2012014学年弹性力学与有限元分析复习题讲诉

1、弹性力学与有限元分析复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、一 形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相 适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规 定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应 和切应力。应力及其分量的量纲是 L-1MT-2。5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问

2、题。7、我们把剪应力为零的面称为主平面，把该面的法线方向称为主方向，把该面上的正 应力称为主应力。8、弹性力学平面问题的基本方程包括:2个平衡微分方程，3个物理方程和3个几何方 程。9、已知一点处的应力分量100 MPa，50 MPa，xy10 50 MPa，则主应力151 150MPa. 2 0MPa， 1 35 16 。10、已知一点处的应力分量,200MPa， y OMPa，xy400 MPa，则主应力1 512MPa， 2 z312 MPa, 1 -37° 57'。11、 已知一点处的应力分量，x 2000 MPa， y 1000MPa， xy 400 MPa，则主应

3、力 1 1052 MPa,2 -2052 MPa,1 -82° 32'。12、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三 套方程。13、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。14、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、 应力边界条件和混合边界条件。15、 按应力求解平面问题时常采用逆解法和半、判断题(请在正确命题后的括号内打“V” ，在错误命题后的括号内打“X”)1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙(V)2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质

4、所填满，不留下任何空隙(X)3、 把两块不同的金属焊接在一起，就成为一块不连续但均匀的物体。(X)4、 连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（X）5、 平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（X）6、如果某一问题中，z zx zy 0 ，只存在平面应力分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应力问题(V)7、如果某一问题中，z zx zy 0 ，只存在平面应变分量x ， y ， xy ，且它们不沿 z方向变化，仅为 x，y 的函数，此问题是平面应变问题。 （V）8、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（X）9、 表

5、示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（X）10、 当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（V）11、 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（V）12、 按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（X）13、 按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（X）三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度 的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构， 例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学

6、研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面 进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了 数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用 那些假定，因而得出的结果就比较精确， 并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答2、简述弹性力学的研究方法。答：在弹性体区域内部， 考虑静力学、 几何学和物理学三方面条件， 分别建立三套方程 即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何 关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性 体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，

7、根据边界上微分体的平衡条件， 建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。 求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力 分量、形变分量和位移分量。3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用 表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作 用方向；切应力用 表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个 坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿 坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方 向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简

8、述平面应力问题与平面应变问题的区别。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有xy。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和V5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢 量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远 处所受的影响可以不计。6、简述按应力求解平面问题时的逆解法答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足

9、相容方程的应力函数；并由应力分量与 应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看 这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的 问题。四、分析计算题（1）在区域内的平衡微分方程xXyyyxxy（2）在区域内的相容方程x y 0 ；（ 3）在边界上的应力1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的 应力分量是否可能在弹性体中存在。(1)x Ax By，y Cx Dy， xy Ex Fy ；(2)x A(x 此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此 外还应满足应力边界条

10、件。 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程，其系 数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。y iCzxy2， xy C2y3 CsX2y，体力不计，Q 为 y2)，y B(x2 y2)， xy Cxy ；其中，A， B， C， D，E，F为常数。解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件:l x m yx f x s边界条件y s _；（4）对于多连体的位移单值条件。2、已知应力分量 x Qxy2 Ox3，m y I xy s f y s解：将所给应力分量代入平衡微分方程2 23C2 y C3x 02 2Qy 3C1 x3C2xy

11、 2C3xy 02 23Ci C 3 x Q 3C2 y 03C2 2C3 xy 0由x, y的任意性,3C1 C3 0Q 3C2 03C2 2C3 0由此解得，C1 Q6C23、已知应力分量xy0 ,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量Xy 0 ,代入平衡微分方程可知，已知应力分量Xy 0 一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略2-(y将已知应力分量q， xy 0代入上式，可知满足相容方程。按应力求解平面应变问题的相容方程:2 22( xy)2(y”y 1x 1)22 xy)1 x y不计时才满足。按应力求解平面应力问题的相容方程:2)2(1)竺x y将已知应力分量

12、q , xy 0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否 可能存在。（1） x Axy， y By3， xy c Dy2 ；（2） x Ay2， y Bx2y， xy Cxy ；（3）x 0， y 0， xy Cxy ；其中，A，B, C，D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即2 2 2xyxy22-y x x y将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2） 2A 2By C（ 1分）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0, 2A=C。（3）0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则X

13、0， y 0， Xy 0（ 1 分）5、证明应力函数by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b 0 ）。ih/2x1h/2.l/2 1l/2-解：将应力函数by2代入相容方程4x422 2x y可知，所给应力函数by2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为2x2 2b，yy x2xy20x y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为：上边,1, fx ( xy)0 , fyy) hy2下边,m 1，fx ( xy)y r2f；(y)左边,m 0 ,fx(x)2b，(xy)右边,I2，11，m0

14、，fx( x)x1 2b ,2f;(Xy'0。2可见, 应力函数axy代入相容方程上边，y1 , f x (xy) h a , y 2(y)y 弓0 ；上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,by2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a 0 ）。解：将应力函数442422x x y可知，所给应力函数axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为2y20 ， xyx对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根

15、据边界条件，上下左右四 个边上的面力分别为：下边，yh，i0，m 1 ，fx(xy) ha ，f y(y)h 0 ；2y 2y2左边，xll 1，m 0， fx ( x) i 0，石（xy)l a ；2x 一2x 一2右边，x丄，l1，m 0， fx ( x) l 0， fy (xy ) la。可见，2边分/x 2x 一2而在上下两边分别受有向右在左右两别受有向下和向上的均布面力a，和向左的均布面力a。因此，应力函数axy能解决矩形板受均布剪力的问题7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压, 即设X 0

16、。由此可知将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式x,yfi(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得44d fi(x) d f2(x) y dxdx40这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即4d fi(x)dx3 44d f2(x)dx4这两个方程要求32f2(x) Dx Ex Jx K代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得3232y（Ax Bx Cx） Dx Ex对应应力分量为y(6Ax 2B) 6Dx 2Exgy22xy3Ax2 2Bx Cx y以上常数可以根据边界

17、条件确定左边，x 0 ,11 , m 0，沿y方向无面力，所以有（xy ）x 0 C 0右边，x b， l 1， m 0，沿y方向的面力为q，所以有（xy）x b 3Ab2 2Bb q上边，y 0,10, m 1，没有水平面力，这就要求 xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b0( xy)y 0dx 0将xy的表达式代入，并考虑到C=0,则有：（3Ax2 2Bx）dx Ax3 Bx2 0 Ab3 Bb2 0b而0（ xy）y 00dx 0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bb0（ y）y 0dx 0，0（ y）y °

18、;xdx 0将y的表达式代入，则有b2b2o（6Dx 2E）dx 3Dx 2Ex。3Db 2Eb 0°b（6Dx 2E）xdx 2Dx3 Ex2 ： 2Db3 Eb2 0由此可得A 耳，B q，C 0，D 0，E 0 b2b应力分量为x 0， y 2q 1 3fgy, xy qf 3x 2b bb b虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远 离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为2yV，xxyy2x 牙V , y2，试导出相应的相容方程。x y，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函

19、数表示为,证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量 应当满足平衡微分方程xyxV0xyx（1 分）yxyVoyxy还应满足相容方程22f fx y 1 y （对于平面应力问题）x yx y2222xy-（对于平面应变问题）x y并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为xx Vyx0yy Vxy0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为Vyxy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x，y），使得yxyx（1 分）同样，将第二个方程改写为V 一 y v y可见也一定存在某一函数 B

20、 （x， y），使得yx由此得A B x y因而又一定存在某一函数x,y ,使得A,By x代入以上各式，得应力分量2xyX 2 V，y为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数x,y必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得简写为222222xyy22222222xyyx222VV1Vxxy222 22 2 -V 1Vxyx y4(1 )2V将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得222V y2 x2 y22222222xyyx简写为421 21x222 V2 Vxy222V 1y212 22 -222 Vxx y122v，试用纯三次的应力函数求9、如图所示三角

21、形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为 解O解：纯三次的应力函数为3 axbx2 y cxy2 dy3相应的应力分量表达式为222x r xfx 2cx 6dy,y2yfy 6ax 2by gy ,xy 2bx 2cyyxx y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 现在来考察，如果适当选择各个系数, 是否能满足应力边界条件。上边，y 0, I 0, m 1，没有水平面力，所以有xy)y 0 2bx 0对上端面的任意x值都应成立，可见 同时，该边界上没有竖直面力，所以有y)y 06 ax 0对上端面的任意x值都应成立，可见因此，应力分量可以简化为2cx6dy，gy， xy2cy斜面，y xt

22、an ，I cossinm coscos没有面力，所以有m yxxtany 1 xyy xta n由第一个方程，得2cx 6dxtansin2cxtan cos4cxsin6dxta nsin 0对斜面的任意x值都应成立,这就要求4c 6dtan0由第二个方程，得2cxtan singxtan cos 2cxtan singxs in对斜面的任意x值都应成立，这就要求2cta n分）由此解得gcot ( 1分），gcot2从而应力分量为x gxcot2 gycot2gy, xy gycot设三角形悬臂梁的长为I，高为h,则tan反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为h。根据力的平衡，固定端对

23、梁的约束11-glh。因此，所求x在这部分边界上2合成的主矢应为零，xy应当合成为反力扌glhhh0 Xx|dy 0 glcot2 gycot2 dyglh coth h 1 2 0 xy x I dy 0 gycot dy - gh cot可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。2 2gh cot 01-g|h10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为1，液体的密度为2，试求应力分量。力引起，应当与1g成正比（g是重力加速度）；另一左面，x 0，l 1，m 0，作用有水平面力2gy，所以有x解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力 分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意 一点，每一个应力分量都将由两部分组成： 一部分由重部分由液体压力引起，应当与2g成正比。此外，每- 部分还与，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2,1g和2g的量纲是L-2MT-2，是量纲一的