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1、第五节 平面及其方程教学目的掌握平面方程的各种表现形式及其意义教学重点平面方程的建立教学难点平面各类方程的意义教学过程一、问题的提出问题：过空间中一点可以作多少个平面与一已知直线垂直？回答：有且仅有一个。定义：如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。平面上任一向量都与该平面的法线向量垂直。从以上分析我们得出，当平面上一点和它的一个法线向量为已知时，平面的位置就完全确定了。下面，我们来建立平面的方程。二、平面的点法式方程设点为平面上任意一点，则点在平面上的充要条件是即 而所以平面的方程为(1)此方程称为平面的点法式方程例1 求过点且以为法线向量的平面的方程。解 根据平面的点法式

2、方程（1），得所求平面的方程为即 例2 求过点、和的平面的方程。解 由于平面的法向量与向量、都垂直，所以可以取它们的向量积为 根据平面的点法式方程（1），得所求平面的方程为即 三、平面的一般式方程1. 平面一般式方程的形式展开(1)式，得由此可见，平面方程是之间的一次方程反过来，设之间的一次方程为(2)在,不全为零时,它也是平面方程，此方程称为平面的一般式方程。例如，方程 表示一个平面，法线向量2. 特殊平面的方程系数方程平面 经过原点轴轴轴面面面例3 求通过轴和点的平面的方程。解 由于平面通过轴，从而它的法向量垂直于轴，于是法线向量在轴上的投影为零，即 又由于平面通过轴，所以，此平面必通过原

3、点，于是 因此可设此平面的方程为 又此平面经过点，所以，或 以此代入所设方程，便得所求的平面方程为 四、平面的截距式方程例4 设一平面与轴的交点依次为、三点，求这平面的方程（其中）。解 设平面方程为 由于三点在平面上，所以有： 得 代入所设方程并除以，便得所求的平面方程为 （3）方程（3）叫做平面的截距式方程（其中依次叫做平面在轴上的截距）。五、两平面的夹角1. 定义 两平面法向量之间的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.2. 计算 平面 平面 按照两向量夹角余弦公式有3. 两平面位置特征： 例5 求平面和的夹角。解 例6 一平面通过两点和且垂直于平面，求它的方程。解 设所求平面的法向量为 在所求平面上 又所求平面与已知平面垂直代入点法式方程并整理得六、课堂小结（一）平面的方程1. 点法式方程2. 一

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