例介绍信号检测器设计和性能分析的基本方法。双门限检测器如图9.10所示，接收机输出的中频信号为 (9.4.7)其中噪声通常是窄带正态噪声，噪声方差为s2，信号s(t)是一串脉冲型正弦信号，单个脉冲内的信号可表示为 (9.4.8)其中w0、a、q为常数，根据第五章的窄带随机过程的理论

14、，窄带正态噪声的包络服从瑞利分布，窄带正态噪声加正弦信号的包络服从广义瑞利分布，即包络检波器输出的概率密度为 (9.4.9) (9.4.10)第一门限检测也称为单次脉冲检测，它将视频回波信号量化成0、1序列，类似于(9.3.14)式和(9.3.15)式的分析，单次检测概率和虚警概率分别为 (9.4.11) (9.4.12)其中代表信噪比，为第一门限。 计数器将单次检测结果积累，计数器的长度为N，如果在连续N个脉冲中，计数器累计的单次检测个数超过第二门限M，则判定有目标。设X表示计数器内累计的单次检测个数，单次检测概率为P。那么，在N次独立取样中，有k次被检测到的概率服从二项式分布，即 (9.4

15、.13)计数器累计的单次检测个数超出M的概率为 (9.4.14)在上式中P分别用PD1和PF1代入，可得到双门限检测器的检测概率和虚警概率为 (9.4.15) (9.4.16)对于脉冲型回波信号来说，各重复周期内均有信号，在N次连续周期内超过门限的概率就大；而对于噪声而言，各重复周期内的取样是不相关的，偶尔一次超过门限，但连续几次超过门限的概率就很小。因此，双门限检测器的虚警概率很低，检测概率高。按照纽曼-皮尔逊准则，两个门限应根据在保证虚警概率恒定的情况下使检测概率最大来选择，在单门限检测中，门限可以根据 虚警概率计算出来，而双门限检测器的检测性能既和第一门限g有关，也和第二门限M有关，门限

16、的选择比较复杂。按照一般经验，对于，最佳第二门限为 (9.4.17)而第一门限则根据给定的虚警概率确定，图9.11给出了双门限检测器的检测性能曲线。需要注意的是，(9.4.12)式计算的虚警概率与噪声方差有关，对于雷达信号检测器而言，噪声环境是多变的，因此噪声方差是变化的，噪声方差的变化会引起虚警率的变化，而雷达要求恒虚警特性，因此在包络检波和第一门限检测之间需要加入恒虚警处理器。此外，本例讨论的双门限检测器，系统输入噪声是高斯噪声，包络检波器的输出是瑞利分布或广义瑞利分布，如果噪声是非高斯的，检测器的性能会下降，包络检波器输出的分布将变得复杂，理论分析系统的性能将非常复杂。有关雷达信号的恒虚

17、警检测和非高斯杂波环境下目标的检测问题在这里不作深入的讨论，感兴趣的读者请参阅雷达信号检测的相关文献。习题9.1 证明二元信号检测的（9.2.4）式和（9.2.5）式成立。9.2 在随机相位信号的检测部分证明(9.3.6) 式成立。9.3 对于如下随机相位信号的检测问题， 其中A、w0是已知常数，F是(0,2p)上均匀分布的随机变量，噪声v(t)是零均值高斯白噪声，功率谱密度为N0/2，令 证明： 其中。提示：当时，。9.4 两种假设下接收波形是 其中v(t)是功率谱为N0/2的白高斯随机过程。信号s(t)是高斯随机过程，并且可写为式中a是方差为的零均值高斯随机变量。求最佳接收机。9.5 对情

18、况，式中a和b是两个统计独立的、方差分别为和 的零均值高斯随机变量，重复习题9.4。9.6 对a和b是两个统计独立的、均值分别为ma和mb、方差分别为和 零均值高斯随机变量，重复习题9.5。9.7 假设s(t)是分段常数波形，是统计独立的、方差等于的零均值高斯随机变量。求最佳接收机。9.8 利用最小错误概率准则设计一接收机，对下述两个假设作选择：信号如图9.12所示。v(t)是功率谱为的正态白噪声。令信号先验概率相等。信号平均能量为E，观测时间为，试求时的错误概率。9.9 对下述两个假设，按似然比判决规则进行选择：其中为已知常数，v(t)是功率谱为的正态白噪声。问信号对接收机性能有何影响？ 9

19、.10 设有两个假设其中信号如图9.13所示。v(t)是功率谱为的正态白噪声。令先验概率相等。试按最小错误概率准则设计一个接收机，对上述假设作选择。9.11 设有移频键控信号且先验概率相等，均为常量。现以功率谱密度为的正态白噪声为背景，按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收，试求总错误概率。9.12 设两个假设其中v(t)是相关函数为的正态白噪声。令信号的能量，虚警概率为，采用连续观测进行检验。试求：（1）最佳接收机的结构；（2）判决门限的求解方程；（3）检测概率的表达式。9.13 依据一次观测，用极大极小准则对下述两种假设作出判决其中是零均值正态噪声，方差为，且。试求（1）判决门限；（2）与

20、门限相应的各先验概率。9.14 设有移频键控信号令先验概率相等，随机初相都均匀分布于上，且为常数。现以相关函数为的正态白噪声为背景，按最小错误概率准则对上述信号作最佳接收。试求（1）判决表达式；（2）画出最佳接收机。9.15 在雷达系统中，发射波形往往是一段已知频率的正弦信号。但是目标回波信号的频率已有偏移，偏移量就是所谓的多普勒频率，它近似等于，其中是目标的径向速度，c是电磁波传播速度。对于未知速度的目标而言，可用已知概率密度的随机变量描述。对应于目标存在或不存在两种情况，接收的观测量可写为其中E、为确知，v(t)为零均值正态白噪声，试对上述情况作似然比检验。9.16 在三元通信系统中，现以功率谱为的正态白噪声为背景进行观测。（1）设计具有最小错误概率的接收机；（2）设先验概率相等，求三种假设下的检测概率及总的正确判决概率。实验实验9.1 二元通信系统的