高一数学必修一复习资料及例题

1、 第二章 函数指数与对数运算一分数指数幂与根式：如果，则称是的次方根，的次方根为0，若，则当为奇数时，的次方根有1个，记做；当为偶数时，负数没有次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做负的次方根记做1负数没有偶次方根；2两个关系式：；3、正数的正分数指数幂的意义：； 正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质： ； ； ； ； ，其中、均为有理数，均为正整数二对数及其运算1定义：若，且，则2两个对数： 常用对数：，； 自然对数：，3三条性质： 1的对数是0，即； 底数的对数是1，即； 负数和零没有对数4四条运算法则： ； ； ； 5其他运算性质： 对数恒等式：； 换底公式：； ；

2、 函数的概念一映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则，对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量、，对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，则称是的函数，记做，其中称为自变量，变化的范围叫做函数的定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的变化范围叫做函数的值域三函数是由非空数集到非空数集B的映射四函数的三要素：解析式；定义域；值域函数的解析式一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知，求函数的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知是

3、一次函数，且，函数的解析式三由函数的图像受制约的条件，进而求的解析式函数的定义域一根据给出函数的解析式求定义域： 整式： 分式：分母不等于0 偶次根式：被开方数大于或等于0 含0次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二根据对应法则的意义求函数的定义域： 例如：已知定义域为，求定义域； 已知定义域为，求定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数二次函数时，时，反比例函数，且指数函数对数函数三角函数二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数

4、解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等反函数一反函数：设函数的值域是，根据这个函数中，的关系，用把表示出，得到若对于中的每一值，通过，都有唯一的一个与之对应，那么，就表示是自变量，是自变量的函数，这样的函数叫做函数的反函数，记作,习惯上改写成二函数存在反函数的条件是：、一一对应三求函数的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用表示，得 交换、，得 结论，表明定义域四函数与其反函数的关系： 函数与的定义域与值域互换 若图像上存在点，则的图像上必有点，即若，则 函

5、数与的图像关于直线对称函数的奇偶性：一定义：对于函数定义域中的任意一个，如果满足，则称函数为奇函数；如果满足，则称函数为偶函数二判断函数奇偶性的步骤：1判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证与的关系，若满足，则为奇函数，若满足，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称三已知、分别是定义在区间、上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶五若奇函数的定义域包含，则六一次函数是奇函数的充要条件是； 二次函数是偶函数的充要条件是函数的周期性：一定义：对于函数，如果存在一

6、个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期2如果函数所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期如果函数的最小正周期为，则函数的最小正周期为函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值，当时满足： ，则称函数在该区间上是增函数； ，则称函数在该区间上是减函数二判断函数单调性的常用方法：1定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论：*2导数法： 求函数f(x)的导数； 解不等式，所得x的范围就是递增区间； 解不等式，所得x的范围就是递减区间3复合函数的单调性： 对于复合函数，设，则，可根

7、据它们的单调性确定复合函数，具体判断如下表：增增减减 增减增减 增减减增4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同函数的图像一基本函数的图像二图像变换： 将图像上每一点向上或向下平移个单位，可得的图像 将图像上每一点向左或向右平移个单位，可得的图像 将图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸或压缩为原来的倍，可得的图像 将图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩或拉伸为原来的，可得的图像 关于轴对称 关于轴对称 将位于轴左侧的图像去掉，再将轴右侧的图像沿轴对称到左侧，可得的图像 将位于轴下方的部分沿轴对称到上方，可得的图像三函数图像自身的对称关系图像特征关于轴对称关于原

8、点对称关于轴对称关于直线对称关于直线轴对称关于直线对称周期函数，周期为四两个函数图像的对称关系图像特征与关于轴对称与关于轴对称与关于原点对称与关于直线对称与关于直线对称与关于轴对称必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.1.1 函数的概念和图象重难点：在对应的基础上理解函数的概念并能理解符号“y=f（x）”的含义，掌握函数定义域与值域的求法； 函数的三种不同表示的相互间转化，函数的解析式的表示，理解和表示分段函数；函数的作图及如何选点作图，映射的概念的理解考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示

9、函数；了解简单的分段函数，并能简单应用；经典例题：设函数f（x）的定义域为0，1，求下列函数的定义域：（1）H（x）=f（x2+1）；（2）G（x）=f（x+m）+f（xm）（m0）.当堂练习：1 下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）A B C D2函数的图象与直线交点的个数为（ ）A必有一个 B1个或2个 C至多一个 D可能2个以上3已知函数，则函数的定义域是（ ）A B C D4函数的值域是（ ）A B C D5对某种产品市场产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售情况下列叙述： （ ）（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）

10、产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增你认为较合理的是()A（1），（2），（3） B（1），（3），（4） C（2），（4） D（2），（3）6在对应法则中,若,则 ， 6 7函数对任何恒有，已知，则 8规定记号“”表示一种运算，即. 若，则函数的值域是_9已知二次函数f(x)同时满足条件： (1) 对称轴是x=1； (2) f(x)的最大值为15；(3) f(x)的两根立方和等于17则f(x)的解析式是 10函数的值域是 11 求下列函数的定义域 ： (1) (2) 12求函数的值域1

11、3已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在区间t,t+1上的最小值g(t)和最大值h(t)ABCD14在边长为2的正方形ABCD的边上有动点M，从点B开始，沿折线BCDA向A点运动，设M点运动的距离为x，ABM的面积为S（1）求函数S=的解析式、定义域和值域；（2）求ff(3)的值必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.1.2 函数的简单性质重难点：领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念，并能利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性，领会函数最值的实质，明确它是一个整体概念，学会利用函数的单调性求最值；函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性

12、、单调性的理解和应用；了解映射概念的理解并能区别函数和映射考纲要求：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；并了解映射的概念；会运用函数图像理解和研究函数的性质经典例题：定义在区间（，）上的奇函数f（x）为增函数，偶函数g（x）在0， )上图象与f（x）的图象重合.设ab0，给出下列不等式，其中成立的是 f（b）f（a）g（a）g（b） f（b）f（a）g（a）g（b） f（a）f（b）g（b）g（a） f（a）f（b）g（b）g（a）A BCD当堂练习： 1已知函数f(x)=2x2-mx+3，当时是增函数，当时是减函数，则f(1)等于 （ ） A-3B

13、13 C7 D含有m的变量 2函数是（ ）A 非奇非偶函数 B既不是奇函数,又不是偶函数奇函数 C 偶函数 D 奇函数3已知函数(1), (2),(3)(4),其中是偶函数的有（ ）个A1 B2 C3 D4 4奇函数y=f（x）（x0），当x（0，+）时，f（x）=x1，则函数f（x1）的图象为 （ ）5已知映射f:AB,其中集合A=-3,-2,-1,1,2,3,4,集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的,在B中和它对应的元素是,则集合B中元素的个数是（ ）A4 B5 C6 D76函数在区间0, 1上的最大值g(t)是7 已知函数f(x)在区间上是减函数,则与的大小关系是 8已知

14、f(x)是定义域为R的偶函数,当x0时, f(x)是增函数,若x10,且,则和的大小关系是 9如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_对称10点(x,y)在映射f作用下的对应点是,若点A在f作用下的对应点是B(2,0),则点A坐标是 13. 已知函数,其中，(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值14已知函数，常数。（1）设，证明：函数在上单调递增；（2）设且的定义域和值域都是，求的最大值13.(1)设f(x)的定义域为R的函数,求证: 是偶函数； 是奇函数.(2)利用上述结论，你能把函数表示成一个偶函数与一个奇函数之和的形式14. 在集合R上的映射:,.(1)试

15、求映射的解析式;(2)分别求函数f1(x)和f2(z)的单调区间;(3) 求函数f(x)的单调区间. 必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.1.3单元测试1 设集合P=,Q=,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ）A B C D 2下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=,其中定义域与值域相同的是（ ） A(1)(2) B(1)(2)(3) C2)(3) D(2)(3)(4)3已知函数,若,则的值为（ ）A10 B -10 C-14 D无法确定4设函数，则的值为（ ）Aa Bb Ca、b中较小的数 Da、b中较大的数5已知矩形的周长

16、为1,它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中,定义域为（ ）A B C D 6已知函数y=x2-2x+3在0,a(a0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是（ ）A0a1 B0f(-1) Bf(-1)f(-2) Cf(1)f(2) Df(-2)f(2)6计算. 7设，求8已知是奇函数，则= 9函数的图象恒过定点 10若函数的图象不经过第二象限，则满足的条件是 11先化简,再求值: (1),其中；(2) ,其中 12(1)已知x-3,2，求f(x)=的最小值与最大值(2)已知函数在0,2上有最大值8,求正数a的值(3)已知函数在区间-1,1上的最大值是14,求a的值13求下列函数的单调

17、区间及值域:(1) ； (2)；(3)求函数的递增区间14已知(1)证明函数f(x)在上为增函数；(2)证明方程没有负数解必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.3对数函数重难点：理解并掌握对数的概念以及对数式和指数式的相互转化，能应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简；理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用考纲要求：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点；知道对数

18、函数是一类重要的函数模型；了解指数函数与对数函数互为反函数经典例题：已知f（logax）=，其中a0，且a1（1）求f（x）；（2）求证：f（x）是奇函数；（3）求证：f（x）在R上为增函数当堂练习：1若,则（ ） A B C D2设表示的小数部分，则的值是（ ） A B C0 D3函数的值域是（ ）A B0,1 C0, D04设函数的取值范围为（ ）A（1，1） B（1，+） C D5已知函数，其反函数为，则是（ ）A奇函数且在（0，）上单调递减B偶函数且在（0，）上单调递增C奇函数且在（-，0）上单调递减D偶函数且在（-，0）上单调递增6计算= 7若2.5x=1000,0.25y=1000

19、,求 8函数f(x)的定义域为0,1,则函数的定义域为 9已知y=loga(2ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是 10函数图象恒过定点，若存在反函数，则的图象必过定点 11若集合x，xy，lgxy0，|x|，y，则log8（x2y2）的值为多少 12(1) 求函数在区间上的最值(2)已知求函数的值域 13已知函数的图象关于原点对称 (1)求m的值； (2)判断f(x) 在上的单调性,并根据定义证明14已知函数f(x)=x21(x1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的

20、常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)h(x2)|a|x1x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨类函数试证明：y=g(x)是M上的利普希茨类函数必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.4幂函数重难点：掌握常见幂函数的概念、图象和性质，能利用幂函数的单调性比较两个幂值的大小考纲要求：了解幂函数的概念；结合函数的图像，了解他们的变化情况经典例题：比较下列各组数的大小：（1）1.5，1.7，1；（2）（），（），1.1；（3）3.8，3.9，（1.8）；（4）31.4，51.5.当堂练习：1函数y（x22x）的定义域是（）Ax|x0或x2B（，0）（2，）C（，

21、0）2，）D（0，2）3函数y的单调递减区间为（）A（，1）B（，0）C0，D（，）3如图，曲线c1, c2分别是函数yxm和yxn在第一象限的图象，那么一定有（）Anm0 Bmnn0 Dnm04下列命题中正确的是（ ）A当时，函数的图象是一条直线 B幂函数的图象都经过（0，0），（1，1）两点 C幂函数的 图象不可能在第四象限内D若幂函数为奇函数，则在定义域内是增函数5下列命题正确的是（ ）A 幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数B 图象不经过（1，1）为点的幂函数一定不是偶函数 C 如果两个幂函数的图象具有三个公共点，那么这两个幂函数相同 D 如果一个幂函数有反函数，那么一定是奇函

22、数6用“”连结下列各式： ， 7函数y在第二象限内单调递增，则m的最大负整数是_ _8幂函数的图象过点(2,), 则它的单调递增区间是 9设x(0, 1)，幂函数y的图象在yx的上方，则a的取值范围是 10函数y在区间上 是减函数11试比较的大小12讨论函数yx的定义域、值域、奇偶性、单调性。13一个幂函数yf (x)的图象过点(3, ),另一个幂函数yg(x)的图象过点(8, 2), (1)求这两个幂函数的解析式； （2）判断这两个函数的奇偶性； （3）作出这两个函数的图象，观察得f (x)0, a1)4下列函数中，定义域和值域都不是(,)的是（ ）Ay3x By3x Cyx2 Dylog

23、2x5若指数函数y=ax在1，1上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于A B C D6当0ab(1a)b B(1a)a(1b)b C(1a)b(1a) D(1a)a(1b)b7已知函数f（x）=，则ff（）的值是（ ）A9 B C9 D8若0a1，f(x)|logax|，则下列各式中成立的是（ ）Af(2)f()f() Bf()f(2)f() Cf()f(2)f() Df()f()f(2)9在f1（x）=，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，当x1x21时，使f（x1）+f（x2）f（）成立的函数是（ ）Af1（x）=x Bf2（x）=x2 Cf3（x）=2x

24、 Df4（x）=logx10.函数，给出下述命题：有最小值；当的值域为R；当上有反函数.则其中正确的命题是（ ）A BCD11不等式的解集是 12若函数的图象关于原点对称，则13已知0ab0的解集是（ ）A (-1,3) B-1,3 C D 2已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m，n是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是（ ）A mabn Bamnb Cambn Dmanb3对于任意k1,1,函数f(x)=x2+(k4)x2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是Ax4 Cx3Dx14 设方程2x+2x=10的根为,则（ ）A(0,1) B(1,2) C(2,3)

25、 D(3,4)5如果把函数y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象近似的看作直线的一段，设acb，那么f(c)的近似值可表示为（ ）ABC.f(a)+D.f(a)6关于x的一元二次方程x2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m的取值范围是 7 当a 时，关于x的一元二次方程 x2+4x+2a-12=0两个根在区间-3,0中8若关于x的方程4x+a2x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是_ 9设x1,x2 分别是log2x=4-x 和2x+x=4的实根,则x1+x2= 10已知,在下列说法中： (1)若f(m)f(n)0,且mn,则方程f(x)=0在

26、区间(m,n)内有且只有一根； (2) 若f(m)f(n)0,且m0,且m0,且mn,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根； 其中正确的命题题号是 11关于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m的取值范围12已知二次函数f(x)=a(a+1)x2-(2a+1)x+1,（1）求函数f(x)的图象与x轴相交所截得的弦长；（2）若a依次取1,2,3,4,-,n,时, 函数f(x)的图象与x轴相交所截得n条弦长分别为求的值13已知二次函数且满足（1）证明：函数的图象交于不同的两点A，B；（2）若函数上的最小值为9，最大值为21，试求的

27、值；（3）求线段AB在轴上的射影A1B1的长的取值范围14讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数必修1 第2章 函数概念与基本初等函数2.6函数模型及其应用重难点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型的函数增长的含义考纲要求：了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用经典例题：1995年我国人口总数是12亿.如

28、果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿当堂练习：1某物体一天中的温度T是时间t的函数: T(t)=t3-3t+60,时间单位是小时,温度单位是,当t=0表示中午12:00,其后t值取为正,则上午8时的温度是（ ）A8 B112 C58 D182.某商店卖A、B两种价格不同的商品，由于商品A连续两次提价20%，同时商品B连续两次降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是：（ ）A多赚5.92元 B少赚5.92元 C多赚28.92元 D盈利相同3某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己

29、生产,如外购,每个价格是1.10元;如果自己生产,则每月的固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点是（ ）件(即生产多少件以上自产合算)A1000 B1200 C1400 D16004在一次数学实验中, 运用图形计算器采集到如下一组数据 x-2.0-1.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02 则x,y的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中a,b为待定系数) （ ）Ay=a+bX By=a+bx Cy=a+logbx Dy=a+b/x 5某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+

30、20x0.1x2（0x240，xN），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）A100台 B120台 C150台 D180台6购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_卡才合算 7某商场购进一批单价为6元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格。经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按25元的价格销售时，每月能

31、卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数。试求y与x之间的关系式 在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为 时，才能时每月获得最大利润每月的最大利润是 8某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路.该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差.如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场进行抽样调查显示:每付出100元的广告费,所得的销售额是1000元.问该企业应该投入 广告费,才能获得最大的广告效应9商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠办法：（1）买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款；某顾客

32、需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只）.则当购买茶杯数 时, 按（2）方法更省钱10一块形状为直角三角形的铁皮,直角边长分别为40cm和60cm,现要将它剪成一个矩形,并以此三角形的直角为矩形的一个角,则矩形的最大面积是 Ot（小时）y（微克）611011某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间近似满足如图所示的曲线（1）写出服药后y与t之间的函数关系式；（2）据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假若某病人一天中第一次服药时间为上午7:00，问一天中怎样安排服药的时间（共4次）效果最佳12某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢