圆锥曲线方程总结与复习

1、圆锥曲线方程圆锥曲线方程总结与复习一、复习引入：名 称椭 圆双 曲 线图 象定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆即 当22时，轨迹是椭圆， 当2=2时，轨迹是一条线段 当22时，轨迹不存在平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线即当22时，轨迹是双曲线当2=2时，轨迹是两条射线当22时，轨迹不存在标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在轴上时： 焦点在轴上时：常数的关 系 ， 最大，最大，可以渐近线焦点在轴上时： 焦点在轴上时：抛物线：图形方程焦点准线二、章节知识点回顾：椭圆、双曲线、抛

2、物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹2椭圆的标准方程：， （）3椭圆的性质：由椭圆方程() (1)范围: ,，椭圆落在组成的矩形中(2)对称性:图象关于轴对称图象关于轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点： ，加两焦点共有六个特殊点 叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭

3、圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点 (4)离心率: 椭圆焦距与长轴长之比椭圆形状与的关系：，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 4椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个内常数，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式5椭圆的准线方程对于，左准线；右准线对于，下准线；上准线焦点到准线的距离（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称 6椭圆的焦半径公式：（

4、左焦半径）,（右焦半径）,其中是离心率 焦点在y轴上的椭圆的焦半径公式： （ 其中分别是椭圆的下上焦点）焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加7椭圆的参数方程8双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线） 两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线） 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上

5、和焦点y轴上两种： 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为10焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上11双曲线的几何性质：（1）范围、对称性 由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封

6、闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 （2）顶点顶点：，特殊点：实轴：长为2a, a叫做半实轴长 虚轴：长为2b，b叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异（3）渐近线过双曲线的渐近线（） （4）离心率双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 范围：双曲线形状与e的关系：，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线 等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：；（2）渐近线互相垂直；（3）离

7、心率 13共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为，那么此双曲线方程就一定是：或写成 14共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c中a,b不同（互换）c相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 15 双曲线的第二定义：到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e是双曲线的离心率16双曲线的准线方程：对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；焦点到准线的距离（也叫

8、焦参数） 对于来说，相对于上焦点对应着上准线；相对于下焦点对应着下准线17双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径 焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式： （ 其中分别是双曲线的下上焦点）18双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式： 当双曲线焦点在x轴上时，过左焦点与左支交于两点时： 过右焦点与右支交于两点时：当双曲线焦点在y轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：19双曲线的通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 20 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的

9、轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 21抛物线的准线方程： (1), 焦点:，准线：(2), 焦点:，准线：(3), 焦点:，准线：(4) , 焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，

10、焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 22抛物线的几何性质（1）范围因为p0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸（2）对称性以y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴（3）顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点（4）离心率-抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=123抛物线的焦半径公式：抛物线，抛物线， 抛

11、物线， 抛物线，24直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）将代入，消去y，得到关于x的二次方程 （*）若，相交；，相切；，相离综上，得：联立，得关于x的方程当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当，则若，两个公共点（交点），一个公共点（切点），无公共点 （相离）（2）相交弦长：弦长公式：，（3）焦点弦公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线，（4）通径：定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：（5）若已知过焦点的直线倾斜角则（6）常用结论：和和 25抛物线的参数方程：（t为参数）三、典例分析 1若抛物线的焦点与椭圆的上焦点

12、重合，则m的值为（ ）A-8 B 8 C D 2.若动点M(x,y)到点F(4,0)的距离等于它到直线x+4=0距离，则M点的轨迹是 （ ）A.x+4=0 B.x-4=0 C. D.3.椭圆上的一点M到左焦点的距离为2，N是M的中点，则|ON|等于( )A. 4 B. 2 C. D. 8 4双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则( )A B C D5.直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）A.1 条 B.2条 C.3条 D.4条6 已知定点A、B, 且|AB|=4, 动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值是( )A. B. C. D.57双曲线的离心率，则k的取值范围为

13、A B。 C。 D。9已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点交椭圆于A，B两点，求弦AB的长 10求与双曲线有公共渐近线且焦距为8的双曲线方程_11、在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_.12、圆与抛物线的准线相切，则 8、如果以原点为圆心的圆经过双曲线的焦点，并且被该双曲线的右准线分为弧长为2:1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率为（ ）A B C D 9、已知点P是抛物线上一点，设P到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）A5B4C D高考“圆锥曲线方程”题精选1(全国)双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则( )A B C D 抛物线上的点到

14、直线距离的最小值是( )A B C D2(全国II) 已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( ) （A）（B）6（C）（D）12 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为( ) （A）（B）（C）（D） 过点（1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为( ) （A） （B） （C） （D）3（北京卷）椭圆C：的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上，且PF1F1F2, ,.()求椭圆C的方程；()若直线l过圆的圆心M,交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。 4（天津卷）椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的

15、准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ） 5(上海卷) 已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.6（重庆卷）设是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“成等差数列”是“”的( )（A）充要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分而不必要条件 （D）既不充分也不必要条件7（辽宁卷）方程的两个根可分别作为（）一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率 双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）曲线与曲线的（ ）离心率相等 焦距相等焦点相同准线相同8（江苏卷）已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为

16、坐标平面内的动点，满足:0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ）（A）（B）（C）（D）9(广东卷) 已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )A. B. C. 2 D.410(福建卷) 已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )（A）（B）（C）（D）已知直线与抛物线相切，则 。11(安徽卷) 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D12(湖南卷) 过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且，则双曲线M的离心率是( )A B.

17、C. D. 13（湖北卷）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线。（）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明点在以为直径的圆内。14（江西卷） 为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（ ） 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题（）的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆必通过点其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）15（山东卷）在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双

18、曲线的离心率为( )（A） （B）2 （C） （D）2 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 16(陕西卷) 已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为( )A.2 B. C. D.17（四川卷）直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 ( )（A） （B） （C） （D）如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_;18（浙江卷） 抛物线的准线方程是（ ） (A) (B) (C) (D) 双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则等于 解析1.AA解：设

19、抛物线上一点为(m，m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A. 2.CAD 解：，设切点坐标为，则切线的斜率为2，且,于是切线方程为，因为点（1，0）在切线上，可解得0或4，代入可验正D正确。选D3. ()因为点P在椭圆C上，所以，a=3.在RtPF1F2中，故椭圆的半焦距c=,从而b2=a2c2=4, 所以椭圆C的方程为1. ()解法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 从而可设直线l的方程为 ： y=k(x+2)+1, 代入椭圆C的方程得 ： （4+9k2）x2+(36k2+18

20、k)x+36k2+36k27=0. 因为A，B关于点M对称. 所以 解得，所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)解法二： 已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心M的坐标为（2，1）. 设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且 由得 因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y1（x+2），即8x9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意.)4.D 5. 6.A 7.AAB 8.B 9.C 10.C解：已知渐近线的斜率，选C.解：已知直线与抛

21、物线相切，将y=x1代入抛物线方程得， ，a=。 11.D12，D解：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得， ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得， b=3，双曲线的离心率e=，选D13.点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b.故椭圆的方程为 .（）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.M点在椭圆上，y0（4x02）. 又点M异于顶点A、B，2<x0<2，由P、A、M三点共线可以得P（4，）.从而（x02，y0），（2，）.·2x04（x0243y02）. 将代入，化简得·（2x0）.2x0>0，·>0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆