高等数学备课资料：第一章 函数、极限与连续 10 第十节 连续函数的运算与性质

1、第十节 连续函数的运算与性质分布图示 连续函数的算术运算 反函数的连续性 复合函数的连续性 例1 例2 例3 例4 初等函数的连续性 例5 幂指函数（例6） 最大值和最小值定理 零点定理与介值定理例7 例8 例9 例10 一致连续的概念 例11 例12 内容小结 课堂练习 习题 1- 10 返回内容要点 一、连续函数的算术运算定理1 若函数在点处连续, 则在点处也连续. 二、反函数与复合函数的连续性定理2 若函数在区间上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数也在对应的区间 ,上单调增加（或单调减少）且连续.定理3 若, 函数在点a出连续, 则有. (10.1)定理4 设函数在点连续, 且,

2、 而函数在点连续, 则复合函数在点也连续. 三、初等函数的连续性：定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.注：定理6的结论非常重要，因为微积分的研究对象主要是连续或分段连续的函数. 而一般应用中所遇到的函数基本上是初等函数，其连续性的条件总是满足的. 从而使微积分具有强大的生命力和广阔的应用前景. 四、闭区间上连续函数的性质：最大最小值定理 有界性定理 零点定理 介值定理 五、一致连续性的概念：一致连续性定理注: 一致连续性表明: 不论在区间I上的任何部分, 只要自变量的两个数值接近到一定的程度, 就可使对应的函数值达到所指定的接近程度.例题选讲

3、反函数与复合函数的连续性例1 (E01) 求 .解 例2 (E02) 求 .解 例3 求 解 令则易见当时 , 所以例4 (E03) 求 .解 因为 所以初等函数的连续性例5 (E04) 求 .解 因为是初等函数，且是其定义区间内的点，所以在点处连续，于是 例6 (E05) 求 .解 闭区间上连续函数的性质例7 (E06) 证明方程在区间(0, 1)内至少有一个根.证 令则在上连续 .又由零点定理 , 使即方程在内至少有一个实根例8 (E07) 设函数在区间a, b上连续, 且证明: 存在, 使得 证 令则在上连续 .而由零点定理 , 使即例9 证明方程 有分别包含于(1, 2), (2, 3

4、) 内的两个实根.证 当用乘方程两端，得设则由零点定理知，在与内至少各有一个零点，即原方程在与内至少各有一个实根 .例10 设 在 上连续, 且 证明: 在上至少有一点, 使 证 只要能找到一点使便可对在上应用零点定理 ，得到所需的结论.因故对存在当时，有即取实数这样而由零点定理知：在内至少有一点使由于也就是说在内至少有一点使一致连续性例11 (E08) 证明函数在内是一致连续的.证 因为所以对于任给只要取对内的任意两点当时，就有因此在内是一致连续的 .注：由一致连续的定义可以知道，如果函数在区间上一致连续，则在区间上必定连续 .但是反过来不一定成立 . 例12 (E09) 试说明函数在区间上是连续的,但不是一致连续的.证 因为函数是初等函数，它在区间上有定义，所以在上是连续的 .假设在上一致连续，应该使得对于上的任意两个值当时，就有现在取原点附近的两点显然因故只要取得足够大