数值分析 1绪论-课件-13

1、数值分析Numerical Analysisl 数值分析是学习和了解科学计算的桥梁！数学的一种分类基础数学（理想化的）计算数学（实用化的）随机数学（圆滑的）数值分析学习方法1.注意掌握各种方法的基本原理2.注意各种方法的构造手法3.重视各种方法的误差分析4.做一定量的习题5.注意与实际问题相联系6.了解各种方法的算法与程序实现l 教材与参考书1. 数值分析简明教程，王兵团等，清华大学出版社 ,20122. Numerical Analysis,( 7th ed)， Burden R.L,Faires J.D影印版，机械工业出版社 ，20013. 数学实验基础，王兵团，清华大学出版社，2008l

2、 考试方法研究生采用闭卷方式,总成绩为试卷成绩;本科生部分开卷方式,总成绩=期末70%+平时（20%）+数值实验（10%）平时成绩:考勤和课堂参与（10%）、作业（10%）第1章 绪 论本章主要介绍科学计算的特点、数值分析基本知识和概念，它们对学习数值分析、了解科学计算原理，以及进行科学计算都是很有帮助的。1.1 学习数值分析的重要性思考：用一种计算机语言正确编程，计算机就一定能给出正确的结果，问题是这样简单吗？例 1.1 将数列写成递推公式形式，并计算数列的值。解：因为得到计算I n 的递推公式由 由递推公式（1.1）可依次算出I1，I 2，。实际中，计算时一般需要具体的数据，若取为准确到小

3、数点后8位的近似值作为初始值，在字长为8的计算机上编程计算，可出现的结果，这显然是错误的！（为什么？）l 用计算机解决实际问题的四个步骤1.建立数学模型；2.选择数值方法；(!)3.编写程序；4.上机计算。1.2计算机中的数系与运算特点1.计算机的数系l 数学中的实数 其中，c 为整数。x称为十进制浮点数。l b 进制的浮点数。l 计算机中实数其中t（字长）是正整数； b一般取为2,8,10和16；C（阶码）是整数，LcU，L和U为固定整数；称为尾数；数x称为t位b进制浮点数。l 机器数系：是计算机进行实数运算所用的数系。在 中，若称为规格化的浮点数。机器数系的特点l 机器数系是有限的离散集。

4、l 机器数系中有绝对值最大的非零数(常用M表示)和绝对值最小的非零数(常用m表示)。例如在4位十进制浮点数系F（10,4,-99，99）中，。l 若一个非零实数的绝对值大于M ，则计算机产生上溢错误，若其绝对值小于m，则计算机产生下溢错误。l 上溢时，计算机中断程序处理;下溢时，计算机将此数用零表示并继续执行程序。无论是上溢，还是下溢，都称为溢出错误。l 计算机把尾数为0且阶数最小的数表示数零。2.计算机对数的接收与处理l 计算机对数的接收设非零实数x是计算机接收的实数，则计算机对其的处理为（1）若 则原样接收x ；（2）若，则用 中最接近x的数表示并记录x。l 计算机对数的运算处理两个数在计

5、算机中参与运算的方式为：（1） 加减法先对阶，后运算，再舍入；（2） 乘除法先运算，再舍入例，某计算机的数系F（10, 4,99,99）的两个数x1=0.2337×10 -1和x20.3364×102 ，则运算过程如下1.3 误差准确值与近似值的差异就是误差，误差无处不在。1.误差的来源1).模型误差（也称描述误差）；2).观测误差（也称数据误差）；3).截断误差（也称方法误差）；4).舍入误差（也称计算误差）。例如要计算e0.32函数值，由于ex的展开式用近似公式 去计算e0.32，这样产生的误差就是截断误差。2.误差的定义（数学描述）定义1.1 设x是准确值 x*是x的

6、一个近似值，称差 x*x为近似值x*的绝对误差，简称误差，记为e* 或e (x*) ，即e (x*)= x*x定义1.2 称满足的正数e * 为近似值x*的误差限。该范围常用表示。定义1.3 设x是准确值，x*是x的近似值，称为近似值x*的相对误差，记为e*r或er (x*)，即l 重要结论！相对误差绝对值越小，近似程度越高。定义1.4 称满足的正数*为x* 的相对误差限。实用中相对误差限也用表示！3.数值计算的误差定理1.1 假设x*和y*分别是准确值x和y的一个近似值，则有四则运算的绝对误差估计1.2.3.证明 只证估计式2. 由定义有证毕。把微分与导数的知识应用于误差中，有e (x*)=

7、 x* x = dx l 绝对误差和相对误差与微分的关系1） 2）例1.2 考查函数y = xn 的相对误差与自变量x的相对误差关系。解取对数 取微分有由微分与误差的关系得出定理1.2设多元函数，自变量的近似值为，则有多元函数的误差估计 1） 2） 3）证明 利用Taylor展式有 例 1.3 设有一长方体水池，测得其长、宽、深分别为50±0.01米，25±0.01米，20±0.01米，试按所给数据求出该水池的容积，并给出绝对误差限和相对误差限。解: 令L,W, H分别代表长方体水池的长、宽、深；V代表长方体水池的容积，有V=V(L,W,H)=LWH由题意有水池的

8、长、宽、深的近似值为L*=50米，W*=25米，H*=20米，e（L*）= e（W*）=e（H*）= 0.01米按所给数据求出该水池的容积为：V*=V(L*,W*,H*)=L*W*H*=50´25´20=2500 （米3）故有绝对和相对误差限为27.50米3和0.11%。4. 计算机的舍入误差计算机对x的舍入绝对误差和舍入相对误差有如下估计1） 2）由此可知，计算机对任何实数的舍入相对误差限与实数本身无关，只与计算机字长t有关，其值为。因此常称为计算机精度。1.4有效数字科学计算中常用有效数字来估计和处理误差，有效数字易算且与误差有密切关系。定义1.5 若近似数x* 的误差

9、限是其某一位上基数的半个单位，就说近似数x* 准确到该位；由该位自右向左数到x* 的第一个非零数字若有n位，就称近似数x*有n位有效数字。有效数字的数学描述设，m为整数，k为不小于正整数n的整数。若有关系式 则称近似数x*有n位有效数字，此时x*有n位有效数字的值可取为。可以证明：果十进制准确数x经过四舍五入得到近似数x*，则x*的有效数字位为将x*写为规格化浮点数后的尾数的位数。例如x 0.00345, 四舍五入得x*0.00350.35´10-2可知x*有2位有效数字。有效数字越多，绝对误差和相对误差就越小，因此近似数就越准确！这是科学计算中要尽可能多保留有效数字的原因。例1.4

10、 求圆周率 的近似值和的有效数字。解:，由有m-n = -2，得n =3 ，x1有3位有效数字；再由，有m-n =-2，得n=3 ，x2有3位有效数字。 例 1.5 已知近似数x*有5位有效数字，试求其相对误差限。解 因为x*有5位有效数字，可以设于是有n=5和考虑x*的相对误差故有x*相对误差限为0.5´10 -4 。l 有效数字与相对误差的关系定理1.3设近似数，m为整数，n£ k有1) 若x*有n位有效数字，则有，2) 若x*的相对误差则x*有n位有效数字。证明1) 因为x*有n位有效数字，则有于是2) 由有证毕。利用定理1.3可以解决一些涉及有效数字和误差关系的问题

11、。例 1.6 为保证某算式的计算精度，要求参与计算的的近似值x*的相对误差小于0.1%，请确定x*至少要取几位有效数字才能达到要求。解 先将写成浮点数。因为所以得到a1=2。假设x*至少要取n位有效数字才能保证相对误差小于0.1%，由定理1.3的（1.5）式，选择满足的最小整数n即可。由得，有，故x*至少要取4位有效数字才能达到相对误差小于0.1%的要求。1.5数值分析研究的对象、内容数值分析的内容可分为两大方面：1.连续系统的离散化；2.离散型方程的数值求解。1.6 数值分析中常用的一些概念1. 数值问题由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先指定

12、的某种关系的问题，称为数值问题。2. 数值解由近似公式计算出的解称为数值解。一般数值解是近似解。3. 算法由给定的已知量，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，求出所关心未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为算法。数值分析本质上是研究和构造算法。4.计算量一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量，常用N表示。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘法或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率。算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也就越好。例如假设A，B，C 分别为10×20，20×50，50×1的矩阵，

13、计算DABC就有如下不同的算法和计算量：算法1 D（AB）C计算量 N10500 flop算法2 DA（BC）计算量 N1200 flop显然算法2的计算量比算法1小，因而算法2比算法1要好。5. 病态问题和良态问题1) 病态问题因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化的问题称为病态问题。例如，线性方程组 （1.7）的准确解为 x1=x2=x3=1把它的系数都舍入成两位有效数字做小的扰动后，原方程组变为这个方程组的准确解为x1=-6.222 , x2=38.25, x 3= -33.65此解与扰动前的解完全不同了。方程组（1.7）的求解就是病态问题。病态问题的计算或求解应使用专门的方法或将

14、其转化为非病态问题来解决。2)良态问题初始数据的微小变化只引起计算结果的微小变化的计算问题称为良态问题。例如对方程组的常数项做微小扰动后变为扰动前方程组的准确解为 x1=2 x 2 = -2而扰动后方程组准确解为x1=1.999，x2=-2.002这两组解之间的差别是不大的。数值分析主要研究良态问题数值解法。6. 数值稳定算法如果一个算法进行计算的初始数据有误差，而在计算过程中产生的误差不增长，则称该算法为数值稳定算法，否则称为数值不稳定算法。例1.8设计算机的数系为F(10,4, L,U),今有一批数据 试求其和。解 算法1.（按 x i 角标由小到大的顺序计算）最后得算法2.（按x i 的

15、角标由大到小的顺序计算） 最后得算法1没有算法2好算法2是数值稳定的，算法1不是。例1.9选用一个数值稳定方法计算数列的值。解 直接推导有递推公式故其带有误差的对应计算公式为为考察其数值稳定性，二式相减得该公式由开始，依次可计算出其在每次计算过程中，都将上次计算的误差放大5倍。记则有可知：计算In时的误差为初始误差的5n倍！因此该算法不是数值稳定算法。下面采用逆序计算方式给出一个数值稳定的计算公式将转换为该式由开始，依次计算出，其舍入误差关系为这说明，在每次计算过程中，都将上次计算的舍入误差缩小5倍，因此该算法是数值稳定算法。该算法的关键是取计算的初值,这里采用如下定积分估计的方法选取：因为取均值其初始误差为 用此做递推计算，依次算出，它们值所有误差不会超过。1.7 科学计算要注意的地方1. 避免两个相近的数相减；2. 避免用接近零的数做除数；3. 控制舍入误差的积累和传播；4. 简化计算过程。例 1.10怎样计算下列算式更好？1. Stan2.01tan22.3.解1是两个相近数相减问题。为避免