平面向量题型归纳总结

1、资料平面向量题型归纳一.向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uuu r1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么（向量可以平移）。uuu r例：已知A （1,2 ）, B （4,2 ）,则把向量AB按向量a= （ 1,3）平移后得到的向量是 uur r2 .向量的模：向量的大小（或长度），记作：|人8|或|2|。3 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的；rruuu4 .单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e| 1。（与AB共线的单 u

2、uu位向量是 0；|AB|5 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；a、b叫做平行向量，记作：a / b ,两个向量平行包含两个向量共） 6 .平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 规定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！（因为有0）,uur uuur三点A、B、C共线 AB、AC共线；如图，在平行四边形 ABCD中，下列结论中正确的是 （uuu uuirA. AB CDuuur uuuC. AD ABB.

3、uurAC D.uuu uuur uuurAB AD BDuuur uurAD BC 07.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 一 uur uuu相反向量是a、AB Ba。例：下列命题：（1）r rr r r r r ruuur则 a c。（6）若 a/b,bc,则 ac。（3）若 AB uuu uurABCD是平行四边形，则 AB DC。其中正确的是rrbo若auuurDC ,则ABCD是平行四边形。r r r b,b c,(4)若题型1、基本概念1 :给出下列命题：若| 3| = | b| ,则3 ;向量可以比较大小;方向不相同的两个向量一定不平行;r r若 a= brrrrr

4、rr rabbcac0ar uuu00 a 0 ABuur uuu uur r r r r r r r CD AB CD a b b c a c mar r r r r mb a b ma nauur uurAB BCr r r r r r r rb |a| |b|a/b|a b| |ar rb| arb角形法则:uuiruuruuruuruuuruuiruuuAC;ABBCCDDEAE;ABuur uurAC CB (指向被减数)9.平行四边形法则r rr r r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b, a b。题型2.向量的加减运算uuu uuuruuur uuuruuuu

5、1、化简(AB MB) (BO BC) OMuuu uuu uur2、已知| OA| 5, |OB | 3,则| AB|的最大值和最小值分别为 urnr3、在平行四边形 ABCD中，若ABuurADuurr uurAB AD ,则必有 (uuu rA. AD 0 B.uuu r uur rAB 似 AD 0 C.ABCD是矩形 D.ABCD是正方形题型3.向量的数乘运算r r r r1、计算：(1) 3(a b) 2(a b)rrr rr r(2)2(2a5b3c)3( 2a3b2c)题型4.作图法求向量的和r r1、已知向量a, b,如下图，请做出向量r i r r 3 r3a b和 2a

6、-bo22题型5.根据图形由已知向量求未知向量uuu uuur uur1、已知在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD。uuur r uuur r uur uur2、在平行四边形 ABCD中，已知AC a,BD b ,求A断口 AD 。题型6.向量的坐标运算111rt_ ". 一 丁一 下一1、设=(1= ”内),则ein力=(再+ 4,耳+ 丁： h 口-白=(金一工豆一uj； 3仃=(2演,2门) 2,设用不“入鸟"二力).则朋=(士-和-为)，其实质是将向量的起点移到坐标原点，一 rrir1 r1、已知 a(1,4),b( 3,8),则 3a-b 。

7、2 rrr练习：若物体受三个力F1(1,2) ,F2( 2,3),F3( 1, 4),则合力的坐标为 。uuur2、已知PQ ( 3, 5), P(3,7),则点Q的坐标是。rrrr rr r r3、.已知 a( 3,4), b(5,2)，求 ab , ab, 3a2b。2、已知 A(1,2), B(3,2),向量a(x 2, x 3yuuur2)与AB相等，求x, y的值。uuuuuir r uuu5、已知O是坐标原点，A（2, 1）,B（ 4,8）,且AB 3BC 0,求OC的坐标。三.平面向量的基本定理 ：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的任一向量a,有且只有

8、一对实数 1、2，使a= 1ei+基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底ur ur1、已知目，马是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：iruuuriuur ur ur ur ur ur urirur urura. e e2和e 弓b. 3e 2色和42 6e c. e 3色和e2 3e d.弓和e e练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）（A） e1（0,0），e2（1, 2）（B）e1 （ 1,2）, e2（5,7）(c)ei(3,5)& (6，10)；1(2,3),；2(i, 4),r _八，r2、.已知a (3,4),能

9、与a构成基底的是()3 4A.(-,-)B.5 5(5,3)C.(35D.(1,二)则xy的值等于3、知向量 ei、e2不共线，实数(3x-4y)ei + (2x-3y)e2 =6ei+3&4、设ei,e2是两个不共线的向量，AB23ke2,CBe3e2,CD23e2,若A、BD三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,i), B(-i,3),若点C(x, y)满足OC = a OA + 3 OB ,其中a , pCR且a+B=i,则X, y所满足的关系式为()A. 3x+2y-ii=0B . (x-i) 2+( y-2) 2=5 C . 2x-y=0 D

10、 . x+2y-5=0四.平面向量的数量积：- uuu r uuu r1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA a,OB b, AOBi一5i0称为向量a , b的夹角，当 =0时，a , b同向，当 = 时，a , b反向，当=一时，a , b垂直。2实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作>0时，a的方向与a的方向相同,a,它的长度和方向规定如下：当 <0时， a的方向与a的r r.方向相反，当=0时，a 0,注意： awo。unr uuuLUU r uuu例i、已知AD,BE分别是 ABC的边BC, AC上的中线，且AD a,BEr r向量a,b表不为r u

11、uub,则BC可用例2、已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB , CDr AB s AC ,则 r s的值是2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a , 叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作:b,它们的夹角为，我们把数量 r r Ia ? b ,即 a?b = a b cosr r| a |b | cos。规定：零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量3.向量的运算律：r ri.交换律：a br r r r ra , a?b b?a；r2 .结合律：a3 .分配律：r r r rb c a brra ar r r r r r r r rc, a b

12、c a bc, a ?brr rrrrr ra,a bab,ab ?cr r r r a?b a? b ;r r r ra?c b?c。题型8:有关向量数量积的判断i：判断下列各命题正确与否：r r(1) (a b) c a (b c) ； (2)右 a br r rr r , r r, ,r r , a c ,则b c当且仅当a 0时成立;r r r ,»rrr.a (b c)对任息a,b,c向重都成立；(3) (a b) c a c b c； (4) (a b) c.r r r r r 一.r r . 、，一 r .r。 r 2若a o,a b arjub c；对任意向量a,有a

13、2 a2m(a b) =ma +mb其中正确的序号是。2、卜列命题中:a a (b c)a b a c ； a (b c) (a b)c；(a r ab)2 |a|22|a| |b| r rr2 小 a ba ;-r- ar b -rar r；(a b)b 0 ,则 ar2 r2a b ；r(a0或bb)20;2 ar r 若a br r r2 2a b br rc b,则其中正确的是题型9、求单位向量r【与a平行的单位向量:r阜】|a|1 1,1）平行的单位向量是a b-fr-|a| |b|r r r|a|2，|a b| V(a b)r r4、已知a,b是两个非零向量，且r r r r ra

14、 b ,则a与a b的夹角为i.与a （12,5）平行的单位向量是。2.与m （r r r r题型10、数量积与夹角公式：a b | a | | b | cos ; cosrr r2向量的模：若a (x, y),则| a | Jxy , a1、 ABC 中，| AB | 3, | AC | 4 , | BC | 5 ,则 AB BC r 1 r 1 rrrurrrur2、已知 a(1,1),b(0, 1),cakb,d a b, c与 d 的夹角为一，则k 等于.2 r 2 rr 4r3、已知|a| 3,|b| 4,且a与b的夹角为60°,求(1)a b,a (a b),r 1 r

15、rr r r r(3) (a -b) b , (4) (2a b) (a 3b)。25、已知a （后1）,b （2百,2）,求a与4的夹角。6、已知 A(1,0), B(0,1),C(2,5),求 cos BAC。7、已知非零向量a,b满足b ,b8：已知 ABC中 ABC50o,BC(b 2a),则a与b的夹角为uuu uuuBA,则BA与AC的夹角为9:已知向量a与向量b的夹角为120°,若向量c=a + b ,且a,c,则十的值为 br10： 已知 | a|r=1| b| =2I a + b| =2,r r r则b与2 a - b的夹角余弦值为11：已知向量|题型r|a夹角为锐

16、角时，求11、求向量的模的问题(a b)r b|I b I =2, a和b的夹角为135 ,当向量a + 的取值范围。rr 如向量的模：若a (x, y),则|a| Jxy2 aa+b的Al2,1、已知零向量 a (2,i),a.b 10, a b 542 则 b 2、已知向量a,b满足同i用2,|a b| 2,则f b 3、已知向量 a (1,J3), b ( 2,0),则 6 b 4、已知向量a (1,sin ),b (1,cos )，则a b的最大值为2BC 16,5、设点 线段BC的中点，点 A在直线BC外，AB ACaB AC|,贝U AM()(A) 8(B) 4(C) 2(D) 1

17、6、设向量a , b满足abl 1 及 4a 3b 3,求 3a 5b 的值练习：已知向量a,b满足a 21b 5ab 3求a b和a b7、设向量a, b满足付 叫 2,a (a 2b),则2a 中勺值为 -rfr-f -r8、已知向量a、b满足a 1,|b|4,则|a b|的最大值是 最小值是题型12、结合三角函数求向量坐标uur° urn1 .已知。是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2, xOA 150°,求OA的坐标。uurxOA 60°,求OA的坐标。uuu -2 .已知O是原点，点A在第一象限，|OA| 4J3,r rrr五、平行与垂直知识点：a

18、/babx1y2x2 y1；r r r ra b a b 0 x1x2 v1y 018)，若a / b,则实数x题型13:向量共线问题1、已知平面向量a (2,3x),平面向量b ( 2, 2、设向量a (2,1) ,b (2,3)若向量a b与向量c ( 4, 7)共线，则 3、已知向量a (1,1),b(2,x)若a b与4b 2a平行，则实数x的值是()A. -2B.0C.1D. 24、已知向量 OA (k,12),oB (4,5),OC ( k,10),且A, B, C三点共线， 则k umuuuuiuir练习：设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10*),则卜=时,A

19、,B,C 共线5、已知a,b不共线，c ka b, d a b ,如果c / d ,那么k= , c与d的方向关系是_rrrr rr r r r r练习：已知 a(1,1),b(4,x),ua 2b ,v2a b ,且 uv ,贝Ux =6、已知向量 a(1,2),b(2,m),且 a/b ,则 2a 3b 题型14、向量的垂直问题 1、已知向量a (x,1),b 。6)且a b,则实数x的值为2、已知向量a (1, n) ,b ( 1, n),若2a bWb垂直，则a r r» f练习：已知a= (1, 2), b = (-3 , 2)若ka+2b与2 a-4 b垂直，求实数 k的

20、值3、已知单位向量 m和n的夹角为一，求证：(2n m) m34、a (3,1),b (1,3),c (k,2),若(a d b,则k 练习：a (1,2),b (2, 3),若向量加足于ca)/ b , c (ab),则 c5、以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB B 90，则点B的坐标是_r题型15、b在a上的投影为|b|cos ,它是一个实数，但不一定大于0。1、已知| a | 3 , | b | 5 ,且a b 12 ,则向量a在向量b上的投影为 r rr r2、已知a 8, e是单位向量，当它们之间的夹角为 一时，a在e方向上的投影为3练习：已知4, a与b的夹角2

21、3,则向量b在向量a上的投影为题型16、三点共线问题1.已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证：A,B,C 三点共线。uur 2 r r uuur2 .设 AB (a 5b), BC2r r uuir2a 8b,CDr r3(a b),求证：A B、D三点共线。练习：已知uuuABr r uuir a 2b, BCr 5ar uur6b,CDr7ar2b ,则一定共线的三点是3 .已知 A(1, 3)B(8, 1),若点 C(2a 1,a2)在直线AB上，求a的值。4.已知四个点的坐标0(0,0)A(3,4),B( 1,2),C(1,1),是否存在常数t ,使uur uur

22、 uuur0A tOB OC 成立2e1 62, CD 3ei e2,令'30A x OC ,则 x =5： 3, 62是平面内不共线两向量，已知 AB ei ke?,CBA, B, D三点共线，则k=6: 设 O是直线l外一定点，A B、C在直线l上，且OBr rr rr r7：设a, b是两个不共线向量，若 a与b起点相同，t e r, t=时，a , t b ,1 r r1 ( a + b)三向量的终点在一条直线上。38:如图，在 ABC,点O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB AC于不同 的两点 M N,若AB= miAM A(> nXN|则/n的值为.9:在

23、OAB勺边 OA OB上分别取点 M N,使 | OM ： | OA = 1 ： 3, | ON ： I OB = 1 ： 4,设线 段AN与B帜于点P,记OA= a, OB= b,用a, b表示向量Op一 1一一 1一一 一练习：如图，在OAB43, OC-40A OD= 2OB AD与 BC交于点 M 设OA= a, OB= b.(1)用 a、b表示OlM(2)已知在线段 AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点，设OE= pOA O已qOB求证：+ = 1.7p 7q六、线段的定比分点：1 .定比分点的概念：设点P是直线%P2上异于 巳、P2的任意一点，若存在一个实数 uur

24、uuruuuruuur，使PiPPP2 ,则 叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段 PP2的以定比为 的定比分点；2 .的符号与分点 P的位置之间的关系：当P点在线段P 1P2上时 >0;当P点在线段P1P2的延长线上时<1;当P点在线段P2 Pl的延长线上时10;uuu3uuu例1、若点P分AB所成的比为-,则A分BP所成的比为4uuuu3.线段的定比分点公式：设 国。%)、P2(x2,y2), P(x,y)分有向线段PP2所成的比为x，则yx1 x211，特别地，当Viy21=1时，就得到线段P1 P2的中点公式x1x22yy2 °2题型17、定比分点

25、2、若 M (-3, -2 ), N (6,-1 ),且 MP1, MN,则点P的坐标为 33、已知 A(a,0), B(3,21uuuua),直线y 1ax与线段AB交于M ,且AM2uuir2MB ,则a等于 一一 . .一.，一 r七、平移公式：如果点P(x, y)按向量a h,k平移至P(x,y),则x x h ；曲线 y y krf(x, y) 0按向量a h,k平移得曲线f (x h, y k) 0.注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系(2)向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),则按向量a把点(7,2)平移到点2、函数y

26、 sin 2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1,则a =八、向量中一些常用的结论r r r rr0|a b| |a| |b|r r r t r r|b| |a b|;当 a、b不(1) 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rr rr r rr r(2) |a|b| |ab| |a|b|,特别地，当 a、b同向或有rr rr rrrrr rr r|a |b| |ab|;当 a、b反向或有0|ab| |a|b|a|(3)在共线 |a| |b| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).ABC中，若A X1,必，B X2, y2 ,C &

27、, y3 ,则其重心的坐标为X1X2X3yy2y331、若/ABC的三边的中点分别为uuur u uuu uuu uur PG 1(PA PB PC)(2,1)、(-3,4)、(-1 , -1 ),则力ABC的重心的坐标为uuuu uuu uuir rG为ABC的重心，特别地 PA PB PC 0ABC uuf'uuu PA PB PB uuu 向量 (uui | AB|uur uuurPC PC uuur-4C-)( |AC|uurPA P为ABC的垂心；0)所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； uur uur uuur uuu uuu uuu r |AB|PC

28、| BC |PA |CA | PB 0P ABC 的内心；uuuuuuur uuuu(3)若P分有向线段PP2所成的比为 ，点M为平面内的任一点，则 指 MPMP2 , 1uuur uuuu特别地P为P1P2的中点MP MP1 MP2 ；2 uuruuuuuuruuuruuruuur(4)向量PA、PEkPC中三终点A B、C共线 存在实数、 使得PAPBPC且1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3)，若点C满足OC 1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且121,则点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状uur r uur r uur uur1 .若AB

29、 3e, CD5e,且| AD | | BC |,则四边形的形状是 。2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形。3.已知 A( 2,1)B(6, 3) , C(0,5),求证:ABC是直角三角形。4、在4ABC中，若BAA .等腰三角形B5、在平面直角坐标系内，BA AB CB 0 ,则4 ABC的形状为.等边三角形uuuuuuOA ( 1,8), OBC.等腰直角三角形D .直角三角形uuLr(4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。6、平面四边形ABCD中，ABa, BC b, Cd c, DA d,且b c

30、 c d da,判断四边形 ABCD的形状.题型20:三角形四心ULL! ULI LULV V1、已知 ABC的三个顶点 A B、C及 ABC所在平面内的一点 巳若PA PB PC 0则点 P是 ABCW()A.重心B .垂心 C .内心 D .外心uu uuru uiruuuru uuruuu2.已知点O是三角形所在平面上一点，若OAOB OBOC OCOA则O是三角形ABC的( )(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心uuu2 uuu 2 uur 23、已知点O是三角形所在平面上一点， 若OA OB OC ,则O是三角形ABC的()(A)内心(B)外心(C)重心练习、已知o, n, p在

31、 abc所在平面内，且|OA| OBI loci, nA nb(D)垂心NC 0 ,且PA?PB PB?PCPC? PA,则点O, N, P依次是 ABC的(A)重心外心垂心(C)外心重心垂心(B)重心外心内心(D)外心重心内心4、在平面内有A.重心AB时 点 0,若 ABB .垂心 Cur uur uun ulu ur(OA OB) AC (OC OA) 0 ,贝U点 O是.内心 D .外心ABC勺5、已知点O是平面上一个定点，A、uur uuruuu uuirOP OA(AB AC),B、C是平面内不共线三点P 一定通过 ABC的()动点P满足(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心6、已知点O是平面上一个定点，B、C是平面内不共线三点动点P满足uur uuuOP OAuuu uurAB ACuuu + uurI AB| |AC|R,则动点P 一定通过 ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知点O是平面上一个定点，A、B uuuuur知ABACOP OA-uuu+ -uutr| AB | cosB | AC | cosCC是平面内不共线三点，动点P满足R ,则动点P 一定通过ABC 的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心8、已知O平面上一个定点，A、 B、C是平面内不共线三点，动点P满足 uuir uuuruuuuuurUUr OB OCABAC