诱导公式总结大全

1、诱导公式1Rinad口Ml-aC 时口诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式,就是将角n兀/2 ±a的三角函数转化为角a的三角函数.常用的诱导公式公式一：设a为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin 2k tt+ a = sin acos 2k Tt+ a = cos atan 2k 兀+ a = tan acot 2k Tt+ a = cot a公式二：设a为任意角,冗+ a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系：sin 九+ a = sin acos 九+ a = cos atan 九+ a = tan acot 九+ a = cot a公式三任意角 aa的三角函数值之间

2、的关系:sin a = sin acos a = cos atan a = tan acot a = cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到广a与a的三角函数值之间的关系：sin 九一a = sin acos 九一a = cos atan 九一a = tan acot 九一a = cot a公式五：利用公式一和公式三可以得到2九-a与a的三角函数值之间的关系：sin 2九一 a = sin acos 2 九一a = cos atan 2九一a = tan acot 2 九一 a = cot a公式六：九/2 土 a与a的三角函数值之间的关系:sin冗/2+a= cos acos冗/2+a

3、= sinatan冗/2+a= cotacot冗/2+a= tanasin九/2a= cos acos九/2a= sin atan (九/2 a) = cot acot (兀/2 a) = tan a诱导公式记忆口诀奇变偶不变,符号看象限.“奇、偶指的是整数n的奇偶,“变与不变指的是三角函数的名称的变化：“变是指正弦变余弦,正切变余切.(反之亦然成立)“符号看象限的含义是：把角 a看做锐角,不考虑 a角所在象限,看 n (冗/2) ±a是第几象限角,从而得到等式右边是正号还是负号.一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+ ；

4、第二象限内只有正弦是“ + ,其余全部是“"；第三象限内只有正切和余切是“+,其余全部是 “；第四象限内只有余弦是“十,其余全部是 “一.其他三角函数知识同角三角函数的根本关系式倒数关系tan a cot a= 1sin a CSC a= 1cos a sec a = 1商的关系sin a/cos a=tan a=seca/csc acos a/sin a= cot a= csc a/sec a平方关系sinA2( a) + c0sA2( a) = 11 + tanA2( a) = secA2( a)1 + cotA2( a) = cscA2( a)同角三角函数关系六角形记忆法构造以

5、"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1的正六边形为模型倒数关系对角线上两个函数互为倒数；商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘 积.(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积).由此,可得商数关系 式.平方关系在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等 于下面顶点上的三角函数值的平方.两角和差公式sin(a+B)=sinacos0+ cosasin0sin(aB)=sinacos0 cosasin0cos(a+B)=cosacos0 sinasinBcos(aB)=cosacos0+ sinasinBtan ( a+ B) = (tan

6、a+tan 0 )/(1 tan a tan 份tan ( a B) = (tan atan 0)/(1 + tan a tan 0)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2 a=2sin acos acos2 a = c0sA2( a) sinA2( a) = 2c0sA2( a) 1 = 1 2sinA2( a)tan2 a=2tan a/(1 tanA2( a)半角的正弦、余弦和正切公式sinA2( a/2) = (1 cos a)/2cosA2( a/2) = (1 + cos a)/2tanA2( a/2) = (1 cos a)/(1 + cos a)tan( a/2)=(1 cos

7、a)/sin a=sin a/1+cos a万能公式sin a=2tan( a/2)/(1+ tanA2( a/2)cos a=(1 tanA2( o/2)/(1+ tanA2( a/2)tan a=(2tan( a/2)/(1- tanA2( a/2)三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a=3sin a 4sinA3( a)cos3 a=4cosA3( a) 3cos atan3 a = (3tan a tanA3(3tar1A2(a)三角函数的和差化积公式sin a+sinB= 2sin(B)cos( aB)sin asinB= 2cos(B)sin( aB)cos a + cosB=

8、2cos(B)cos( a B)/2)cos a cosB= - 2sin( a+ 0)/2) sin( a 0)/2)三角函数的积化和差公式sin a cosB= 0.5sin(B)+ sin(a B)cos a sinB= 0.5sin(B) sin(a B)cos a cosB= 0.5cos(B)+ cos(a B)sin a sinB= 0.5cos(a+ 0) cos( a- 0)公式推导过程万能公式推导sin2 a=2sin a cos a=2sin acos a/(cosA2(a)+sinA2( a)*,(由于 cosA2( a)+sinA2( a)=1 )再把*分式上下同除

9、c0sA2( a),可得 sin2 a=2tan o/(1 +tanA2( a)然后用a/2代替a即可.同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.三倍角公式推导tan3 a=sin3 a/cos3 a二 (sin2acos a+cos2asin a)/(cos2 acos a-sin2 asin a)= (2sinacosA2(a) +cosA2( a)sin asinA3( a)/(cosA3(a)cos asinA2( a) 2sinA2( a)cos a)上下同除以cosA3( a),得：tan3 a=(3tan a tanA3( a)/(1-3tanA2(a)sin

10、3 a=sin(2 a+ a) =sin2 acos a+cos2 asin a=2sin acosA2( a) + (1 2sinA2( a)sin a= 2sin a2sinA3( a) + sin a 2sinA3( a)= 3sin a4sinA3( a)cos3 a=cos(2 a+ a) = cos2 acos asin2 asin a= (2cosA2( a) 1)cos a2cos asinA2( a)= 2cosA3( a) cos a+ (2cos a 2cosA3( a)=4cosA3( a) 3cos a即sin3 a=3sin a 4sinA3( a)cos3 a=4

11、cosA3( a) 3cos a和差化积公式推导首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,假设把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-

12、b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那

13、么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)诱导公式2转换为角诱导公式是数学三角函数中将角度比拟大的三角函数利用角的周期性, 度比拟小的三角函数.目录诱导公式诱导公式记忆口诀同角三角函数根本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式半角公式 万能公式诱导公式诱导公式记忆

14、口诀同角三角函数根本关系同角三角函数关系六角形记忆法两角和差公式二倍角公式半角公式万能公式万能公式推导三倍角公式 三倍角公式推导 三倍角公式联想记忆 和差化积公式 积化和差公式 和差化积公式推导展开诱导公式【诱导公式】公式常用的诱导公式有以下几组：公式一公式五函数名未改变, 六函数名发生改变公式一：设a为任意角,终边相同的角的同一三角函数 的值相等:弧度制下的角的表示:sin (2k a)cos (2k a)tan (2k 兀+ a)cot (2k tt+ a)sec (2k tt+ a)csc (2k tt+ a)=sin a (k C Z)=cos a ( k C Z)=tan a (k

15、C Z)=cot a (k C Z)=sec a (k C Z)=csc a ( k C Z)角度制下的角的表示:sin ( a+k 360 ) =sin a (kC Z)cos( a+k 360 °) = cos a ( k C Z)tan ( a+k 360 ) =tan a (kC Z)cot (a+k 360°)=cota( k C Z)sec (a+k 360 °)=seca( k C Z)csc (a+k 360 °)=csca( k Z)公式二：设a为任意角,冗+ a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin (九+

16、 a) = sin acos (九+ a) = cos atan (九+ a) = tan acot (九+ a) = cot asec (九+ a) = sec aCSC (九+ a) = csc a角度制下的角的表示：sin (180+ a) = sin acos (180+a) = cosatan (180 + a) = tan acot ( 180 + a) = cot asec (180+a) = secacsc (180+a) = csca公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系：sin ( a) = - sin acos ( a) = cos atan ( a) = tan

17、acot ( a) = cot asec ( a) = sec acsc a) = csc a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin (九一a) = sin acos (九一a) = cos atan (九一a) = tan acot (九一a) = cot asec (九一a) = sec aCSC (九一a) = csc a角度制下的角的表示：sin (180° a) = sin acos (180 a) = cos atan (180° a) = tan acot ( 180 ° a) = cot as

18、ec (180 a) = sec acsc (180 a) = csc a公式五：利用公式一和公式三可以得到2九-a与a的三角函数值之间的关系:弧度制下的角的表示：sin (2九一 a) = sin acos ( 2 九一a) = cos atan (2九一a) = tan acot ( 2 九一 a) = cot asec (2 冗一 a) = sec acsc (2 冗一a) = csc a角度制下的角的表示：sin(360 a)=sinacos( 360 ° a)= cos atan( 360 ° a)= tanacot( 360 a)= cotasec ( 360

19、° a) = sec aCSC ( 360 ° a) = CSC a小结：以上五组公式可简记为：函数名不变,符号看象限 .即a+k360° (kCZ) , - a, 180°为,360° a的三角函数值,等于a的同名三角函数值,前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符号.公式六：九/2 土 a及3冗/2 土a与a的三角函数值之间的关系：( L4.)1 .冗/2 + a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin(冗/2+a)= cos acos(冗/2+a)= sinatan(冗/2+a)= cotacot(冗/2+a)= tanasec

20、(冗/2+a)= cscacsc(冗/2+a)= sec a角度制下的角的表示：sin(90°+a)= cos acos(90°+a)= sinatan(90°+a)= cotacot(90°+a)= tanasec (90 + a) = csc acsc ( 90° + a) = sec a2. 冗/2 a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示:sin (九/2 a) = cos acos(九/2a)=sinatan(九/2a)=cotacot(九/2a)=tanasec(九/2a)=cscacsc(九/2a)=seca角度制下的角的表

21、示：sin (90° a)= cosacos (90° a)= sinatan (90° a)= cotacot (90a)= tanasec (90° a)= cscacsc (90*= seca3. 3冗/2 + a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin( 3冗/2+a)= cosacos( 3冗/2+a)= sin atan( 3兀/2+a)= cotacot (3W2a) = tansec ( 3 兀/2a) = csc acsc ( 3 冗/2 + a) = sec a角度制下的角的表示：sin (270 °+ a) =

22、 cos acos (270 + a) = sin atan (270 °+ a) = cot acot (270 °+ a) = tan asec ( 270 ° + a) = csc acsc ( 270 °+ a) = sec a4. 3冗/2 a与a的三角函数值之间的关系弧度制下的角的表示：sin( 3 冗/2a)=cos acos( 3 冗/2a)=sin atan ( 3 兀/2 a) = cot acot ( 3 兀/2 a) = tan asec( 3 冗/2a)sec acsc( 3 冗/2a)=sec a角度制下的角的表示：sin (

23、270 a) = cos acos (270 a) = sin atan (270 ° a) = cot acot (270 ° a) = tan asec (270 ° a) = csc acsc (270 ° a) = sec a温馨提示：1.在做题目的时候,最好将 a看成是锐角.2.k CZ总结记忆：奇变偶不变,符号看 象限.奇偶是针对k而言的,变与不 变是针对三角函数名而言.诱导公式记忆口诀规律总结派上面这些诱导公式可以概括为：对于k冗/2 ± ak Z的三角函数值,当k是偶数时,得到a的同名函数值,即函数名不改变；当k是奇数时,得到a

24、相应的余函数值,即sin f cos;cos fsin;tan fcot,cot ftan.奇变偶不变然后在前面加上把a看成锐角时原函数值的符号.符号看象限例如：sin2 九一a=sin4 兀/2 a , k=4 为偶数,所以取 sin a.当 a 是锐角时,2九一aC 270 °,360°,sin2 九一a0,符号为“一.所以 sin2 九一a = sin a上述的记忆口诀是：奇变偶不变,符号看象限.公式右边的符号为把a视为锐角时,角k 360° + a kCZ,- a、180°圾360 - a所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象

25、限.#各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正；二正弦余割；三两切；四余弦正割 .这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“ + ；第二象限内只有正弦是“+,其余全部是 “一；第三象限内切函数是“ + ,弦函数是“一；第四象限内只有余弦是“ 十 ,其余全部是 “一上述记忆口诀,一全正,二与之,三内切,四余弦 #还有一种根据函数类型分象限定正负：函数类型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限正弦 十+ 一 余弦 + 十正切 + + 一余切 + + 一奇变偶不变,符号看象限同角三角函数根本关系同角三角函数的根本关系式倒数关系：tan a cot a=

26、 1sin a CSC a= 1cos a sec a = 1商的关系：sin a/cos a=tan a=seca/csc acos a/sin a= cot a= csc a/sec a平方关系：sinA2( a) + c0sA2( a) = 11 + tanA2( a) = secA2( a)1 + c0tA2( a) = CSCA2( a)同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法：(参看图片或参考资料链接)构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间 1的正六边形为模型(1)倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；(2)商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶 点上

27、函数值的乘积.(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积).由此,可得商数关系 式.(3)平方关系：在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函 数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方.两角和差公式两角和与差的三角函数公式sin(a+B)=sinacos0+ cos asin0sin(aB)=sinacos0 cos asin0cos(a+B)=cosacos0 sin asinBcos(aB)=cosacos0+ sin asinBtan ( a+ B) = (tan a+tan B)/(1-tan atan 0)tan ( a B) = (tan a tan B)/(1 + tan a

28、 tan 0)二倍角公式二倍角的正弦、余弦和正切公式(开幕缩角公式)sin2 a=2sin acos acos2 a= cosA2( a) sinA2( a) = 2cosA2( a) 1 = 1 2sinA2( a)tan2 a=2tan a/1 - tanA2( a)半角公式半角的正弦、余弦和正切公式(降幕扩角公式)sinA2( a/2) = (1 cos a) /28sA2( a/2) = (1 + cos a)/2tanA2( a/2) = (1 cos a) / (1 + cos a)另也有 tan( a/2)=(1 cos a)/sin a=sin a/(1+cos a)万能公式万

29、能公式sin a=2tan( a/2)/1+tanA2(a/2)cos a=1-tanA2(a/2)/1+tanA2(a/2)tan a=2tan( a/2)/1-tanA2(a/2)万能公式推导附推导：sin2 a=2sin a cos a=2sin acos a/(cosA2( a)+sinA2( a)*,(由于 cosA2( a)+sinA2( a)=1 )再把*分式上下同除 cosA2( a),可得 sin2 a=2tan o/(1 +tanA2( a)然后用a/2代替a即可.同理可推导余弦的万能公式.正切的万能公式可通过正弦比余弦得到.三倍角公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3

30、a=3sin a 4sinA3( a)cos3 a=4cosA3( a) 3cos atan3 a=3tan a tanA3( a) / 1 3tanA2( a)=tan atan(兀/3+ a)tan(兀/3- a)三倍角公式推导附推导：tan3 a=sin3 a/cos3 a二 (sin2 acos a+cos2 asin a)/(cos2 acos a-sin2 asin a)= (2sin ac0sA2( a) + c0sA2( a)sin asinA3( a)/(c0sA3(a) cos asinA2( a) 2sinA2( a)cos a)上下同除以cosA3( a),得：tan3

31、 a=(3tan a tanA3( a)/(1-3tanA2(a)sin3 a=sin(2 a+ a) =sin2 acos a+cos2 asin a=2sin acosA2( a) + (1 2sinA2( a)sin a= 2sin a2sinA3( a) + sin a 2sinA3( a)= 3sin a4sinA3( a)cos3 a=cos(2 a+ a) = cos2 acos asin2 asin a= (2cosA2( a) 1)cos a2cos asinA2( a)= 2cosA3( a) cos a+ (2cos a 2cosA3( a)=4cosA3( a) 3co

32、s a即sin3 a=3sin a 4sinA3( a)cos3 a=4cosA3( a) 3cos a三倍角公式联想记忆i己忆方法：谐音、联想正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数),所以要“挣钱(音似“正弦)余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有 “余)注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表不.另外的记忆方法：正弦三倍角：山无司令(谐音为三无四立)三指的是"3倍"sin a,无指的是减号,四指的是"4倍",立指白是sin a立方余弦三倍角：司令无山 与上同理和差化积公式三角函数的和差化积公式sin a+sin0=2s

33、in(a+0)cos(a0)/2sin asin0=2cos(a+0)sin(a0)/2cos a + cosB=2cos(a+0)cos(a0)/2cos a cos B= 2sin( a+ 0)/2 sin( a 0)/2积化和差公式三角函数的积化和差公式sin acosB=0.5sin(a+0)+sin(a-0)cos asinB=0.5sin(a+0)sin(a0)cos acosB=0.5cos(a+0)+cos(a0)sin a sin B= 0.5cos( a+ B) cos( a B)和差化积公式推导附推导:首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb

34、,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,假设把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我

35、们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式：sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式：sinx+siny=2

36、sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)反三角函数其他公式arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=九-arccosxarctan(-x)=-arctanx arccot(-x)= 九-arccotxarcsinx+arccosx=冗/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x

37、 当 x C -兀/2,兀/2 有 arcsin(sinx)=xx C 0, tt, arccos(cosx)=xx C (-兀/2,九/2), arctan(tanx)=xx C (0,九),arccot(cotx)=xx>0, arctanx=兀/2-arctan1/x, arccotx类似假设(arctanx+arctany) (-兀/2,兀/2),那么arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)三角、反三角函数图像六个三角函数值在每个象限的符号： *nsin a csc acosa sec atana cot a+ + + +y=sinx-5 二 2y中 冗-ri.-4 二-7 -3 ：?52-2 二-3