专题十三三角形动点问题汇总

1、专题十三三角形动点问题汇总聚智堂教育学科教师辅导讲义年 级：辅导科目：学科教师：学员姓名:课 题专题十三三角形的动点问题教学目的1,能对动点转化为静点进行处理问题,2,能利用分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想解决问 题.重难点分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想的应用教学内容一、概念引入所谓“动点型问题是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类 开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键：动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想二.随堂练习1.如图,在矩形ABCLfr,动点P从点B出发,沿BC

2、 CD DA运动至点A停止,设点P运动的路程为D 、20x, 4ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,那么4 ABC勺面积是A A 、 10 B 、 16 C 、 182,如图在 RtzABC 中,ACB 90BAC 30 , AB= 2, D是AB边上的一个动点不与点 A、B重合,过点D作CD的垂线交射线CA于点E.设AD x , CE y ,那么以下图象中,能表示y与x的1 / 17专题十三三角形动点问题汇总函数关系图象大致是BC【答案】B【思路分析】由于D是AB边上的一个动点不与点 A B重合,所以0Vx<2,通过画图进行分析,画 出的图形如图,在点D由A向B移动过程

3、中,AE的长首先在减小如图1-图2所示,当运动到AB的中 点时CE的长度到达最小值,当点D再向B移动过程中,CE的值开始增大,离点B越近CE的值越大, DE与AC越接近平行状态.所以此函数图象函数 y先随x的增大而减小,然后y先随x的增大而增大, 此题选Bo3,平面直角坐标系中,点 O 0,0、A 0,2、B 1,0.,点P是反比例函数y=图象上的一个 x动点,过点P作PQLx轴,垂足为点Q,假设以点Q P、Q为顶点的三角形与 OA琳目似,那么相应的点P共有DA.1个B.2个C. 3个D.4个【答案】D【思路分析】在 OPQffiOABt, / PQO=AOB=90 ,如果/ POQ = AB

4、OlE/POQ=BACM,两个三角形相似,此时直线 PQ分别有2个交点,共有4个交点,即相应的点P共有 4个.4, 2021?河北如图,梯形 ABCLfr, AB/ DC DEI AB, CF, AB,且 AE=EF=FB=5 DE=12动点 P 从点 A出发,沿折线AD-DC-CBiZ每秒1个单位长的速度运动到点 B停止.设运动时间为t秒,y=S4epf,那么 y与t的函数图象大致是A 2 / 17专题十三三角形动点问题汇总30A.130B.300C.在 RtCFB中,D.yL30解：在RtADE中,AD= AE2 DEBC=/bF2 CF2 13,A Xf E 尸审£ 点P在AD

5、上运动:过点 P作 PIVL AB于点 M,那么 PM=APsiM A=12t , 13此时y=!eFX PM=30t ,为一次函数;13贝(j y=1efx pn=30(31 t)13,为一次函数.1点P在DC上运动,y=1EFX DE=30 21313点 P在 BC上运动,过点 P作 PN! AB于点 N,贝U PN=BPsinZ B=12 (AD+CD+BC-t =12(31 t) ,综上可得选项A的图象符合.应选A.5, 2021?荆门如右图所示,等腰梯形 ABCD AD/ BC假设动直线l垂直于BC,且向右平移,设 扫过的阴影局部的面积为 S, BP为x,那么S关于x的函数图象大致是

6、 A PA.0B.03 / 17专题十三三角形动点问题汇总解：当直线l经过BA段时,阴影局部的面积越来越大,并且增大的速度越来越快；直线l经过DC段时,阴影局部的面积越来越大,并且增大的速度保持不变；直线l经过DC段时,阴影局部的面积越来越大,并且增大的速度越来越小；结合选项可得,A选项的图象符合.应选A.6, 2021?永州如下图,在矩形 ABCDK垂直于对角线BD的直线l ,从点B开始沿着线段BD匀 速平移到D.设直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,那么y关于t的函数的大致图象 是A 7,如下图：边长分别为1和2的两个正方形,其中一边在同一水平线上,小正方形沿该水平线自 左向

7、右匀速穿过大正方形,设穿过的时间为t,大正方形内去掉小正方形后的面积为 s,那么s与t的大致图象应为A | 口+七,局+Cl8, 2021?衡阳如下图,半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上,圆沿该水平线从左向 右匀速穿过正方形,设穿过时间为t ,正方形除去圆局部的面积为 S 阴影局部,那么S与t的大致图4 / 17专题十三三角形动点问题汇总,9,如图,RtAABC, / ACB=90 , A ABC=60 , BC=2cm D为 BC的中点,假设动点 E 以 1cm/s 的速度从A点出发,沿着A- B- A的方向运动,设E点的运动时间为t秒(0<t <6),连接DE当 BD

8、E 是直角三角形时,t的值为(D )A. 2B, 2.5 或 3.5C. 3.5 或 4.5D. 2 或 3.5 或 4.51. D10.图1所示夕!形ABCLfr, BC=k CD=y y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,那么以下结论正确的选项是( D )A.当 x=3 时,ECX EMB.当 y=9 时,EG EMC.当x增大时,EC?CF的值增大D.当y增大时,BE?DF的值不变11,如图,将边长为4的正方形ABCD勺一边BC与直角边分别是2和4的RtGEF勺一边GF重合.正 方形ABCDZ每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,

9、当点 A和点E重合时正方形停止运动.设 正方形的运动时间为t秒,正方形ABCDf RtAGEFS叠局部面积为s,那么s关于t的函数图象为(B )12,如图,在平面直角坐标系 xOy中,A (0, 2), B (0, 6),动点C在直线y=x上.假设以A、R C三5 / 17专题十三三角形动点问题汇总点为顶点的三角形是等腰三角形,那么点 C的个数是B A. 2B. 3C. 4D. 513,如图,正方形ABCD勺边长为4, P为正方形边上一动点,运动路线是 2 AC- B-A,设P点经过 的路线为x,以点A、P、D为顶点的三角形的面积是 V.那么以下图象能大致反映y与x的函数关系 的是B 14,如

10、下图,在矩形ABCEfr,垂直于对角线BD的直线l ,从点B开始沿着线段BD匀速平移到D.设 直线l被矩形所截线段EF的长度为y,运动时间为t,那么y关于t的函数的大致图象是A 第14题15,如图1,在R4ABC中,/AC屋90° , D为斜边AB的中点,动点P从B点出发,沿B C A 运动,设SaDP=y,点P运动的路程为x,假设y与x之间的函数图像如图2所示,那么 ABC的面积 为B A 4B. 6C. 12【思路分析】通过图2可以看出,当点D. 14P运动到点C时,点P运动的路程为4,即BC=4当点P运动到点A时,点P运动的路程为7,即AC=3那么Saab=- ACX BC=6

11、216,如图,在 ABC中,AB=20cm, AC=12cm,点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点 A运动,点Q从 点A同时出发以每秒2 cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运 动,当 APQ是等腰三角形时,运动的时间是D 6 / 17专题十三三角形动点问题汇总A. 2.5B. 3 秒C. 3.5 秒D. 4秒A17. 2021?丽水如图1,在Rt ABC中,/ ACB=90.,点P以每秒1cm的速度从点 A出发,沿折线 AC - CB运动,到点B停止,过点P作PDXAB ,垂足为D, PD的长y cm与点P的运动时间x 秒的函数图象如图 2所示,当点P运动5秒

12、时,PD的长是B C. 1.8cm分析： 根据图2可判断AC=3 , BC=4 ,那么可确定t=5时BP的值,利用sin / B的值,可求出 PD .解答： 解：由图2可得,AC=3 , BC=4 ,当t=5时,如下图：此时 AC+CP=5 ,故 BP=AC+BC -AC - CP=2 ,sin / B=PD=BPsin / B=2 x=1.2cm .5 5应选B.18. 2021?莱芜如图,等边三角形ABC的边长为3, N为AC的三等分点,三角形边上的动点M从点A出发,沿A - B-C的方向运动,到达点C时停止.设点M运动的路程为x, MN 2=y,那么y关于x的函数图象大致为B 7 / 1

13、7专题十三三角形动点问题汇总考点：动点问题的函数图象.专题：压轴题.分析： 注意分析y随x的变化而变化的趋势,而不一定要通过求解析式来解决.解答：解：二.等边三角形 ABC的边长为3, N为AC的三等分点,AN=1 .当点M位于点A处时,x=0, y=1 .当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中,y随x的增大而减小,故排除 D;当动点M到达C点时,x=6, y=4 ,即此时y的值与点M在点A处时的值不相等.故排除 A、C.应选B.点评：此题考查了动点问题的函数图象,解决此题应首先看清横轴和纵轴表示的量,然后根据动点的行程判断y的变化情况.19,如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向

14、运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2, 0),第3次接着运动到点(3, 2),按这样的运动规律,经过第 2021次运动后,动点 P的坐标是_ (2021, 2) .o 2,0) (4,0) (6,0)(/田x【答案】(2021, 2)【思路分析】从点的坐标可以看出横坐标正好是运动的次数,所以第 2021次运动后点的横坐标就 是2021,纵坐标的数是1, 0, 2, 0, 1, 02, 0,四个一循环,所以2021 + 4=5023,因此 第2021次点的纵坐标是2,故点的坐标为(2021, 2).20,如图,在四边形 ABCDK /A= 90° , A况4,连

15、接BD, BEU CD / AD氏/ C.假设P是BC边上一 动点,那么DP长的最小值为 4.A0 PC【答案】4【思路分析】当DPI BC时,DP的值最小,此时可根据角平分线上一点到角的两边距离相等,得DP=AD= 4.8 / 17专题十三三角形动点问题汇总21,如图4,在梯形ABCg, AD/ BC, AD= 6, BG= 16, E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速 度从点A出发,沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点秒时,以点P, Q, E,B运动.点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t =D为顶点的四边形是平行四边形.【答案】2或【思

16、路分析】由题意可知, APt, CQ2t , CE2bc8 . V AD/ BC, 当 PD= EQ时,以点 P,Q, E, D为顶点的四边形是平行四边形 当2t <8即t<4时,点Q在C,E之间,如以下图左此时,PD= AD- AP= 6 t, EQ= CE- C8 2t ,由 61 = 82t 得 t=2.e QA P D当2t >8即t >4时,点Q在B, E之间,如上图右.此时,PD= AD-AP= 6 t, ECUCQ- C三2t8,由 6 t = 2t 8 得 t = 14321. 2021孤汉如图,E, F是正方形ABCD勺边AD上两个动点,满足 AE=D

17、F连接CF交BD于点G<5 1连接BE交AG于点H,假设正方形的边长为2,那么线段DH长度的最小值是22,如图,在RtABC中,/C=90° , AC=4cm BC=3cm动点M, N从点C同时出发,均以每秒 1cm的 速度分别沿CA CB向终点A, B移动,同时动点P从点B出发,以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动, 连接PM PN设移动时间为t 单位：秒,0Vt<2.5.1当t为何值时,以A, P, M为顶点的三角形与 ABCffi似？2是否存在某一时刻 t,使四边形 APNC勺面积S有最小值？假设存在,求 S的最小值；假设不存在,9 / 17专题十三三角形动点问题汇

18、总请说明理由.9.解：如图,A.在 RtABC中,Z C=9(J , AC=4cm BC=3cm根据勾股定理,得 AC2 BC2=5cm.(1)以A, P, M为顶点的三角形与 ABCffi似,分两种情况：当AAM即ABCM, 空 随即5_在 4_1 AC AB 45- 3解得t= 3;2AM AP 口门 4 t 5 2t当aAPW/XABCM,一,即 ,AC AB 45解得t=0 (不合题意,舍去)；.一一,3综上所述,当t= 一时,以A、P、M为顶点的三角形与 ABCffi似; 2(2)存在某一时刻t ,使四边形APNC勺面积S有最小值.理由如下: 假设存在某一时刻t,使四边形APNC勺面

19、积S有最小值.如图,过点P作PHL BC于点H.那么PH/ AC里吟即里红AC BA 45.PH=8t , 5. S = S ABbS BPH,= 1X3X4- lx ( 3-t )?8t ,225=4 (t- 3) 2+21 (0<t<2.5).52510 / 17专题十三三角形动点问题汇总4 人 . >0,5S有最小值.当t=3时,S最小值卷.321答：当t=3时,四边形APNC勺面积S有最小值,其最小值是 一2523、如图,在梯形ABCD中,AD / BC, AD 3, DC 5, AB 4厄 B B 45 .动M 从B点出发沿线段 BC 以每秒2个单位长度的速度向终点

20、 C运动；动点N同时从C点出发沿线段 CD以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动.设运动的时间为 t秒.(1)求BC的长.(2)当MN / AB时,求t的值.(3)试探究：t为何值时, 4MNC为等腰三角形.24,如图,在 ABC中,B 90 , AB=6米,BC=8米,动点P以2米/秒的速度从A点出发,沿AC向 点C移动,同时,动点Q以1米/秒的速度从C点出发,沿CB向点B移动.当其中有一点到达终 点时,它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=2.5秒时,求 CPQ的面积;求CPQ的面积S (平方米)关于时间t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中,当 CPQ为等腰三角

21、形时,求出t的值;【答案】解：在 RtABC中,AB=6米,BC=8米从0=10米由题意得：AP=2t , CQt 那么 PC=10-2t(1)过点P作PDL BC于D,11 / 17专题十三三角形动点问题汇总. t =2.5 秒时,AP=2X 2.5=5 米,QG2.5 米11 . PD=_AB=3 米,a S=- QC PD =3.75 平方米; 22过点Q作Qa PC于点E,QEAB3t易知 Rt QECsRt ABC a,QE QCAC51 13t3 2- S=- PC QE =-(10-2 t) = -t 3t 0 t 5 ;2 255Q(2)当 t形；10秒(此时pc=qc ,空秒

22、(此是P&QC,或80秒(此时P&PC)时,21CPQ为等腰三角25,如图,在RtzXABC中,/B= 90° , BG= 5展,/ C= 30° .点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF,BC于点F,连接DE EF.(1)求证：AE= DF；(2)四边形AEFDfg够成为菱形吗？如果能,求出相应的 t值；如果不能,说明理由.(3)当t为何值时, DEF为直角三角形

23、？请说明理由.【中考权威答案】(1)在DFC, / DF生 90° , /C= 30° , DC= 2t ,DF= t. 又AE= t, AE= DF.12 / 17专题十三三角形动点问题汇总(2)能.理由如下：. AB,BQ DF,BC, . .AE/ DF又AE= DF, 四边形AEFM平行四边形.vAB= BC- tan30 °=5 J3 好 5, AC 2AB 310. AAAC- D10-2t 10 假设使UAEFM菱形,那么需 A已AD, t =10-2t ,即t = 10 .3一. 10 .即当t 2时,四边形AEFM菱形 3(3)/ED三90

24、76;时,四边形EBFM夕!形. 2 在 RtAED, / ADE= /O 30 , A AD= 2AE 即 102t =2t , t -.5/DEF= 900 时,由(2)知 EF/ AR . . / AD白 / DE三 90° ./A= 900 C= 60° , a AD= AE - cos60 ° .1即10 2t t,t 4. 2/EF590°时,此种情况不存在.2综上所述,当t -或4时,4DEF为直角三角形 5【思路分析】(2)由于AE与DF平行且相等,因此四边形 AEFC®平行四边形,要保证是菱形,只 需保证一组邻边相等即可,可令

25、 AD= AE; (3) 4DEF为直角三角形,那么共有三种三种情况,即/ DEF = 90° , / ED已90° 和/ DF巳 90° .26,如图,在RtzXABC中,/C=90° , AC=8, BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分 别沿PA PB以每秒1个单位长度的速度向点 A、B匀速运动,点E到达点A后立即以原速度沿AB向点 B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH 使它与 ABC在线段AB的同侧,设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGHW ABC&

26、#174;叠局部面 积为S.(1)当t=1时,正方形EFGH勺边长是；当t=3时,正方形EFGH勺边长是； (2)当0<tW2时,求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中,当t为何值时,S最大？最大面积是多少？【答案】(1)2 ; 4; 当0<t0 6时(如图),求S与t的函数关系式是：S=S矩形EFGH =(2t)2=4t2； 1113 / 17专题十三三角形动点问题汇总115S = Sg形 EFGH - SAHM=4t X X 21 (2-1)竺t?+Ut-32422当 |<t 02 时(如图),求 S与 t 的函数关系式是：S= Sxarf-Saaqe=1

27、 X 3 (2+t) 2-1 X 3 (2- t) 2=3t.(3)当t=141时,S最大,最大值为 些. 2575【思路分析】(1)根据运动方向和速度,当t=1时,EF=FF=2,所以EF=2;当t=3时,E运动到A 后返回,此时EF=1, FP=3,所以EF=4;(2)通过分析可以知道,在 0<t02的过程中,刚开始正方形在三角形内部,而当 t=2时,正方形的 边长为4,此时点G在ABC勺外部,因此在这个运动过程中应分三种情况：正方形在三角形内部； 正方形的一个顶点 H跑出三角形；正方形的两个顶点跑出三角形.当H在4ABC的边AC上时,AE=2-t , HE=2t ,由于 AE+zA

28、CB 所以t2tGF=2t,且4AF即AACB所以 J 8 ,解得t 2t 68,解得t -;当G在4ABC的边AC上时,AF=2+t , 611当 0<t 时,S= (2t) 2=4t2;当 gvtw 时, 511115S=S=S 矩形 efgh-Sa HM=4t2- 1 X 4 X2t- 3 (2- t) 2 =空 t2+Ut-2 2342422当 VtWZ 时,S= Saarf-S AQE = 52X 3(2+t) 2 - 1X 3(2- t) 2=3t . 424(3)当t>2时,E反向运动,此时EF的长固定不变,保持为4, t在开始之前重重叠局部的面积显然是在增加的,当5

29、 t 22时,重叠局部是六边形的时侯是先增后开始减少,此时可以求出图形为六 314 / 17专题十三三角形动点问题汇总边形时的关系式,即正方形的面积减去这两个小三角形的面积,而Si -(11 -t)2, S2 -(-t3)2,3 243 33而S=S正方形-s-s=16-2(11 9t)2 2(3空)2=竺t2 73t资从而得当t=146时,s最大,最大值为 3 243 33246625110255 .27,如图,在矩形ABCL, A五12cm, BC= 8cm,点E、F、G分别从点 A B、C三点同时出发,沿矩 形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s,当

30、点F追上点G(即 点F与点G重合)时,三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时,AEFS的面积为S (cm2).(1)当t=1秒时,S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式,并指出自变量t的取值范围.(3)假设点F在矩形的边BC上移动,当t为何值时,以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C G 为顶点的三角形相似？请说明理由.A.DE【答案】(1)如图甲,当t=1秒时,A2, EB= 10, BF= 4, FC= 4, CG= 2,由S= S梯形氏g- Sebfc1 一 c 11c cScg= -(10+2) X8 X 10X4 X 4X2= 2422215 / 17专题十三三角形动点问题汇总第25网中)如图(甲),当0&t02时,点E、F、G分别在AR BG CD上移动,此时AE= 2t , EB= 12- 2t, BF= 4t , FO 84t, S=8t2 32t+48 (0<t <2)(3)如图乙,当点F追上点G时,4t =2t