初中七年级数学培优训练(奥数)专题05数与形的第一次联姻

1、初中七年级数学培优训练（奥数）专题 5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 体现在一下几个方面：1 .利用数轴能形象地表示有理数；2 .利用数轴能直观地解释相反数；3 .利用数轴比较有理数的大小；4 .利用数轴解决与绝对值相关的问题.例题与求解【例1】 已知数轴上有 A, B两点，A, B之间的距离为1,点A与原点。的

2、距离为3,那么所有满足 条件的点B与原点。的距离之和等于.（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A, B在数轴上的位置，求出 A, B两点所表示的有理数.【例2】 在数轴上和有理数 a,b,c对应的点的位置如图所示.有下面四个结论：abc 0,ab bc ac,（a b）（b c）（c a） 0,a 1 bc,其中，正确的结论有（）个.ab c-iiA. 4 B. 3C. 2D. 1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到a 1 0 b c 1,再对代数式进行逐以一判断.【例3】 如图所示，已知数轴上点 A,B,C所对应的数a,b,c都不为0,且C是AB的中点.如果|a b a 2c

3、 b 2。|a b 2c 0,试确定原点O的大致位置.ACB1&bca b 解题思路：从化简等式入手，而 c W-b是解题的关键.【例4】(1)阅读下面材料:点A, B在数轴上分别表示实数 a,b, A, B两点之间的距离表示为AB .当A,B两点中有一点在原点 时，当A、B两点都不在原点时，如图 2,点 A、B 都在原点的右边 | AB| = | OB| | OA| = | b| | a| =ba= | ab| ;如图3,点A、B都在原点的左边，|AB| =| OB| -| OA| =| b| -| a| =b-a=| a- b| ;如图4,点A、 B 在原点的两边，| AB| =|

4、 OB| -|OA| = |b| | a| =- b- (a) = | a b| ;综上，数轴上 A、B两点之间的距离|AB|=|a b| .(2)回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示一2和一5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是 ;数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是 ,如果| AB| = 2,那么x为; 当代数式| x+ 1|十| x 2|取最小值时 ,相应的x的取值范围是 .求x 11 |x 2 x 3| . x 1997的最小值.(江苏省南京市中考试题)解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式a b所表示的意义，来回答所提出的具体问题

5、.【例5】某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15, 7, 11, 3, 14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？(湖北省荆州市竞赛试题)解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来.解题的关键是怎样将实际问题转化为求y x a1 x a2 ? x an的最小值.【例6】 如图，A是数轴上表示一30的点，B是数轴上表示10的点，C是数轴上表示18的点，点A,B,C在数轴上同时向正方向运动.点A运动的速度是6个单位长度/秒，点

6、B和点C运动的速度是3个单位长度/秒.设三个点运动的时间为 t （秒）.（1）当t为何值时，线段 AC=6 （单位长度）？（2） tw5时，设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PM PN = 2时 t的值.（湖北省荆州市竞赛试题）解题思路：（1） A, B,C三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两种情况来分析求解.（2）先将P,M , N三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M始终在点N左侧，则分为“点P在M ,N左边”，“点P在M , N之间”，“点P在M, N右边”三种情况来求解.能力训练A级1 .已知数轴上表示负数有理数 m的点是点M

7、，那么在数轴上与点 M相距m个单位的点中，与原点距 离较远的点对应的数是 .（江苏省竞赛试题）2 .如果数轴上点 A到原点的距离为3,点B到原点的距离为5,那么A,B两点的距离为 .1,",，3 .点A, B分别是数 3, 在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到 A B的中点对应数3,2则点A对应的数是 ，点A移动的距离是 .（“希望杯”邀请赛试题）4 .已知a 0,b 0且a b 0,那么有理数a,b, a, b的大小关系是 .（用 “v”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛试题）,一什 ,、,1 ,，一,，j ,一 一、一,人,一5 .在数轴上任取一条长度为 1999的线段，则此

8、线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（）.9A. 1998 B. 1999C. 20006.如图，a,b为数轴上的两点表示的有理数，在 aA. 1 B. 2C. 3 D. 4D. 2001（重庆市竞赛试题）b,b 2a,|a b, b |a中，负数的个数有（）（“祖冲之”邀请赛试题）7.有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，式子 ab a b b c化简结果为（）c b c c b 3 B c 3b a 2 Ab cDI c I b一 IoL a8.如图所示，在数轴上有六个，且 是（）.AB BC CD DE EF,则与点C所表示的数最接近的整数A. 1 B. 0C. 1 D. 2(“希望

9、杯”邀请赛试题)9 .已知a,b,c,d为有理数，在数轴上的位置如图所示：1 IIII_db0ac且 6a 6b 3c 4dl 6,求 3a 2dl |3b 2a 12b c 的值.10 .电子跳蚤落在数轴上的某点 K。，第一步从K。向左挑一个单位到 Ki,第二步由Ki向右跳2个单位到K2,第三步由K2向左跳3个单位到K3,第四步由K3向右跳4个单位到K4,，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点Ki。所表示的数恰是19. 94.则电子跳蚤的初始位置 K。点所表示的数是.11 .如图，已知 A,B分别为数轴上两点，A点对应的数为一20, B点对应的数为100.(1)求过A,B中点M对

10、应的数.(2)现有一只电子蚂蚁 P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数.(3)若当电子蚂蚁 P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q恰好从A点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数.B级1 .有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示：则化简a b b 1 |a c 1c的结果为2 .电影vv哈利波特中小哈利波特穿墙进入“93站台”的镜头（如示意图中 M站台），构4思奇妙，给观众留下深刻的印象.若A, B

11、站台分别位于一2, 1处，AN 2NB,则N站台用类似电影里的方法称为“ 站台” （时代学习报数学文化节试题）NM_1 J -2 -1 09 103 .在数轴上，若 N点与原点。的距离是N点与三。若对应的点之间的距离的4倍，则N点表示的数是.（河南省竞赛试题）4 .若a 0,b 0,则使x a x b a b成立的x的取值范围是 .（武汉市选拔赛试题）5 .如图，直线上有三个不同的点A,B,C,且AB BC,那么，到A,B,C三点距离的和最小的点为（）.A. B点外 B.线段AC的中点 C.线段AC外一点 D. 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）AB C6 .点AAA ,An（n为正整数）都在数

12、轴上，点在原点。的左边，且 AO 1,点A2在点Ai的右边，且A2A 2,点A在点A2的左边，且 A3A2 3,点A在点A的右边，且 A4A3 4, ?,依照上述规律，点 A2008 , A2009所表示的数分别为（）A. 2008, 2009 B. 2008, 2009 C. 1004, 1005 D. 1004, 1004（福建省泉州市中考试题）7 .设y x 1 x 1 ,则下列四个结论中正确的是（）.a . y没有最小值B.只有一个x使y去最小值C.有限个x （不止一个）使 y去最小值D.有无穷多个x使y取最小值（全国初中数学联赛试题）8 .如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点A, B,C, D对应的数分别是整数 a, b,c,d ,且b 2a 9 ,那么数轴的原点对应点是（）A. A点 B. B点 C. C点D. D点（“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题）9.已知 x 2 1 x 9 y1 y ,求x y的最大值和最小值.（江苏省竞赛试题）10 .如图，在环形运输线路上有 A, B,C,D,E,F六个仓库，现有某种货物的库存量分别是 50吨、84吨、80吨、7