概率论与数理统计习题答案浙大范大茵版

1、I.写出下列试验的样本空间：(I)随机抽查 10 户居尺记录已安装空调机的户数：解 用/表示恰有 y 户居民安装空调则G 二0,1, 2,，10).C)记录某一车站某一时间区间内的候车人数；解 用i表示某一时间区间内恰有i个人候车.则d0丄 2, 3 宀(3) 同时掷 10个钱币记录止面朝上的钱币的个数：解用i表示正面朝上的钱币恰有 7 个.则Q=0 h 2，10.(4) 从某丄厂生产的产品中依次抽取 3 件进行检查记录正、 次品的情况：解 用 1 表示正品.用 0 表示次品.则Q=111 110 10L011, 10(X010,001,000在单.位球内随机地取一点.记录其直角坐标：解用(X

2、 八二)表示单位球内任一点的坐标.则Q=(Xy,二土 2+二(6)某人进行射击，射击进行到命中目标为止.记录射击的 情况;解 用丫表示恰好射击i次，则=L2, 3对某工厂的产品进行检查.每次抽查 1 个产品.若査得 的次品数达到 2 个就停止检査或总的检査数达到 1 个也停止检 查，记录检查情况.解用/表示检査/个产品时停止.则Q=2. 3. 4.2. 设A、B、C为三个事件,用A. B.C的运算表示下列事件:(1M, 3 C 都发生：解A. B. C都发生表示为 4戌 C.(2M.E发生不发生：解扎发生、C不发生表示为ABCAB-C.(3已都不发生；解A, B. C都不发生表示为ABC.(4

3、M,中至少有一个发生而 C 不发生：解 丄衣中至少有一个发生 tttfC不发生表示为(AuB)C=AB-C.(514.B中至少有一个发生；解 儿 EC 中至少有一个发生表示为 4.(6M.EC中至多有一个发生：解A. B. C中至多有一个发生表示为A Q B CkjA C=ABCJAB C0, P(BC06试求企 luB)：(u)P(AB);(in)PC5uO.無 P(B)=0.3+0.802=0.9；(li)PC-l 菲 P(4)-/W)二 0.3-0.2 二 0.1;aii)P(43uC)=P十陀)十 P二 0.3+0.8 十 0.60200.6 十 0=09注：因为ABCaAC.所以0P

4、Q4BC)sP(,4C)=0.即P(ABC)=0.(2)设P皿Pg人试问兀45)的所有可能取值的最大 值、屐小值各是多少？解因为P(ABO,所以PQA5)P( 5)=aYji.又P(Xu)h所以?(ylu)nunl, ak/,即 PJ5)的最大值为 minfh +因为PB)Pa. P(AB) 於/Ja=/iP4EH 卫(B)-P3B4 a-fi-f=a.于是PQAkj)n)ax(f7, /?即 P(/kjB)的最小值为 max./.5将一颗骰子投掷两次.依次记录所得点数.试求:(1)两骰子点数相同的概率;解用月表示“点数相同；则月二(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4),

5、 (5, 5), (6. 6)因为样本空间的样本点数为 36月的样本点数为 6.所以(2)两数之差的绝对值为 1 的概率:解用p表示两数之差的绝对值为r则 民(1, 2), (2,1), (2,3), (3, 2), (3, 4),(4, 3), (4, 5), (5. 4), (5. 6), (6, 5)因为样本空问的样本点数为 36力的样本点数为 10,所以(3)两数之乘积小于等于 12 的概率.解用 C 表示“两数之乘积小于等于 12：则C=(1,1). (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),(2、1), (2. 2 (2. 3), (2,4),

6、(2.5), (2,6).(3.1) , (3, 2), (3, 3), (3, 4),1, (4, 2), (4, 3),1,(5, 2),(2), (6. 2).因为样本空间的样本点数为 36. C 的样本点数为 23.所以P(C)二尋.366一袋中装有红球 5 只、黄球 6 只、蓝球 7 只.某人从中任取 6 只球.试求：恰好取到 1 只红球、2只黄球、3 只蓝球的概率;解 用A表示恰好取到 1 只红球.2 只黄球.3 只兰球二则6)(2)取到红球只数与黄球只数相等的概率.解 用 A 表示计台好取到，只红球和？只黃球用 3 表示取 到红球只数与黄球只数相等、；则二NBQHP(BI)+P(

7、B2)+HB3)7.设一袋中有编号为 1.2.3.9 的球共 9 只.某人从中 任取 3 只球.试求：(1)取到 1 号球的概率：I用.4 表示“取到 1 号球，则凡)=甬=3. 最小号码为 5 的概率：解 用 B 表示“最小号码为因为 P 发生表示其中一球的 号码为 3其它两个球的号码为 6,7,&9因此(月 14. 所取号码从小到大排序中间一只恰为 5 的概率；解 用 c 表示“所取号码从小到大排序中间一只恰为亍，因 为 C发生表示其中一球的号码为 5.其它两个球的号码分别为 1,2,3, 4 和 6,7,8,9因此(4)2 号球或 3 号球中至少冇一只没有取到的概率.解用D表示V

8、号球没有取到二E表示与号球没有取到二 则2 号球或 3 号球中至少有一只没有取到口 J*表示为ME.于是PIDJE匸 P(D 卄 P(E)- PIDE)1严8-从数字0. 1,9十个数字中不放回地依次选取3个数字.组成一个三位数（或二位数）.试问：此数个位是，的概率是多少？解用 4 表示“所得数的个位是5,则（2）此数能被?整除的概率是多少?解用A表示所得数的个位是 5-用B表示“所得数的个位是 0：则心耒示所得数的个位或为 0 或为 5.干是所得数 能被5 整除的概率为PC45）二 P（）+P（殆壽+壽宅（3）依次所取三数恰为从小到大排列的概率是多少?解 用表示“所得三数恰为从小到大排列乙则

9、-4(1)从一副扑克牌（52 张）中任取 13 张牌.试求下列事件的概 率：至少有一张红桃”的概率解 用月表示“至少有一张红桃、；则所求概率为P（A）=l-P（A）=l-.凡 4）二9x8 =1109x8_l0(2)缺方块、，的概率;解用鸟表示“缺方块；则所求概率为“方块或“红桃中至少缺一种花色的概率；解 二表示“缺红桃表示“缺方块，故“方块或“红桃” 中至少缺一种花色可表示为dB,故所求概率为(39、(39、厂26)(52、52j5.缺“方块”且缺梅花”但不缺“红桃的概率.解 用 U 表示缺梅花：而A表示缺红桃二B表示、缺方 块乙故缺“方块且缺梅花“但不缺“红桃可表示为ABC=BC-ABC,

10、故所求概率为13、(2)已知 P(4)=033)二 04.P3E)=02,试求（iyw）； 解阳 4 嚮罟岭P(ABC)= PBC) P(ABC)=13,13 丿(5252V13 13z(2VW)；P(XB)二 0.2 二 1P(B)042期 5 二凭沪时船丽斗(4)P(力 5 RS).解P(ABAJB)=P(ABAB)=1-P(ABAB)PAB(AJB)P(AB)0.2 二 3一P(A5)PC45)0.3+0-0.2 一(3)已知P(A)=0.79P()=0.69P(A)=0.59求 巩 4心） ：解P()=l-P()=l-0.6=0.4.由P(A 直匸 P3B、=P3)-P(4B得PQAP

11、)二凡 4)企 1 月)=0.70.5 二 0.2二P(A)二 0.7 二 7 P(A)+P(B)0.7+0.4-0.2 9*P(AB)=(1)P(,4B4uS);解P(ABA5)二豎y)i尸)二 0.2P(AC45)0.5+0.3-0.107 *(5)设有甲、乙、丙三个小朋友.甲得病的概率是 0.05.在 甲得病的条件下乙得病的概率是 0.40.在甲、乙两人均得病的 条件下丙得病的条件概率是 0.80,试求甲、乙、丙三人均得病 的概率.解 旧月表示沖 得病；B表示“乙得病 C表示杠丙得病；则兀 4)二 0.05,尸(阳)二 0.4,P(CAB)=0. &二二 005x04x08=0.

12、016H.丢两骰子，观察所得数对.试计算下列条件的概率：(1)已知两颗骰子点数之和为 8的条件下.两颗骰子点数相等的概率；解 用A表示点数之和为 8；B表示八点数相等：则P(AAB)=尸(则 5)P(APB)136H36136H36-缶(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3). (4, 4) J 民(4. 4).所求概率为-(2)已知两颗骰子点数之差的绝对值为 1 的条件下.两颗骰子点数之和大于等十，的概率.解 用 C 表示“差的绝对值为 1：D表示“点数之和大于等 于 5”,则C=(1, 2), (2,1), (2, 3), (3, 2), (3.4),(4, 3)，(4

13、,5), (5, 4). (5,6), (6,5),C6(2, 3). (3,2). (3. 4),(4, 3),(4, 5), (5, 4), (5,6), (6, 5),所求概率为369.设某人按如下原则决定某 H 的活动：如该天下雨则以0.2 的概率外出购物.以 0.8 的概率去探访朋友： 如该天不下雨.则以 0.9 的概率外出购物.以 0.1 的概率去探访朋友.设某地下雨的慨率是 03.试求那天他外出购物的概率；解 用月表示 J 亥天下雨二用处耒示“外出购物二则P(44)=0.2, P(网)二 0. &二 0.9.尺网二)二 0 丄 代 4)二 0.3所求概率为P(DO=P(C

14、D)丑 4P(C)10 5P(B)=P(A.B)= PA.B)+P(.4B)=03x0.2+0.7x0.9=0.69(2)若已知他那天外出购物.试求那天下雨的概率.解所求概率为p(1P PPBP(A)P(BA)03x0.2=203+0.2+0.7x0.923*10.设在某一男、女人数相等的从群中，已知 5%的男人和0.25%的女人患有色盲.今从该人群中随机地选择一人.试问：(1)该人患有色盲的概率是多少？解 用月表示“选到男二用占表示、所选的人是色盲：则 凡 4)二陌)斗卩(阳)二斋,P(阳)=器所求概率为P(B)=P(A)PB4)+P(习)P(B| 二)(1)5 . 1 025A=-x-4-

15、x-=0.02625.(2)100 2 100若已知该人患有色盲，那么他是男性的概率是多少?解所求概率为孔個二刊期二皿)尸(阳_八P(A)PB|A)+| A)J_丄 =_ 而 =20 _!；丄十冬空一 2 2100 2 10011.设某地区间应届初中毕业生有 70。报考普通高中.20% 报考中专，10%报考职业高中.录取率分别为90%, 75%,85%. 试求：随机调査一名学牛.他如愿以偿的概率：解 用A表示“报考普高、；B表示“报考中专乙C表示“报考 职高；D 表示“被录取气则P(Q 二 0.7, F3)二 02P(Z)H)二 09 P(D|B)二 075P(D|C)二 0 85所求低率为P

16、(D)=P(A)P(DHH-P(B)P D0)+HC)F(QO=0.7x0.9+0.2x0.7540.1x0.85=0.865.(2)若某位学生按志愿被录取了.那么他报考普通髙中的概率解所求概率为側“金带厘翔旦辟 7283.12.设有甲、乙两个旅行团，旅行团甲有中国旅游者 H人, 外国旅游者/人：旅行团乙有中国旅游者。人.外国旅游者b人.今从旅行团甲中随机地挑选两人编入旅行团乙然后再从 旅行团乙中随机地选择一人.试问他是中国人的概率是多少？解 用色表示“在甲团中所选的两个人中有个中国人“(Q(X h 2),-4 表示“在乙团中所选的人是中国人二则二 P(伪)P(,4 辰)十 P(5 )P3 怜

17、 1岛)n13.有两箱同种类的零件，第一箱装 50 个，其中 10 个一等 品；第二箱装 30 个.其中 18 个一等品.今从两箱中任选一箱. 然后从该箱中取零件两次.每次任取 1个.作不放回抽样.求：第一次取到的零件是一等品的概率；解 用Bx表示“选中第一箱二B2表示“选中第二箱乙A表示 第一次取到的零件是一等品二则P（A）=P（4 恥亠 P（AB2）=/（2 血）+尸（艮）7（岛）-L!O+l.I8-2-o 4一 2 50 十 2 30 一 5“（?） 第一次取到的零件是一等品的条件下第二次取到的也 是一等品的概率.解用 C表示“第二次取到的零件是一等品二则I 小_巩 4C）_卩（心）+卩

18、（心）P（C-西厂-丽-八场）/（月| 旳 F（C H 即十卩（）（川52）P（C|.47?2）如）(1)10 9 , 1 18 17 =莹匹注瓦 0.4856.0.477/4-77 +万 +-)c+b+1o丿a-l14. 设是相互独立的事件.凡 4)二 0.5, P&)=0&试求:(iyw)；解 P(-4B)=0.5x0.8=0416. P(45);解P“8)=P0 )+P(B)P0B)二 0.5+0.80二 0.9.17. P(X-5);解 PC4-5)=PG4)-PC45)=0.5-0.4=0.1.18. P(zlL4uB)解酬 4 殆心晋 T15. 试证明：若 HX)二

19、 1则 A 与任何事件独立.证 因为代 4)=1,所以.4 是必然事件.设 B是任意事件.则AB=B. PQ4B)=P(B)=P(A)P(B因此 4 与/相互独立.即 4 与任何事件独立.16. 甲、 乙、 丙三门大炮对某敌机进行独立射击.设每门炮的命中率依次为 0.7, 0.8, 0.9.若敌机被命中两弹或两弹以上则被击落.设三门炮同时射击一次.试求敌机被击落的概率.解 用月表示”甲命中： B表示乙命中二 C表示乙命中；D 表示“敌机被击落：则P(X=0.7, P(5)=0.& P(C)=0.9.所求概率为P(D)FABC4BCABCABC)二P(ABC)P(ABCP(ABC)+ P

20、(ABC)=0.7x0.8x0.1-b0.7x0.2x0.9+0 3x0 8x0 9+0.7x0.8x0.9二 0.902.泳 如 EH-11 所示SCD.E表示继电器接点假设每 一个讎电器闲合的概率均为 B 且继电器闭合与否相互独立.试 求到/09三人中恰有一人钓到鱼用 Q 表示.则所求概率为P( P)=P.4BO+ P(巫厂)十珂了BC)=0.4 Cl4x 0,1+0,6 0.6x0.1+0.6PC4B CPAB C)+P( A BC)=0.3x0.6x0.4+0.7x0.4x0.4+0.3x0.6x0.6=0.436,P(A=2PC45CH-P(XBCPABC)=0.3x0.4x0.4+

21、0.3x0.6x0.6+0.7x0.4x0.6=0.324,p(A=3PC45C0. 3X0. 4X0. 6=0.072.概率分布律用表格表示为X |0123Pk0.168 0.436 0.324 0.07218.从一副扑克牌(52张)中任取 13张， 试求“A张数的概 率分布律.解 记 X 为计的张数.则 X 的的可能取值为 0,1, 2, 3, 4. 表示 13张牌中有怡有k张 2”，这 k张:f取自 4个花色的 “A”，而其余的 13-斤张牌取自除:V 之外的 48 张牌，故19.设一出租车开往目的地要途径 10 个红绿灯，每个红绿灯独立地以 0.3 的概率令它停车，试求：(3) 首次停

22、车时顺利通过的红绿灯的个数的概率分布律：解 记 X 为首次停车时顺利通过的红绿灯的个数.则 X 的 可能取值为 0, 1, 2. 3,10.若丘 2 表示首次停车时它顺利通过 斤个红绿灯.且在第斤+1 个红绿灯处停下(MX 1. 2.9);启 10 表示 10个红绿灯都顺利通过./(.壮斤)=0.3x0于(社 0. 1, 2, 9), PC=10)=0.710.(4) 在到达目的地之前恰好停车 4 次的概率.解 记卩为停车次数，则斤 B(10、0.3),故所求概率为20.某汽车从起点驶出时有 30 名乘客，设沿途共有 4 个停靠 站.且该车只下不上.每个乘客在每个站下车的概率相等， 并 且相互

23、独立，试求：26. 全在终点站下车的概率；解每个乘客在终点站下车的概率为 1 设 X 为终点站下 车的人数.则 X 的取值为 0, 1. 2. . 30.且 XB(30=).乘客全4在终点站下车的概率为怒=30)彳黑护申=(捫27. 至少有 2 个乘客在终点站下车的概率；解.02 表示至少有 2个乘客在终点站下车，其概率为P(X2)= l-P(X2)= l-P(X=0)-P(X=1) =1-閒(护-伴妙(护 一 1(弓尸30(+)|(弓严.28. 该车驶过 2 个停靠站后乘客人数降为 15 的概率.解 设卩为在后两站下车的乘客人数.则卩恥 0*),该车 驶过2 个停靠站后乘客人数降为 15 的

24、概率为P(l=l 5)=1 閃(护(护彳陽訓21.设对某批产品的验收敛方案为： 从该批产品中随机地抽查 5件产品.若次品数小于等于 1,则该批产品通过验收敛.否 则不予通过.若某批产品的次品率为 0.05.试求该批产品通过 验收敛的概率.解 用 X 表示 5 件产品中的次品数.则 0.05).于该 批产品通过验收敛的概率为P(X3|A4)了 3、丫 3、二 q ；忆(1-功+训；必-功+ 2 2 丿 2 丿f Af A+閱 q 0(1 -功+ 4 内、d /4/AAAA-ap +a2(3pq+p)+6Z3q+p )C)已知他已通过考试.试求该次考试恰有 3 道试题的概率.解参见/ 3/ 3、创

25、；|卩2(1-刃+| 2 冈y 丿2 丿P(A)Gpq+p3)_仅 j92+Q2(3pq+p3)+他(4p3q+p4)(1)设甲、 乙两人进行投篮比赛.甲的命中率为 06乙的命 中P(X=3.4)=P*=3)丽-P(X 二 3)P(4|X=3)率为 0 亿 规定每人投篮两次.谁投进的球数多谁就为优胜者. 若投进的球数同样多.则每个再加投一次以决胜负.如仍为同 样则为平局.试求:甲获胜.乙获胜.平局的概率各为多少：解设 X 为前二次甲进球数 F 为前二次乙进球数，则 疋(2,0.6).卩B(2, 0.7),其概率分布律分别为X012Y012p0.160.48 0.36P0.09 0.42 0.4

26、9又 J 表示第三次甲进球数表示第三次乙进球.甲获胜的概率为P=P(XX) J 冬 H4B)=P(Xr)+P(丘 H4 劝二P 蛋 1,基 0)+卩(芷 2,沧 0)+P(.E2,11)+P(.壮 0y=0)+P(A=h y二壮 2,=2)P(,4B)二 P(A9)P(基 0)+PCE2)P(y 二 0)+P(A2)P(F 二 1)+P(启 0)P(基 0)+P(.X)1 )P(基 1yhP(A=2)P(y=2)P(,4)P( B)=0.48x009+0.36x0.09+036x0.42+O.16xO.O9+O.48xO.42+O.36xO.49xO.3xO6=0.297432,乙获胜的概率为

27、P=P(X(足Y)AB)=P(Xl0)=l-P(X10 P(N(10)二 0)=晋戶叹二戶吠.(2)在 10 分钟内出现奇数次断头的概率;解由题意可知.所求概率为P(N(10 二 l)+P(N(10)二 3)+ +P(V(10)二 2#+1)+二吕(102)如脱一旨(2 斤+1)!-(3) 两次断头之间的间隔时间丫(单位：分)的概率分布函数及概率密度.解记 N为时间间隔/内发生的断头数.则P(Y t)=PN(t)=O)=-e-=eM(A0),%巧二 F(y勻)二 1 一 4丫，)二 1 一 0 一知()0), 所以恥吒般，脸)=恥 T 厂总S 亘亘郢随机变量 x 具有分布函数0.v0F(x)

28、= -.x30 xl试求：P(XV3),卩伫罷卩(无洱伫彳).解 凡它一 3 上卩(一 3)=0.PGYl)=(l)=(ly=l,P(|X=一亏X1234Pk0.3 0.2 0.4 0.1求 X 的分布函数.解当xl时,F(x)=F*x)=F(0)=O,当 1X2 时.F(x)=P(AkY)=P 軒)=0.3.当2X3时.尸二 P(%cv)二 P(启 1)+P 蛋 2)二 03+02 二 0, 当3X4时-3P(X)P(XW)_(|)-(|)_(|)3-(|)3_37二- -二- -二-?CoF(爭 6413设随机变量 X 具有分布律F(x)=P(Xs)=P(1 )+卩陽2)P(X=3 )=0

29、.3+0.2+0.4=0.9.旦鱼土山 时,F(.Y)二 1.因此003X1lx2F(x)=0.52x3.0.93.v414.设随机变量 X 具有分布函数0恥)=范-2)31x22x4求 X的概率密度.解当x2或工4 时、F(.Y)=O;当因此 X 的概率密度为化、(.v-2)22X4/(Y)二丿 8、70 其他*4 时.F(.Y)(X-2)2.O15设随机变量 X 具有概率密度0.vA-=彳,得 A=4.(2)求*的分布函数;解当 xl时.F(x)=l.r0因此 F(x)二.2.x2十1求 X 的取值落在区间，勺内的概率.解工的取值落在区间百占内的概率为Pxh=F-F(h=(2x丄52#(2

30、 护扣譏x0O.wl4 设随机变量 X 在0.2u3.5上服从均匀分布.求 X 的 分布函数.解已知 X 的概率密度为/二耳 *0,2切 3,5当工0 时,心)二 0, F(x)二 0;当 0 殳2 时,尸(工)二扣丫二寸；当 2*3 时，F(x)二*&=；当 3x5 时, F弐扑+扑二乎；当.佗 5 时，尸&)=1.0 x/4因此F(x)=l/2(工-1)/41.x00 x22.v517设随机变量无具有概率密度/二丿.4(4-.Y)0.x22x 4(1)求常数止解 由 I二广/於二4丫臥+月(4-.Y)(/V二耳月，得 4二咅求 X 的分布函数;解当x0时 9F(x)=O;当

31、 0Wx2 时，F(x)= -7x2(ix=A：3:to 1414当2x4时,F(.Y)=咅皿+春(4 一.忖=1梟(4.评;当.Z 时.F(g.因此0丄疋F(Y)=14Q1丄(1)2 28k1x00.v 22 .v4求 P(l*3);解 /(1/1LV1|X3) =P(lcX3)_F(3)-F二 23P(X5), F(3*6), 尸(3*7).4|那1)以及常数(？的范围.使 P(5|0.99.解 P(X5)=1F(X55) = 1M 弓)=1 一(0)=1卜占.6_53-S尸(3 W 二力 C)-昭亍)二锹 0 5)做1)=做 0.5)1 锹 1)二 0 6915-10.8413二 0.5

32、328.尸(3 X 7)二丰)-尼二)1)-)=2 i) i二 2x0.84131 二 0.6826.卩(忖、1 )= 1尸(冈1 )= 1P(1*1)_5_1_5二 1-址 2)+址 3)=1 - 1 一次 2)+1-做 3) 二叭 2)叫 3)十 1 二 0.97720.9987 十 1 二0.9785.因为F(|X-51 C)=P(耳孚 号=昭)-1, 1所以要使 P(5|0.99.只需2S()199.即 0395.查表得学 2 理故 05.16.(2)一工厂生产的电子管的寿命总以小时计)服从参数为牛 160, qeO)的正态分布，若要求 P(1200.80?允许 。最夭为多少？解因为P

33、(12OX 200)=P(- A160)=2()一 1.cy cy cycr所以要使 P(120V0.80,只需20.80,即()0.9,(7(7查表得1.28,故必 31.25.(7(3)设某批鸡蛋每只的重量 X(以克计)服从正态分布，XN025).(1)求从该批鸡蛋中任取一只.其重量不足 45 克的概率; 解P(X45)=G(坐尹)二( 1)=1 一 G(l)=1-0.8413=0.15873从该批鸡蛋中任取一只.其重量介于 40 克到 60 克之间 的概率；解 P(40X(yl)=l-/(yl-(0 9772)所以要使 P(yl)0.99,只需l-(0.9772)S0.99,即(0.97

34、72)冬 0.01,解得沦畛21某元件的寿命 M 以小时计）服从指数分布，概率密度为设对干该元件.在已知寿命小于 2000 小时的条件下寿命小于1000 小时的概率为 p 试求该元件寿命大于 3000 小时的概率.解按已知.有尹(*000 冬 2000)=詐|務4000 1“exfecix00 _200Tlb ()元件寿命大于 3000 小时的概率为r3000 |”P（X 3000）二 1-尸（尼 3000）=|1一0-1000/0j_e-2000/解得严00/&二丄1f-0X.x0.v(A-3)+PC=3)=0.084-0.20=0.28,/(=5)=AA=5)=0.14.Y0193

35、45Ph0.17 0.180.07 0.28 0 160.1424.设某种产品的某项指标要求为 50,厂方规定凡完成一 件该产品则给予酬金 100 元 但若该指标不符合要求则要扣款. 扣款金额为绝对误差的平方（元），设某人加工的产品.该指标 X 为随机变量，服从 M50, 16）分布.试求该人完成一件该种产品实得酬金 K 的概率分布函数恥）；解是 100-*50）当 丁100 时， F为必然事件,F 心）=1. 因此恥）2 卩皿（萼B咛 00.1v100V.（2）试求该人完成一件该种产品后实得酬金为负值的概率.解 P（Y0）=马（0）二 21-后1岁-0）=21-么 2.5）=2（1-0.99

36、38）=0.012425设随机变量无服从 Pl上均匀分布.求宜/的概率密度；解 当.v0 时, 尸心上尺住，)二y)0liij0= liiv0lii yl00 vl二？ Inv1ve- 综合起来得0恥沪 Jin.yV1 1ve. ly-4)= P(Xe=l-P(Xrl-ez/2二 010z00r0(1) 设某正方体的边长 X 在 0上均匀分布.试求：(4) 正方体表面积Y的概率密度函数：(5) 正方体体积 Z的概率密度函数.(2) 设XNQi、 小、称隹/所服从的分布为对数正态分布. 试求丫的概率密度函数.(3)设有两种鸡蛋混放在一起，其中甲种鸡蛋单只的重量(单位： 克)服从 M50. 25)

37、分布； 乙种鸡蛋单只的重量(单位： 克) 服从 M45, 16)分布，设甲种鸡蛋占总只数 70%.13. 今从该批鸡蛋中任选一只，求其重量超过 55 克的概率：14.若已知所抽出的鸡蛋超过 55 克，问它是甲种鸡蛋的概率是多少？(4)设賂久-1.1),求昌 2 的概率密度函数.第三章习题解答h 设某人从 1,2,3, 4 四个数字中依次取出两个数.记兀为 第一次所取出的数.F为第二次所取出的数.试分别就放回抽样 与不放回抽样两种情况.求 X 和 F 的联合分布律.W 不放回抽样情况：(1)=人 F =;）二Pg二 f）P（F =y|-0玖 X=J Y = i）=玫 X 二护（7 二iX = i

38、）*0 m工和 F 的联合分布律用表格表示为X123410 1/12 1/12 1/12r1/12 0 1/12 1/1231/12 1/12 0 1/1241/12 1/12 1/12 0放回抽样情况：P（X=j Y = j、=P（X 二订二 jX=i）一了 4 一6 （人尸 1二，人 4）,Y 和 F 的联合分布律用表格表不为XI123411/16 1/16 1/16 1/161/16 1/16 1/16 1/1631/16 1/16 1/16 1/1641/16 1/16 1/16 1/162设某图书馆的读者人数服从参数为 2 的泊松分布， 每个 读者借阅图书的概率为 A 且每个读者借阅

39、图书与否相互独立. 记无为读者人数,F 为借阅图书的人数试求 X 和 F的联合分布(7=0. 1, 2,;7=0, 1, 2,z).P（Y=jX=i）可以看成是i次贝多努利试验中事件A发生丿次 的概率.3从一副扑克牌（52 张）中任取 13 张牌,设 X 为“数丫为“方块张数，试求 X 与卩的联合分布律.解工和 F 的可能取值为 0.1, 2.,13.(Z=0, 1,2,，13;旳 S13).从一副扑克牌任取 13 张牌共有背）种取法.恰有 z 张红桃.丿张方快的取法数为 f；）号13 爭-；I加（1-卩严静二宀丿）二4.将 10 个球随机地丢入编号为 1.2, 3, 4. 5 的五个盒子中

40、去设X 为落入 1 号盒的球的个数,K 为落入 2 号盒或 3号盒的球 的个数.试求 X 和卩的联合分布律.解 XY的可能取值均为 0. 1. 2,，10.Pg, Y=j)=P(i)P(Y=jX=i)=摘(孰1-捫f 7片)心护亠=12：(丄 y灯!(10 - 7-丿)!、5 八*(z；7=0,1, 2, , 10; z+/10).5设二维离散型随机变量(工/)具有概率分布律求 X 和 F的边缘分布律和Y的边缘分布律:3691215180.010.030.020.010.050.060.020.020.010.050.03 0.070.050.040.030.010.02 0.030.030.

41、090.060.150.090.02Y1934解 x 和 F的边缘:分布彳聿为AY369121518Pg10.010.030.02 0.010.050 060 180 02 0.020.010.050.030070.2030 05 0 040.03 0.010.020030.1840.03 0.090.06 0.150.090.02Pg) 0 11 0.180.12 0.220.190 181X X1234Pk0.18 0.20 0.1 8 0.44Y369121518A0.11 0.1 8 0.1 2 0.2 2 0.1! 9 0.1：(2)求在冷 9 时随机变量 T 的条件分布律.QA2=

42、O7L2=Ep(丫=31F = 9)二二二 9)=().01(0202 12p(Y=4| K=9) =21=9) = 0.()4 二 J_112340.18 0.20 0 18 0 44P(X=kY=9) =P(X=kY=9)p(y=9)-P(X=k.Y=9)042P(E|F齐容严.器 VP(X=2|K=9) = = 2 Y= 9) 0.011kP(A=jl=9)0.12 126设随机变量位;卩）具有概率密度a 、|8.v）-0 x用,刃%其它（I）求 X 的边缘概率密度；14X1-.V2)0.xl10其它（2）求丫的边缘概率密度；解小）=匚/（切刈=# &:皿_ 4）,30 vlo

43、其它VeyiZr二匸/丁：0 yl其它0A*l其它求 P(-1); 解卩(无+ K1)= Hfgyydxdyx+yx(1/2(*1x(*1/ 21二&丁 0办二4.Y(l_2.Y)rfv 二 &求时Y的条件概率密度.7设有二维连续型随机变量（XY）.已知工的边缘概率密度为严论 0JX0 x0.xv0其它0.V T 00v0/0如+评丿0其它厂 3)x .v0,r0 其它.t-(Zi-2)x V0箕它.8.设随机变量（X,D 具有概率密度|咔.；O.Y1 其它试求条件概率密度加讣）力 K（中）_ Jlr0 xl10 其它A60=口*（工）卅=g 严_J1-I.v| -K.ri l

44、o 其它 Ve当 Owl 时.解心（工）二匸了（“）心=严Owl其它|j-|.Xl其它|丁匕丫其它-1 V1其它9一教室内有 4 名一年级数男生,6 名一年级数女生-6 名 二年级数男生.为使从该教室内随机地选一名学生时其性别与 年级数相互独立.那么该教室内应有多少名二年级数女生.解 设教室内应有个二年级数女生用芷 1 表示选到的 是一年级学生.用启 2 表示选到的是二年级学生；用Y=l表示 选到的是男生.用圧 2 表示选到的是女生则由独立性知特别当i=J=l时，有P（启 1.丄 1）,即二IP_ .4+6+6+72 4+6+6+ 4+6+6+解得匸 9 10.设 X 和的联合密度为、Ax2e

45、y一 1.v0Zo其它-17. 求常数 A;解因为广+8 广*8广 1 宀 严 03C1 = J J /(.V,办二町.TVZAJeydy-Aoo oo0所以上斗.18. 求边缘概率密度曲4求常数比解因为1=fTZ /g)曲办=垃【：(W+.1 対悴 老丿, 所以且二寻.-1X1其它_ -x2-1A*00 其它Xv0其它(4) X 与 Y 是否相互独立?解因为心上嵐曲心所以 X 与 F相互独立.11.设二维随机变量(无 D 的概率密度为x2 I V1其它16（2）求 x 和 y 的边缘密度:e is解心二匸7代j）m= ” 16+悒（3 氏和丫是否相互独立?解 因为.心）弓欽心 所以兀与 F不

46、是相互独立的.(2) 求概率PYX).解PYyctxdyxy-1.Y1其它=必歆+.曲|0X.0yl其它其它0 vl其它12.设 x 和卩是相互独立的随机变量.其分布律如下12347123Pk0.2 0.3 0.4 0.1pk0.5 0.3 0.2(1 応和 y 的联合分布律：解 x 和F的联合分布律为Pg(/=!, 2 3. 4；戶 1, 2. 3 人K12310.100 060.042050.090.0630 200 120.0840.050 030.025P(Ay4);解P(X-Y0.06+0.15=0.21, P(Z 二4)二凡匚 1,卩二 3)+尸*2, 2)+F(-G3,Y=l)=

47、0.04+0.09+0.20=033,P(Z 二 5)二理丘 2, F 二 3)+卩軒 3,Y=2)+P(X=4,1=1)=0.06+0.12+0.05=0.23,+)yfyYhP(Z=6)=P(玉=3, F=3)+P*4, U2)=0.08+0 03=0 11,P(Z=7)=P(.E4, 7=3)=0 02.即Z 234567pk0.100.21 0.33 0.230.11 0.0227.设 应,功,丫哄“,卩),且 X 与 y 相互独立,试证:A+y5(zH-7?/,p).解 已知 X 为重贝努利试验中事件 x 发生的次数.且在 每次试验中 J 发生的概率为”； 丫为 ， 重贝努利试验中事

48、件.4 发 生的次数，且在每次试验中丿发生的概率也为由 X 与 F 的相 互独立性知,为”+7重贝努利试验中事件 J 发生的次数.因 此p(x+y 二斤戸严以(社, 1,2.，+7)，28.设 X 与 Y 相互独立.分别服从参数为入“的泊松分布.试证:曲卩服从参数为几+“的泊松分布.解已知P(X二 z)二01(7=0, 1, 2,fl斗(ro,i,2,).J1因为 X 与 F相互独立.所以P(ZM)二 P(MS)二 Pg,Y=k-j)=Pg)PlY=k-j)P(Z = k)=P(X+Y=k)=P(X=iPQr=k-i)/Zo二召旷欣 W 严_小如)&kl 2 鬥 /I (斤一 Z)!k

49、二 K (2+“)(斤二 0、1, 乂 ).即 A+r 服从参数为的泊松分布.29. 设 X 与卩相互独立.概率密度分别为_J2 严（1-严）z0oz030.设某种产品的甲种指标 X 服从 M60. 16） ,乙种指标 y服从10, 40上的均匀分布.且两指标相互独立.试求两指标之 和的概率密度.解由题意知1_（一6叨Zr（Y）= -Tf=e32（一 s0.v0试求ZX+Y的概率密度.解因为 X 与厂相互独立所以I ”0, y0其它由卷积公式.（+03 G）二匸齐（朝办匕_ 20一乜F&二 0zP(max(XP(Z=2)=P(max(X 12)二凡 El, 1=2)+P(A=2,尼 1

50、)+F(.牡 2, =2)=0.01+0.02+0=0.03,4 詈)/16p(Z=3?(inax(X 2) y=3)+P(A=2,厶 3)+P(启 3? 1=3)+P(E3. Y=1)+P(A=3, 7=2)=0.02+0.04+0+0,05+0,03=0,14.同理 P(Z=4)=0.3 丄 P(Z=5)=0.3E P(Z=6)=0.17.即Z13456pk0.010.020.140.340.31 0.17(2)求inm(X K)的概率分布律.解卩的可能取值为 1,2 3. 4.卩(冷 1)二 71,7=2)十 P(疋匕 13) 十 P 岳 1,N4)+P(启 1, F二 5)十卩(启 1

51、, E=6)+P(2.亡1)十 P(.F3, F 二 1)十卩(启 4, U1) 二 0.35,同理 P(2)=0.26, P(耳 3 上 0 15. P(F40.24.即V1234Pk0.350.26 0.150.2418 设到某火车站购票所需要的时间(以小时计 R 是随机变量.具有概率密度某人将去购票 5 次.设每次购票所需时间相互独立.记兀为为 第?次购票时所需的时间(匸1, 2. 3. 4, 5),设Y=max(XX2.-E). Z二,卫).(1)求丫的概率密度；.v0A*0,x01 0v0*(r兀 （二）=M 严（严+二严）4二 030z0我们称 Z服从参数为 EcO）的瑞利（Ray

52、leigh）分布.解由独立性知/（）=右，（X. v）eR2当z02+00J =0.4,耳护十 5)二 E(左)+=(-2)2xO.l+(-l)axO.2+O2xO.2+l2xO3+22xO.l+32xO.l 二2 2+5 二 7 2-QiP2|xO.U|-l|0 x0试写出该商店对此家用电器每台收款数 y 的概率分布律.并求y 的数学期望.解 P(F=1500)二P(OXr)=i：护驱=1 一 0 乂1,P(Y=2000)=P(lX3)=I /也斤J 10E(T)二 15OO(l-r01)+ 20000-r02)+2500(a2-3)+3000-3=1500+500(严】+严 2+严?).I

53、o5设随机变量 X 具有概率密度0,x0/二 X0.Tl4. 求常数 A;解 由/(.丫)於=卜&+ &3 仕二+拱-1,得口二与.5. 求无的数学期望.解 ()二广.#(.丫)於二 f .於+导广工严於二扌6.设随机变量 X 的概率密度为xexx0|、0 x0-、cP 扳0 x0其中是常数.试求分子的平均速度以及平均动能.解分子的平均速度为+8+8(-)= |_roA/(.x)- |oV 工-b山匕C/2CI4TV103r/-103x20.故 n2.即每人至少要交纳 2 元保险金.B.设某产品的验收方案是从该产品中任取 6 只产品，若 次品数小于等于则该产品通过验收；否则不予

54、通过.若某厂 该产品的次品率为 0 1.试求在 10 次抽样验收中能通过验收的 次数的数学期望.解 设在一次验收中取到的次品数为工 则必 6.0.1)设在10 次验收中通过验收的次数为 I；则 118(10.其中 P为一次验收通过的概率.且由题意知p=P(X )+卩(工 0)+尸軒 1)=q0.96+q0.1x0.95=0.885735, (7)=108.85735.14.设二维离散型随机变*(x n 的联合分布律为X1234_200 0.05 0.05 0.1000.0500.10 0.200.10 0.15 0.05 0.05求EgE(XY).解边缘分布律如下：Ml1234_20.10 0

55、.05 0.05 0.100.300.0500.10 0.2003520.10 0 15 0.05 0.050.35p j0.25 0.20 0.20 0351由此得EOQ二(一2)XO3+OXO35+2,O35=O1,二1x0.25+2x0.20+3x0.20+4x0.35=2.65,(AT)=(-2)x 1x0.10+(-2)x 2 4-0.05+(-2)X3X0.5+(-2)x4x 0.10+2 x 1x0.10+2x2 x 0.15+2x3x0.05+2x4x0.05=0.15设二维连续型随机变量(兀D具有概率密度 /(“)=牯0.1厂.*严.0其它求E(X). E( E(XY E(X

56、+3V).解E(X)=匚於匚力(.丫j)心=f爪匚j.心=3 i：.丫*二|,E(匚住口金.叽=加匸討幼=o,E(XY2)=clxxy2f(x,y)- =.1；去.1：討胞=，E(X+37)二E(X)+3E(Y)二 |.16.设随机变量忑丫相互独立.且具有概率密度0.v1V1(2)求E(X2Y).10.+ 00*1I解E(X2)= |.V2/(.T)V= I11.03 U由的独立性知E(X2Y) = E(X2)E(Y)=.5 求第 1题中 X 的方差 DQO；解由第 1 题的结果知(-2)2xO.l+(-l)2xO.2+O2xO.2+l2xO3+22xO.l+32xO.l_9 9.比 Y)二瓦

57、 Y2)-妙2 二 2.04.求第 14 题中 X 的方差厌 Y).解已知E(X)=O.1. D(X).证明当宀(羽时，有E-EX-E+E(X)-C2EX-E(X+leX-E(X)D(X).19.设随机变量 X 服从双参数指数分布.其概率密度为其中 CO,/IE（-S,十 s）为参数.求 X 的期望与方差.解E（X）二厂寸办二冻（作变换）8弹（）（）1+8 +8 +8=| （仿+/r）eW/=0（tedt+1pedt二十“， 0 0 0哄厂）二厂.m 於二厂粒孑於（作变换心号 i）一8严（）+8=|0（彷+“）0/、*400 4.03二牛 厂严（#+2 仇/|tetdt+1LiPdfJOJoJ

58、3 二劝 2+2 如+2,I =. rX LIX00 x0其中 c0 是常数.试求 X 的期望与方差.解E(X)=芒寸於二|：8冷.g-而於(作变换/=丄)一8U& 厶(yf+8, *+oo - .VrrToate2/二 4 e ?叫尹E(X?)= +x2f(x)dx=事亩於(作变换心丄) 8JUcrcy二(y2t3e(it=2cr221时）二0,所以糸二0;当-1乂1时、心心/（“肋=匸；詩儿 所以 g 評蟲讪（2）r的边缘密度：2i.设随机变量（尤厂具有联合概率密度2国+|対0其他*试求:（1X的边缘密度；29解/（“）=* E+L*i.其它解同理得恥）电肌轟空（3肿,Q（A）;解

59、0=匸必（.丫）次=玳1|卞|网=0、DW=匸與）%（忙=卜（1十E（Y）, D（y）；解由对称性知00Q（y）=g6（5W与F是否不相关？解（一7）=匸匚勺y*（.t,iX7YG=La：i；+】GM=0，所以cov（x y）=O,X和F不相关.（6与卩是否相互独立？解因为介）堀小灾），所以X与F不相互独立.22.设二维离散型随机变量（无K）具有联合分布律:X-2 -1 0 1 2-100.10 05 0 1 0000.0500.05010 1 0 1 0 0 1 0 1试验证X与F是不相关的，但工与丫不是相互独立的.解先求边缘分布律HI-2 -1 0 1 2Pt-Pt-1 0.1 00.05

60、 0.1 0.10.4500 0 0500.0500.110.1 0.1 0.05 0.1 0.10450.2 0.25 0.1 0.25 0.21由此得瓦 Y)二(-1)x0.45十0 x0十1x0.45=0.E(y(2)x0.2+(1)x0.25+0 x0.1+1x0.25+2x0.2=0,(-13=(I)1(2) 0.1+0 (2) 0+1 (2) 0.1+(-l)x(-l)x0. l+0 x(-l)x0.05+lx(-l)x0.1-1-(-1)x0 x0.05-1-0 x0 x0+1x0 x0.05+( l)x 1x0.14-0 x 1x0.05+1x1x0.1 +(1)X2X0.14-0 x2x0+1 x2x0.1=0,所以 X 与卩不相关.又因为尸輕 0, T=-2)=Ox0.2x0.2=/)(0)7(