高二-数学-选修2-2--导数的计算

1、导数的计算教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式；2、能利用导数公式求简单函数的导数。教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数问题1:如何求函数 y f(x) c的导数？2 .求函数y f (x) x的导数一2一3 .函数y f (x) x的导数一 ，1 -4 .函数y f(x)的导数 x5 .函数y 、x的导数1.基本初等函数的导数公式表函数导数y cy 0-,、n , *、y f(x) x (n Q )'n 1y nxy sin x'y cosxy cosx'y sin xy f (x) ax&

2、#39;x ./八、y a lna(a 0)一-一xy f(x) e'xy ef (x) loga x1Lf'(x) (a0且a 1)x ln af (x) ln x1 f (x)x分几类1、哥函数2.三角函数3指数函数4.对数函数、一，1补充f(x)一f1(x)2xxf x 1f.Xf (x)12 . x2公式的应用典型题一、求导数例1、求下列函数的导数51A(1) y x (2) y 5(3) y x(4) y In x (5) y log2 x (6) y cosx思考求f(x)的方法有哪些?3.导数的四则运算法则：问题 x lnx如何求?导数运算法则_ _ ， ，1、2

3、、3、f(x) g(x) f (x) g (x)'''f(x) g(x) f (x)g(x) f(x)g(x)f(x) f(x)g(x) f(x)g(x)(g(x) 0)g(x)g(x)推论:cf (x) cf (x)提示：积法则，商法则，都是 前与后不与,前不与后与 ，但积法则中间是加 号，商法则中间是减号.O'''吊见徐庆： f (x) g(x) f (x)g (x)_ 3 瑛(g(x) 0) g(x)g (x)典型题二、导数的四则运算法则例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.,、3(1) y x 2x 3(2)

4、y x sin x ;(3) y (2x2 5x 1) ex;x(4) y COSx lnxy sin x(cosx ex)2y x sin xA变式练习1 1 y x - x cosx y +lnxxsin x y cosx(2)y=(1+2x)(2x-3)ln x 1 (4)y= xA变式2.求下列函数的导数(1) y=2x3+3cosx,(3)y= xsin xA 变式 3.已知 f (x) =xcosx - sinx,贝U f'(x)=()解：f (x) =xcosx- sinx, f' (x) =cosx xsinx cosx= 一 xsinx ,已知函数f (x)

5、=x2lnx,则f'(x)等于()函数y=exsinx的导数等于()A - excosxB. exsinxC. - excosxD. ex (sinx+cosx)分析：利用导数乘法法则进行计算，其中(ex) =ex, sin x=cosx.解答：解：. y=exsinx,y= (ex) sinx+ (ex) ? (sinx)'=exsinx+excosx=ex (sinx+cosx).故选D.2. A4.函数 尸工十日的导数值为0时，x等于()X222解：-=，=1一F2令y =0,即一弓二0,解得x= ia.A变式练习4若函数y=f (x)的导数f' (x) =6x2

6、+5,则f (x)可以是()A - 3x2+5xB. 2x3+5x+6C. 2x3+5D. 6x2+5x+6解答：解：.1 (x) =6x2+5，f(x) =2x3+5x+c (c为常数) 故选B.函数f (x) =xsinx+cosx的导数是()解：- f (x) =xsinx+cosx f' (x) = (xsinx+cosx) = (xsinx) + (cosx)'=x sinx+x (sinx) sinx=sinx+xcosx sinx=xcosxIn x 12x若f' (x) =2ex+xex (其中e为自然对数的底数)，则f (x)可以是()A. xex+x

7、B. (x+1 ) ex+1C. xexD. (x+1) ex+x分析：利用导数的运算法则即可得出.解答：解：利用导数的运算法则可得：A. (xex+x) =ex+xex+1,B. (x+1) ex+1 =ex+ (x+1) ex = (x+2) ex,C. (xex) =ex+xex,D. (x+1) ex+x =ex+ (x+1) ex+1= (x+2) ex+1. 故选B.请默写出常见函数的导数4、复合函数2问题 y (2x 1)求导是多少?如果展开后求导，结果是为什么会不同?复合函数的导数复合函数y f g(x)的导数和函数 y f(u)和u g(x)的导数间的关系为 y y “，即y

8、对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.若 y f g(x),则 y f g(x) f g(x) g (x)上例中函数y (2x 1)2可以看作函数y u2和u 2x 1的复合函数。2、'一'yxyu ux = (u2) (2x 1) 2 2x 1 .2 8x 4典型题三、复合函数求导例题4求下列函数的导数：(1) y0.05x 1e(2) y sin( x )(其中均为常数)(3)y = sin4x + cos 4xsin 2x2x 1A变式练习1求下列函数导数xx(1)y ln 2x sin-cos- 22(2) y2 .ax bxe3函数f二£一的导函数

9、是X2x解：对于函数f (戈)二月一，对其求导可得:A变式21 函数 f (x) =cos2x 的导数 f '(x)=()2函数y=sin (2x2+x)导数是()2x3 .求尸的导数.y' =sin xB.变式1求下列函数的导数(1) y= 1 2x cos x3x4 2x2 5y 3xy=ln (x+ 1 x2 )I _ JnvB变式2函数产的导数为()1+1A.n B.口 C.d D.(1+lnx；y _ _ - y y - ；(1+lnjr)I (1+lns)x (1+lnx：考点：简单复合函数的导数.专题：计算题.分析：.J-, 丁 - - 一根据函数商的求导法则,:

10、一再结合岂(工)g (x) 2函数和的求导法则f (x) +g (x) =f (x) +g (x)代入计算化简即可.解答：解：1 -1短y-l+lnx，(1-(1+ liiz) - (1- lns) (Ulns)y 二2(l + M)22(LMnx)sin xT-2.求y= x 导数典型题四、导数公式的应用1“。 C例题某运动物体自始点起经过 t秒后的距离s满足：s -t4 4t3 16t2,求此物体在4什么时刻速度为零？A.变式1函数f (x) =x2+ax+1 ,其导函数的图象过点(2, 4),则a的值为()A变式2已知函数f (x) =ax2+c,且f'(1) =2,则a的值为(

11、)A. 1B.近C. - 1D. 0考点：导数的运算.专题：计算题.分析：先求出f' ( x),再由f' (1) =2求出a的值.解答：解：,函数 f (x ) =a x2+c,( x) =2ax又 f' (1) =2,2a?1=2,a=1故答案为A.aA变式3函数f(x)= x若其导数过点(24),则a的值是典型题五、用导数方法求切线例题 曲线y=x3 x+3在点(1,3)处的切线方程为 过(1,1)的切线方程为 A变式1若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y - 8=0垂直，则l的方程为（）A . 4x - y - 3=0 B. x+4y 5=0 C. 4x- y

12、+3=0D. x+4y+3=0考点：导数的几何意义；两条直线垂直的判定.分析：切线l与直线x+4y - 8=0垂直，可求出切线的斜率，这个斜率的值就是函数在切点处 的导数，利用点斜式求出切线方程.解答：解：设切点P (xo, y0) 直线x+4y -8=0与直线l垂直，且直线 x+4y -8=0的斜率为- 直线l的斜率为4,即y=x4在点P (xo, y0)处的导数为4,令y 1新/=4x03=4,得到x0=1,进而得到y0=1利用点斜式，得到切线方程为4x-y-3=0.故选A.A变式2函数f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则此切线的方程为A变式3过点(-1, 0)作抛物

13、线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为()A . 2x+y+2=0B. 3x - y+3=0 C. x+y+1=0D. x-y+1=0分析：这类题首先判断某点是否在曲线上，(1)若在，直接利用导数的几何意义，求函数在此点处的斜率，利用点斜式求出直线方程(2)若不在，应首先利用曲线与切线的关系求出切点坐标，进而求出切线方程.此题属于第二种.解答：解：y'=2x+1 ,设切点坐标为(x0, y0),则切线的斜率为2xo+i ,且 yo=x02+x0+1于是切线方程为 y- x02- x0- 1= (2x0+1) (x-x0),因为点(-1,0)在切线上，可解得x0=0或-2,当x0=0

14、时，y0=1 ; x0= - 2时，y0=3 ,这时可以得到两条直线方 程，验正D正确.故选DA变式4已知直线y x 1与曲线y ln(2x a)相切，则a的值为(B变式1在f (x) =x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程为()A . 3x+y - 11=0 B. 3x - y+6=0 C, x-3y- 11=0 D. 3x - y- 11=0分析：先对函数f (x)进行求导，然后求出导函数的最小值，其最小值即为斜率最小的切线 方程的斜率，进而可求得切点的坐标，最后根据点斜式可得到切线方程.解答：解：f (x) =x3+3x2+6x - 10.1.f (x) =3x2+6x+

15、6=3 (x+1 ) 2+3 当x= - 1时，f (x)取到最小值3f (x) =x3+3x2+6x-10的切线中，斜率最小的切线方程的斜率为3 f (T) = - 1+3-6- 10= - 14切点坐标为(-1, - 14) 切线方程为:y+14=3 (x+1),即 3x-y- 11=0故选D.点评：本题主要考查导数的几何意义和导数的运算.导数的几何意义是函数在某点的导数值等于过该点的切线的斜率的值.B变式2设函数f(x)=g (x)+x+lnx ,曲线y=g (x)在点(1,g (1)处的切线方程为y=2x+1 ,则曲线y=f (x)在点(1, f (1)处的切线方程为(典型题六、切线与最短距离例题曲线y=ln (2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是()1B变式.1曲线y=上的点到直线 x+3