二次根式的有关概念及性质

1、二次根式的有关概念及性质-、二次根式的有关概念:1 二次根式：式子 - (aC叫做二次根式2最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式;(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 人不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数,乂如需，炳,J2(x + yf都不是最简二次根式,5/7都是最简二次根式3同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根 式就叫做同类二次根式。如 爲忑应就是同类二次根式，因为=2J , =3J ,它们与-的被开方数均为2o4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它

2、们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如五与逅,姑乔与a乔,五坨勺血+ 4),互为有理化因 式。、二次根式的性质:C是一个非负数,2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(-r )2=a(a > 0)fa(a>0)3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即丄'=|a|=l 叩4非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（a>O，b >）0非负数的商5.的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即(a> O3b>0三、例题：例1.X为何值时，下列各式在实数范围内才有意义：73-x(1)V2x(4) (

3、5)仮-1(3) :二分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零O解：V 6-x> 0,-XW6时原式有意义。22 v x > 0,二x +3>0, x取任意实数原式都有意义。(3)f3-x>0 fx<3.*-1 区徉0 二尸±3当xv3且厂3时，原式有意义。f2x+3>0 1 5,2 葢+5。. .35当-_ <xv时，原式有意义。(5)X>07Ju- .iIxlOr当x>0且xAl时，原式有意义。fx-2

4、>0 fx>2x=2当x=2时，原式有意义。例2写岀下列各等式成立的条件:(5)(1)分析：木题考察算术平方根的概念及二次根式的性 质。解：(1)-3x> 0,3x< 0, . x< 0.(2) =|mn| 二mn mrO, 血成立，隐含rri>0,m>0 且 nWO.J(2a+疔1x>lAcx <-l lxA-lL<11+2a> 0,.! x+i>o1 l-x>0(4) 由题意得 x=±1.(5) T=|x+5 H2-x|=7只有|x+5|=x+5, |2-x|=x-2时才成立,A+5>0x>

5、-5k-2>0 x>2例3化简下列各式:(2<x<3) a2 V a (m<0)(3)二 7 ' +|2-x|+ '7(4)J(3x -1)2( 5) g) k Jx2-2xy + y2(6)J4x2y2+12x4y2 (y<0)(7) J168x + / +於 + 2盼1分析：若没有要在二次根式化简的题目中， 若有已知条件或隐含条件，则根据己知或隐含条件化简，己知条件或隐含条件时，则必须加以讨论，特别是对于开方后式中有两个绝对值以上的题目，采取 零点分段的方法逐一加以考虑。解：(1)n >3, (2) v mvO,要使Ya有意义,则a

6、vO,原式=r=+i2-xj r(3) 2<x<3,=|2-x|+|2-x|+|x-3|=x-2+x-2+3-x=x-1.在这里我们分3*10或3x-1v0两种情况进行了讨论。(5) (x-y) JS + 盘2 _ 2xy+ yyx有意义，八y-x>o9/7y-x 二原式=(xy) "(y-X)2 +J(X-y)2x-y= |y-X| 护'+|刊|x-y+y-x=+y-x.(6) t y<0,.原式土心=2|xy| Jl + 3x?=-2|x|y,当x0时，原式=-2xy JU3?当xvO时，原式=2xyJl + 3o(7) 上 1 L+： : “ 4

7、-J二厂 J+”i=|4x|+|x+11即分 x1, -1vx<4,若|4-x|=0,则x=4;若|x+"O则X=1，则本题需要将x的取值分成三段, X4三段来进行讨论。当 x<-1 时，原式=4-x+(-x-1)=4-x-x-1=3-2x.当-1<x<4 时，原式=4-x+x+1=5.当 x>4 时，原式=x-4+x+1=2x-3.例4把根号外的因式移至根号内:(1) 2(3) m 小(m> 0)分析：木题需逆用性质（a>05b只能将根号外的正因式移至根号内解:-m> 0, m B=AA 徧=J 朋如 (4) (x < 0)二 x(2)若:求：x2+y2的值分析:（1）观察己知条件,等式右边有两个根式，要使两个根式有意义，则Cx-2>0x=2,2-x>0 y=1 A而可求岀x+2y的值Px-2>0x=2,y=1(1)解：由己知可得